8485

8. Среднее число обслуживаемых заявок.

Lобс = ρ • Q = 0.769 • 0.565 = 0.435 ед.

Число заявок, получивших отказ в течение час: λ • p1 = 0.43 заявок в час.

Номинальная производительность СМО: 1 / 0.769 = 1 заявок в час.

Фактическая производительность СМО: 0.565 / 1 = 57% от номинальной производительности.

Задача 2

В магазине самообслуживания установлено, что поток покупателей является простейшим с интенсивностью λ = 1.95 покупателя в минуту. μ = 3

(t=0).

Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:

1. Интенсивность нагрузки.

λ1.95

ρ= μ = 3 = 0.65

Интенсивность нагрузки ρ=0.65 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Поскольку ρ < 1, то очередь не будет расти бесконечно, следовательно,

предельные вероятности существуют.

2. Время обслуживания.

1 1

tобс = μ = 3 = 0.33 мин.

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала). p0 = 1 - ρ = 1 - 0.65 = 0.35

Следовательно, 35% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 21 мин.

Вероятность того, что в очереди:

1 заявка:

91

p1 = ρ(1 - ρ) = 0.651(1 - 0.65) = 0.23

4. Доля заявок, получивших отказ.

p1 = 1 - p0 = 1 - 0.35 = 0.65

Значит, 65% из числа поступивших заявок не принимаются к

обслуживанию.

5. Относительная пропускная способность.

Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому Q = pобс = 1.

6. Абсолютная пропускная способность.

A = Q • λ = 1 • 1.95 = 2 заявок/мин.

8. Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди).

9. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания

заявки в очереди).

Tоч = Lоч = 1.21 = 0.61 мин.

A 2

10. Среднее число обслуживаемых заявок.

Lоб = ρ = 0.65

12. Среднее число заявок в системе.

LCMO = Lоч + Lобс = 1.21 + 0.65 = 1.86 ед.

13. Среднее время пребывания заявки в СМО.

TCMO = LCMO = 1.86 = 0.95 мин A 2

Число заявок, получивших отказ в течение мин: λ • p1 = 0 заявок в мин.

Номинальная производительность СМО: 1 / 0.33 = 3 заявок в мин.

Фактическая производительность СМО: 2 / 3 = 65% от номинальной производительности.

92

5. Задания для самостоятельной работы

Раздел 1. Задачи линейного программирования и методы решения

Задача 1. Корпорация предполагает запустить новое изделие на трех своих предприятиях, в настоящее время обладающих избыточными производствен-

ными мощностями. Предполагается выпускать четыре различных модели ново-

го изделия: РС-11, РС-18, РС-22 и РС-20, которые будут приносить прибыль: 220, 310, 375 и 480 у.е. соответственно.

Каждая модель требует различные площади для хранения на складе до мо-

мента отгрузки в конце месяца: 1, 1.4, 1.6 и 2.2 м2. Затраты рабочего времени на выпуск этих изделий на трех предприятиях и складские площади даны в табли-

це.

Объемы ежемесячной рыночной потребности для каждой модели: 470, 700, 650 и 300 штук соответственно. Предприятия могут работать 12 часов в день при 24 рабочих днях в месяц.

Какое количество изделий каждой модели должно быть произведено на каждом предприятии, чтобы получить наибольшую прибыль?

Задача 2. Выпуск процессоров предполагает выпускать новые модифика-

ции процессоров на 4 своих предприятиях, в настоящее время обладающих из-

быточными производственными мощностями. Предполагается выпускать четы-

ре различных модели процессоров с более высокими частотами: Celeron, Pentium III , Pentium 4 и Xeon 4 , которые будут приносить прибыль: 25, 40, 130

и 300 у.е.

93

Каждая модель требует различных площадей для хранения кремниевых пластин, поступающих раз в месяц, в сверхчистых помещениях до момента

запуска в работу: 1.1, 1.5, 1.8 и 2.1 м2 на 1000 процессоров каждого типа соответственно. Затраты рабочего времени на выпуск этих изделий на четырех предприятиях и складские площади даны в таблице.

