8203

б)

z x y . При фиксированном y имеем степенную функцию от x . Таким

образом, z у х у 1

. При фиксированном x функция является показательной

x

относительно y и z

x y ln x .

y

Функция z f (x, y) называется дифференцируемой в точке

(х0 , у0 ) ,

если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

z А x В y x y ,

(1)

где A

и B – некоторые числа;

и - бесконечно малые при

х 0 ,

у 0

функции z , то есть lim 0

и lim 0 .

x 0

x 0

y 0

y 0

производные по каждому аргументу

z

и z , причем

z

А ,

z

В .

x

x

y

M

y

M

В силу теоремы, равенство (1) можно записать в виде

z z x z

y x y .

(2)

x

y

4. Дифференцирование сложных функций

Пусть задана функция

z f (x, y) ,

где переменные

x и

y ,

в свою

очередь, являются функциями независимой переменной t :

x x(t), y y(t)

Тогда функция z f [x(t),

y(t)]

будет

сложной

функцией

независимой

переменной t , а переменные x

и

y

будут для

нее

промежуточными

переменными.

Теорема. Если функции x x(t) и y y(t)

дифференцируемы в точке

t , а функция z f (x, y) дифференцируема в

точке M x(t); y(t) , то

Решение. Найдем сначала

z

,

z

,

dx

,

dy

:

x

y

dt

dt

z

( sin

x

)

1

,

z ( sin

x

) (

x

),

y 2

x

y

y

y

y

dx

2 2t ,

dy

1

.

dt

dt

2

t

Тогда, согласно формуле (1), имеем

dz

z

dx

z

dy

x

y

dt

dt

dt

x

1

x

x

1

sin

(2 2t)

sin

y

y

y

2

2 t

y

2t t 2

1

2t t 2

2t t 2

1

sin

(2

2t)

sin

t

t

t

t

2 t

2t t 2

1

1

1,5t .

sin

t

t

5. Дифференцирование неявных функций

Пусть уравнение

F(x, y, z) 0

(1)

определяет z f x, y

как

некоторую

дифференцируемую функцию двух

переменных.

Найдем частные производные

z

и

z

неявной функции z , заданной

х

y

уравнением (1). Для этого, подставив в уравнение

вместо z функцию f (x, y) ,

получим тождество F(x, y, f (x, y)) 0. Частные производные по

x и по

y

функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

F (x, y, f (x, y))

F

F

z

0 ,

x

x

z

x

F (x, y, f (x, y))

F

F

z

0 .

y

y

z

y

Откуда

z

F /

z

Fy/

/

x

и

( F

0 ).

(2)

х

F /

y

F

/

z

z

z

Пример. Найти

z

,

z

, где

e z

z x2 y 1 0 .

x

y

Решение. Здесь F(x, y, z) e z

z x2 y 1,

F /

2xy ,

F /

x2 , F / e z 1.

x

y

z

Тогда по формуле (2) имеем:

z

2xy

,

z

x2

.

ez 1

x e z

1

y

6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть функция z f (x, y) ,

дифференцируемая в точке (х0 , у0 ) , задает в

пространстве поверхность S . Пересечем эту поверхность плоскостями х х0

и

у у0 (см. рис. 6). Плоскость х х0

пересекает поверхность S по некоторой

линии z0 ( y) , уравнение которой

получается

подстановкой

в выражение

исходной

функции

z f (x, y)

вместо

x

числа

х0 .

Точка

М 0 (х0 , у0 , f (x0 , y0 ))принадлежит кривой z0 ( y) .

Рис. 6

В силу дифференцируемости функции z f (x, y) в точке М 0

функция

z0 ( y)также является дифференцируемой в точке

у у0 .

Следовательно,

в

этой точке плоскости х х0

к кривой

z0 ( y)

может

быть

проведена

касательная l1 . Проводя аналогичные рассуждения для

сечения

у у0 ,

построим касательную l2 к кривой z0 (x)

в точке

х х0 . Прямые l1 и l2

определяют плоскость , которая называется касательной плоскостью

к

поверхности S в точке М 0 .

Прямая, проходящая через

точку М 0 (х0 , у0 , z0 ) и

перпендикулярная

Теорема. Если функция

z f (x, y) дифференцируема в точке (х0 , у0 ) ,

то касательная плоскость к поверхности,

заданной уравнением z f (x, y) , в

точке М 0 (х0 , у0 , z0 ) определяется уравнением

z z

0

f / (x

0

, y

0

) (x x

0

) f /

(x

0

, y

0

) ( y y

0

) ,

(1)

x

y

а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение

x x0

=

y y0

=

z z0

.

