8203
.pdfЗадание № 5
Для функции z f (x, y) найти точки экстремума.
5.1f (x, y) х2 6x у2 2 y 1.
5.2f (x, y) х2 2x у2 4 y 2 .
5.3f (x, y) х2 6x у2 8 y 3 .
5.4f (x, y) х2 2x у2 2 y 4 .
5.5f (x, y) х2 4x у2 6 y 5 .
5.6f (x, y) х2 8x у2 2 y 6 .
5.7f (x, y) х2 10x у2 2 y 7 .
5.8f (x, y) х2 2x у2 6 y 8 .
5.9f (x, y) х2 10x у2 8 y 9 .
5.10f (x, y) х2 2x у2 4 y 10 .
60
Задание № 6
Найти наибольшее и наименьшее значение функции z f (x, y) в замкнутой области D .
6.1z 6xy 9x2 9 у2 4x 4 y ,
D : 0 x 1, 0 y 2 .
6.2z xy x2 2 ,
D : y 0, y 4x2 4 .
6.3z 4xy 4x2 у2 8 y ,
D : x 0, y 2x, y 2.
6.4z 2xy x2 у2 4x ,
D : x 0, y 0, y x 2.
6.5z 3xy 5x2 у2 ,
D : 1 x 1, 1 y 1.
6.6z 0,5x2 xу ,
D : y 2x2 , y 8.
6.7z xy 3x y ,
D : y x, y 4, x 0.
6.8z xy 3x 2 у ,
D : 0 x 4, 0 y 4 .
6.9z xy x2 3x y ,
D : 0 x 2, 0 y 3.
6.10z xy x 2 у ,
D : y x, y 0, x 3 .
61
Задание 7
Найти неопределенные интегралы.
7.01а) x 1 2 dx ;
x3
7.02 |
а) |
x 2 3 |
|
dx ; |
|
|
|
x |
7.03а) x4 x 1 dx ;
7.04 |
|
3x 4 xex |
|||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
7.05 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
а) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||
7.06 |
|
x cos x 3 x2 |
|||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.07 |
а) |
2x 1 2 |
dx ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.08 |
а) |
x 1 3 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.09 |
|
x |
|
|
x 3 x2 |
||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
2 x 1 dx; |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
б) |
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
в) x 1 cos xdx . |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
x 1 |
|
|||||||
б) |
|
|
dx |
|
|
|
; |
|
в) x3 ln xdx . |
|
|
|
|
3 |
|||||||
|
|
x 1 |
|
|||||||
б) |
|
dx |
|
|
; |
|
в) 3x 1 ex dx . |
|||
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
1 x |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
б) 3 |
x 1 2 dx ; |
в) x sin xdx . |
||||||||
б) xe x2 dx ; |
в) 1 x ex dx. |
|||||||||
б) 3 4x 7 dx ; |
в) x ln xdx . |
|||||||||
б) |
|
dx |
|
|
|
; |
||
2 |
|
|
|
5 |
|
|||
|
|
x |
||||||
б) |
x dx |
|
; |
|
|
|||
2 |
|
|||||||
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
dx |
|
|
; |
||
|
x |
|
|
|
5 |
|||
|
|
3 |
||||||
б) |
dx |
|
; |
|
|
|||
3x 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
в) x cos xdx .
в) x sin xdx .
в) x5 ln xdx.
в) x 1 ln xdx .
62
Задание 8.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
8.01y x2 ; x y 2 0 .
8.02y 16x ; y 17 x .
8.03xy 4 ; x 1; x 4 ; y 0 .
8.04 |
y ln x ; |
x e ; |
y 0 . |
|||||
8.05 |
y e2 x ; |
x 1; y 1. |
||||||
|
|
1 |
x |
|
|
|
||
8.06 |
y |
|
; |
y 9 ; |
x 0. |
|||
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
x |
|
|
|
||
8.07 |
y |
|
|
; |
y 4 ; |
x 4 . |
||
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
8.08 |
y 4 x2 ; |
y 0 . |
||||||
8.09y ex ; y x2 ; x 1; x 2 .