Объемы ежемесячной рыночной потребности для каждой модели 1100,

300, 750 и 200 тыс. штук соответственно. Предприятия могут работать 12 часов в день при 26 рабочих днях в месяц. Какое количество изделий каждой модели должно быть произведено на каждом предприятии, чтобы получить наиболь-

шую прибыль?

Задачи 3. Транспортные задачи и задачи о назначениях

1.На трёх заводах З1, З2, З3 производится один сорт минеральной воды.

Вся продукция еженедельно должна быть развезена на 4 склада.

Кроме этого, даны расстояния от каждого завода к каждому складу, км.

Затраты на транспортировку минеральной воды составляют 0,1 усл. руб. 94

на км пути.

Необходимо:

а) найти с помощью метода сев-зап. угла возможное решение;

б) найти с помощью метода минимальной стоимости возможное решение;

в) с помощью распределительного метода найти решение, при котором за-

траты на перевозку были бы минимальны;

г) с помощью метода потенциалов найти решение, при котором затраты на перевозку были бы минимальны.

Для каждого решения определить затраты на перевозку.

2.Три завода могут производить 40, 90 и 80 мебельных наборов. Имеет-

ся пять складов, на которых заказываются эти наборы в количестве 30, 50, 40, 60, 30 штук.

Даны также затраты на перевозку в усл. руб.

Необходимо минимизировать общие затраты на перевозку. При этом а) сформулировать задачу как задачу линейного программирования,

б) найти допустимое решение методом сев-зап. угла,

в) найти решение с помощью распределительного метода,

г) найти решение с помощью метода потенциалов.

3.Некоторая транспортная фирма имеет в пяти городах гаражи. Из каж-

дого города отправляются пустые грузовики и прибывают в другие пять горо-

дов.

4.Даны расстояния в км между каждой парой городов:

Необходимо направить каждый из пяти грузовиков в некоторый город так, чтобы общее расстояние, а следовательно, и расходы на переезд были минимальными.

5. На четырёх заводах изготовлены турбины для четырёх однотипных кораблей. Верфи расположены в разных городах. Перевозка оплачивается заказчиком. Им же определены разные цены на турбины каждого завода в усл. руб.:

Необходимо определить такой способ доставки турбин, чтобы доход от их продажи был максимальным.

Раздел 2. Элементы теории матричных игр

№ 1. Магазин может завезти в различных пропорциях товары трех типов

(а, б и в). Их реализация, а следовательно, и получаемая магазином прибыль зависят от вида товаров и состояния спроса. Предполагая, что последний может характеризоваться тремя состояниями (1, 2 и 3), и учитывая, что спрос связан с изменением моды и прогнозирование его невозможно, определить оптимальные пропорции в закупке товаров из условия средней гарантированной прибыли при следующей матрице прибылей:

96

№ 2. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую оно может сразу отправить потребителю (стратегия а), отправить на склад (стратегия б) или затребовать ее после длительного периода времени (стратегия в) для длительного хранения.

В свою очередь потребитель может немедленно приобрести эту продукцию (стратегия 1), приобрести ее в течение небольшого отрезка времени (стратегия 2) или затребовать ее после длительного периода времени (стратегия 3).

Если предприятие выберет стратегию а, то дополнительные затраты на хранение и обработку продукции не потребуются.

Если потребитель применит стратегии 2 и 3, то предприятие потерпит убытки из-за порчи продукции. Наоборот, если предприятие выберет стратегию в, а потребитель – стратегию 1, то возникнут неоправданные расходы на консервацию продукции. Определить оптимальное соотношение между продукцией, отправляемой на склад и на дополнительную обработку, руководствуясь минимаксным критерием при следующей матрице затрат:

№ 3. Сельскохозяйственное предприятие имеет возможность выращивать две культуры – а и б. Необходимо определить (графическим и симплекс-

методом), как сеять эти культуры, если при прочих равных условиях их урожаи зависят от погоды, а план посева должен обеспечить наибольший доход (прибыль от реализации выращенной продукции определяется полученным объёмом). В зоне рискованного земледелия (а таковой является большая часть России) планирование посева должно осуществляться с учётом наименее благоприятного состояния погоды.