(2)

f

/

(x

0

, y

0

)

f

/ (x

0

, y

0

)

1

x

y

Если поверхность задана неявно уравнением

F(x, y, z) 0

и функция

F(x, y, z) дифференцируема в точке М 0 (х0 , у0 , z0 ) , то касательная плоскость

к этой поверхности в точке М 0 (х0 , у0 , z0 )

определяется уравнением

F /

(x x

0

) F /

( y y

0

) F /

(z z

0

) 0,

(3)

x

M0

y

M0

z

M0

а нормаль к этой поверхности в заданной точке имеет уравнение

x x0

=

y y0

=

z z0

.

(4)

F /

F /

F /

x

M

0

y

M

0

z

M

0

Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности

получены для обыкновенных,

то есть не особых точек поверхности. Точка М 0

f / 2x,

f /

(1, 1,2) 2 1 2,

x

x

f / 2 y ,

f

/ (1, 1,2) 2 ( 1) 2 .

y

y

x 1

=

y 1

=

z 2

.

2

2

1

б) Поверхность задана неявно, поэтому воспользуемся формулами (3), (4).

Здесь

F (x, y, z) x 2 4 y 2 2z 2 6 ,

F

/ 2x ,

F / (2,2,3) 2 2 4 ,

x

x

F /

8y , F / (2,2,3) 8 2 16,

y

y

F /

4z ,

F / (2,2,3) 4 3 12 .

z

z

Тогда искомое уравнение касательной плоскости имеет вид:

4 (x 2) ( 16) ( y 2) 12 (z 3) 0

или

x 4 y 3z 3 0

и уравнение нормали:

x 2

=

y 2

=

z 3

.

4

16

12

7. Полный дифференциал функции двух переменных и

его геометрический смысл

Дифференциалом dz

дифференцируемой

в точке (х0 , у0 ) функции

z f (x, y) называется

главная

линейная,

относительно приращений

dz z х z

у .

(1)

х

y

Если положить z х , то dz dx 1 х 0 у x, то есть dx x .

Аналогично, полагая z у , получим,

что

dу у . Таким

образом,

dz

z

dх

z

dу .

(2)

х

y

аппликаты касательной плоскости к поверхности

z f (x, y) в данной точке,

когда переменные x и y получают приращения x и y (см. рис.7).

z f ( x, y)

M ( x, y, z)

M

N ( x, y, Z )

0

P( x, y, z0 )

MP z

NP dz

z0

x0 , y0

( x, y)

Рис. 7

Напомним, что если

функция z f (x, y)

дифференцируема в точке

f (x0 х, y0

у) f (x0 , y0 ) fx/ (x0 , y0 ) x

f y/ (x0 , y0 ) y

(4)

Пример. Вычислить приближенно ln 1,98

.

1,01

f (x, y) ln x

.

Решение.

Рассмотрим

функцию

y

Тогда

ln 1,98

ln (x0

,

1,01

x)

y0 y

где

x0

2,

x 0,02, .

y

0

1,

y 0,01. Воспользуемся формулой (4),

предварительно найдя f / и

x

f

/

:

y

f x/

1

,

f x/ (x0 , y0 ) f x/ (2,1)

1

1 ,

x

y

2

1

/

1

1

/

/

1

1

f y

,

f y (x0

, y0 )

f y (2,1)

0,5.

x

2

2

1

2

1

y

y

Для

сравнения:

используя

микрокалькулятор,

находим:

8. Производная по направлению. Градиент

Пусть в области D ,

в которой

определена функция z f (x, y),

в

некоторой внутренней точке

M 0 x0 , y0

задано направление вектором l (см.

рис. 8). Нас интересует поведение функции при движении точки M (x, y)

в

этом

направлении.

Пусть

t

расстояние

между точками

M 0 и

M , а

– единичный вектор заданного направления l .

Тогда

e cos i sin j

координаты

точки

M (x, y)

равны: x x0

t cos ,

y y0

t sin .

Если

точка M стремится к точке

M 0 по заданному направлению, то t 0.

l

M x, y

D

e

M0 x0 , y0

x

Рис. 8

Производной функции

z f (x, y)

в точке

M 0 x0 , y0 в заданном

направлении l называется предел

lim

f x0 t cos ,y0

t sin f x0, y0

df

.

t

t 0

dl

В частности, частные

производные

z

;

z

это производные по

x

y

Производная

z

характеризует

скорость

изменения