8485

Среднее число занятых каналов есть математическое ожидание числа занятых каналов:

где pk – предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (7), (8).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть,

что абсолютная пропускная способность системы А есть не что иное, как ин-

тенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок (в единицу време-

ни), то среднее число занятых каналов

(12)

или, учитывая (11), (6):

(13)

СМО с ожиданием (очередью)

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже из-

вестных показателей – абсолютной А и относительной Q пропускной способно-

сти, вероятности отказа Pотк., среднего числа занятых каналов (для многока-

нальной системы) будем рассматривать также следующие: Lсист. – среднее число заявок системе; Тсист. – среднее время пребывания заявки в системе; Lоч. – сред-

нее число заявок в очереди (длина очереди); Точ. – среднее время пребывания заявки в очереди; Рзан.. – вероятность того, что канал занят (степень загрузки ка-

нала).

71

Одноканальная система с неограниченной очередью. На практике час-

то встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например,

телефон-автомат с одной будкой). Рассмотрим задачу.

Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены ника-

кие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок,

поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании – интен-

сивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.

Система может находиться в одном из состояний S0, S1, S2, …, Sk, по чис-

лу заявок, находящихся в СМО: S0 – канал свободен; S1 – канал занят (обслу-

живает заявку), очереди нет, S2 – канал занят, одна заявка стоит в очереди; ... Sk

– канал занят, (k–1) заявок стоят в очереди и т.д.

Граф состояний СМО представлен на рис. 18.

Рис. 18

Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний,

в котором интенсивность потока заявок равна λ, а интенсивность потока об-

служивании μ.

Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t→∞, очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ρ<1, т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу вре-

мени), то предельные вероятности существуют. Если ρ≥1, очередь растет до бесконечности.

Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами (16), (17) для процесса гибели и размножении (здесь мы допускаем известную нестрогость, так как ранее эти формулы были получены для случая

72

чим(14)

Так как предельные вероятности существуют лишь при ρ < 1, то геомет-

рический ряд со знаменателем ρ < 1, записанный в скобках в формуле (14), схо-

дится к сумме, равной. Поэтому (15) и с учетом соотношений найдем предельные вероятности других состояний

(16)

Предельные вероятности p0, p1, p2, …, pk,… образуют убывающую гео-

метрическую профессию со знаменателем р < 1, следовательно, вероятность р0

– наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при

ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.

Среднее число заявок в системе Lсист. определим по формуле математиче-

(19)

где Lоб. – среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.

Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле мате-

матического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего зна-

чения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):

73

т.е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:

(21)

Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе

Формулы (22) и (23) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибы-

вающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока

заявок имеют одну и ту же интенсивность λ.

На основании формул (22) и (23) с учетом (17) и (21) среднее время пре-

(25)

СМО с ограниченной очередью. СМО с ограниченной очередью отли-

чаются от рассмотренных выше задач лишь тем, что число заявок в очереди ог-

раничено (не может превосходить некоторого заданного т). Если новая заявка поступает в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО не-

74

обслуженной, т.е. получает отказ.

Среднее время пребывания заявки в очереди и в системе, как и ранее, оп-

ределяем по формулам Литтла.

СМО с ограниченным временем ожидания. На практике часто встре-

чаются СМО с так называемыми "нетерпеливыми" заявками. Такие заявки мо-

гут уйти из очереди, если время ожидания превышает некоторую величину. В

частности, такого рода заявки возникают в различных технологических систе-

мах, в которых задержка с началом обслуживания может привести к потере ка-

чества продукции, в системах оперативного управления, когда срочные сооб-

щения теряют ценность (или даже смысл), если они не поступают на обслужи-

вание в течение определенного времени.

В простейших математических моделях таких систем предполагается, что заявка может находиться в очереди случайное время, распределенное по пока-

зательному закону с некоторым параметром υ, т.е. можно условно считать, что каждая заявка, стоящая в очереди на обслуживание, может покинуть систему с интенсивностью υ.

Соответствующие показатели эффективности СМО с ограниченным вре-

менем получаются на базе результатов, полученных для процесса гибели и раз-

множения.

В заключение отметим, что на практике часто встречаются замкнутые системы обслуживания, у которых входящий поток заявок существенным обра-

зом зависит от состояния самой СМО. В качестве примера можно привести си-

туацию, когда на ремонтную базу поступают с мест эксплуатации некоторые машины: понятно, что чем больше машин находится в состоянии ремонта, тем меньше их продолжает эксплуатироваться и тем меньше интенсивность потока вновь поступающих на ремонт машин. Для замкнутых СМО характерным явля-

ется ограниченное число источников заявок, причем каждый источник "блоки-

руется" на время обслуживания его заявки (т.е. он не выдает новых заявок). В

75

подобных системах при конечном числе состояний СМО предельные вероятно-

сти будут существовать при любых значениях интенсивностей потоков заявок и обслуживании. Они могут быть вычислены, если вновь обратиться к процессу гибели и размножения.