Таким образом, одной из сторон выступает сельскохозяйственное предприятие, заинтересованное в том, чтобы получить наибольший доход (игрок 1),

97

а с другой стороны – природа, способная навредить сельскохозяйственному предприятию в максимальной степени (от неё зависят погодные условия) и преследующая тем самым прямо противоположные цели (игрок 2).

Принятие природы за противника равносильно планированию посева с учётом наиболее неблагоприятных условий; если же погодные условия окажутся благоприятными, то выбранный план даст возможность увеличить доход.

Налицо антагонистический конфликт, в котором у игрока 1 две стратегии а

иб, у игрока 2 – три: засушливое лето, нормальное лето, дождливое лето.

Вкачестве выигрыша игрока 1 возьмём прибыль от реализации и будем считать, что расчёты прибыли сельскохозяйственного предприятия, млрд руб. в зависимости от состояния погоды сведены в матрицу:

№ 4. Администрация некоторой фирмы ведет переговоры с профсоюзом рабочих и служащих о заключении контракта. Платежная матрица, отражающая интересы договаривающихся сторон, имеет вид

Матрица описывает прибыль профсоюза (игрок А) и затраты администрации фирмы (игрок В). Найти решение игры.

Задача 5.

Выбрать оптимальный режим работы новой информационной системы, состоящей из двух типов компьютеров А1 и А2. Известны выигрыши от внедрения каждого типа ПК в зависимости от внешних условий, если сравнить со старой системой.

98

При использовании ПК типов А1 и А2 в зависимости от характера решае-

мых задач В1 и В2 (долговременные и краткосрочные) будет разный эффект.

Предполагается, что максимальный выигрыш соответствует наибольшему зна-

чению критерия эффекта от замены вычислительной техники старого поколения на ПК A1 и А2.

Итак, дана матрица игры (табл. 1), где A1, А2 – стратегии руководителя;

В1, В2 – стратегии, отражающие характер решаемых на ПК задач.

Требуется найти оптимальную стратегию руководителя и гарантированный средний результат , т.е. определить, какую долю времени должны использоваться ПК типов A1 и А2.

Раздел 3. Системы массового обслуживания

Задача 1. Устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.

1) Найти предельные вероятности для системы S, если известны следующие интенсивности переходов из состояния в состояние

01 1 02 2 10 2 13 2 20 3 23 1 31 3 32 2 .

2) Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме системы S, если известно, что в единицу времени исправная работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден.ед.¸ а их ремонт требует затрат соответственно в 4 и 2 ден. ед. Оценить экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени

99

ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Задача 2. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бумаг,

показали, что рыночная цена одной акции ОАО «ММЭ» может колебаться в пределах от 1000 до 10000 руб. Рассматривая в качестве системы S одну акцию,

будем интересоваться следующими состояниями системы: S1 от 1000 до 4000

руб.; S2 от 4000 до 7000 руб.; S3 от 7000 до 9000 руб.; S4 от 9000 до 10000 руб.

Исследования рынка показали, что переходы системы S из состояния в состояние происходят с интенсивностями потока, заданными матрицей Р.

Составьте приближенный долгосрочный прогноз рыночной цены акции. Стоит ли приобретать акции ОАО по сегодняшней цене 6000 руб.?

момент, когда линия занята, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью =60 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону

занятых мастеров станции техобслуживания, если на ней работает 2 мастера, в

среднем в сутки поступает 8 заявок, среднее время обслуживания одной заявки одним мастером составляет tобсл =12 часов.

Задача 5. Заявки на телефонные переговоры поступают с интенсивностью, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону равна 2 мин.

100