8.10y x3 ; x 0; y 8 .
63
Литература
1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. - М.: «АЙРИС-ПРЕСС», 2002. –608.с.
2.Важдаев В.П., Коган М.М., Лиогонький М.И., Протасова Л.А 64 лекции по математике. Книга 1 (лекции 1-39): монография; Нижегор. гос. архитектур.-
строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2012.-284 с.
3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебн.
пособие / Г. Н. Берман.- СПб.: «Профессия», 2003. – 432 с.
4. Курганов А.М., Федоров Н.Ф. Справочник по гидравлическим расчетам систем водоснабжения и канализации. – Л., 1978. – 408 с.
64
|
|
Содержание |
|
§1. |
Функция двух переменных |
|
|
|
1. |
Основные понятия |
|
|
…………………………………………........... |
3 |
|
|
2. |
Предел и непрерывность функции двух переменных |
|
|
…….......... |
6 |
|
|
3. |
Частные производные и дифференцируемость функции |
|
|
двух переменных |
|
|
|
………………………………………………......... |
8 |
|
|
4. |
Дифференцирование сложных функций |
|
|
…………………........... |
10 |
|
|
5. |
Дифференцирование неявных функций |
|
|
……………………........ |
11 |
|
|
6. |
Касательная плоскость и нормаль к поверхности |
|
|
...………......... |
12 |
|
|
7. |
Полный дифференциал функции двух переменных и |
|
|
его геометрический смысл |
|
|
|
……………………………………......... |
15 |
|
|
8. |
Производная по направлению. Градиент |
|
|
………………….......... |
17 |
|
|
9. |
Свойства градиента |
|
|
......................................................................... |
|
20 |
§2. |
Экстремумы функции двух переменных |
|
|
|
1. |
Частные производные высших порядков. Экстремумы |
|
|
функции двух переменных |
|
|
|
……………………………………......... |
21 |
|
|
2. |
Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой |
|
|
области |
|
|
|
.................................................................................................. |
|
26 |
§3. |
Первообразная и неопределенный интеграл. Основные |
|
|
|
приемы интегрирования |
|
|
|
1. |
Основные понятия |
35 |
|
2. |
Таблица основных интегралов |
37 |
|
3. |
Основные свойства неопределенного интеграла |
38 |
|
4. |
Простейшие способы |
|
|
интегрирования....……………………....... |
39 |
|
§ 4. |
Определенный интеграл |
|
|
|
1. |
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла |
43 |
|
2. |
Площадь криволинейной трапеции |
43 |
|
3. Масса линейного неоднородного стержня |
44 |
|
|
4. Работа переменной силы на прямолинейном участке пути |
45 |
|
|
5. Свойства определенного интеграла |
47 |
|
65
6. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона- |
|
Лейбница |
|
..………………………………………………………........ |
49 |
7. Вычисление определенного интеграла заменой переменной |
|
..... |
50 |
8. Вычисление определенного интеграла интегрированием по |
|
частям |
|
..………………………………………………………............. |
51 |
9. Вычисление площади плоской фигуры |
|
.……………………........ |
52 |
Контрольные задания |
|
………………………………………….......... |
54 |
Литература |
|
……………………………………………………........... |
62 |
66
Татьяна Александровна Пушкова
Павел Валерьевич Столбов
Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Интегральное исчисление
Учебно-методическое пособие
по подготовке к лекционным и практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки
08.03.01 Строительство, направленности (профили): Автомобильные дороги,
Производство и применение строительных материалов, изделий и конструкций, Водоснабжение и водоотведение, Теплогазоснабжение и вентиляция,
Гидротехническое, геотехническое и энергетическое строительство, Организация инвестиционно-строительной деятельности, Промышленное и гражданское строительство
________________________________________________________________
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Н. Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www.nngasu.ru, srec@nngasu.ru
67