4. Примеры задач для практических занятий

4.1. Элементы линейного программирования и методы решения

Задача 1. (Построение математической модели задачи планирования производства или определение оптимального ассортимента продукции)

Предприятие изготавливает два вида продукции – П1 и П2, которая посту-

пает в оптовую продажу. Для производства продукции используется два вида сырья – А и В. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицу продукции вида П1 и вида П2 дан в таблице.

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П1 никогда не превышает спроса на продукцию П2 более, чем на 1 ед. Кроме того, известно,

что спрос на продукцию П2 никогда не превышает 2 ед. в сутки. Оптовые цены единицы продукции равны 3 ден. ед. – для П1 и 4 ден. ед. – для П2.

Какое количество продукции каждого вида должно производить предпри-

ятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

1.Цель – максимизация дохода.

2.Параметры – расход сырья, запас сырья, оптовые цены продукции, циф-

ры ограничения спроса.

3. Управляющие переменные – план выпуска продукции х1 и х2.

76

4. Целевая функция – доход от реализации продукции: f=3x1+4x2max.

5. Ограничения: производство ограничено имеющимся в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию.

2х1 3х2 93х1 2х2 13

х1 х2 1х2 2

х1 0х2 0

В качестве критериев оптимальности в данных задачах могут быть также использованы: прибыль, себестоимость, номенклатура производимой продук-

ции и затраты времени.

Задача 2.

Предприятие имеет три типа металлообрабатывающих станков А, В, и С,

на которых изготавливаются изделия вида 1 и 2. Прибыль на единицу изделия вида 1 составляет 2 усл. ед., на изделие вида 2 – 4 усл. ед. Изделия первого вида изготавливаются только на станках А и С, а изделия второго вида изготавлива-

ются на всех станках (А, В, С). Производственная мощность станков такова

(тысяч в год):

Определить такие объемы производства, чтобы прибыль была максимальной.

Решение

1. Составим математическую модель.

Пусть х1 – количество изготовленных за год изделий вида 1.

Пусть х2 – количество изготовленных за год изделий вида 2.

77

По условию задачи целевая функция выглядит так:

Z 2x1 4x2 max (общая прибыль в год).

Составим ограничения функции. В нашем случает количество изделий меньше мощности станков.

Для станка А: х1 6; х2 6;

Для станка В: х2 4;

Для станка С: х1 5; х2 10;

Включая условие неотрицательности х1, х2 0 , получаем систему ограни-

х1 6; х2 6;

х 4;

чений: 2

х1 5; х2 10;х1, х2 0.

х1 6; х2 6;

х 4;

Математическая модель задачи имеет вид: 2

х1 5; х2 10;х1, х2 0.

Z 2x1 4x2 max .

Ответ: Максимальная прибыль предприятия 26 тыс. условных единиц в год, для получения такой прибыли предприятие должно выпустить 5 тыс. дета-

лей вида 1 и 4 тыс. деталей вида 2.

Задача 3. (Транспортная задача)

Найти оптимальное распределение поставок и минимальные затраты на перевозку, выполнив первоначальное распределение поставок методом наи-

меньших затрат.

78

Решение. Посчитаем суммарную мощность поставщиков (M) и суммар-

ный спрос потребителей (N): M = 30 + 70 + 70 = 170

N = 50 + 50 + 40 + 60 = 200.

Данная транспортная задача имеет открытый вид, мощность поставщиков меньше спроса потребителей. Сведем задачу к закрытому виду, для этого вве-

дем в рассмотрение «фиктивного поставщика» (добавим четвертую строку в таблице) с мощностью M4 200 170 30 .

Коэффициенты затраты поставщика будем считать равными нулю. Найдем первоначальное распределение поставок методом наименьших затрат. Най-

дем клетку с наименьшими затратами – их 4, последняя строка. Выберем из них ту клетку, поставка в которую максимальна. В нашем случае во все клетки по-

следней строки можно доставить 30 единиц. Поэтому можно выбрать из них любую клетку. Например, (4,1). Доставим туда 30 единиц, считаем клетку за-

полненной, помечаем ее сплошной чертой. Теперь мощность 4-го поставщика полностью удовлетворена. В результате чего четвертая строка таблицы выпада-

ет из рассмотрения (помечаем все клетки этой строки пунктирными линиями).

Ищем следующую свободную клетку с наименьшими затратами. Их две – (1,4)

и (3,2). В клетку (3,2) доставка больше – 50. Считаем эту клетку заполненной с доставкой 50 единиц, после чего из рассмотрения выпадает второй столбец,

помечаем клетки пунктирной линией. Следующая свободная клетка с мини-

мальными затратами – (1,4). Доставляем в нее 30 единиц, и первая строка вы-

79

Заметим, что получилось 7 заполненных клеток, это равно n + m – 1 = 4+4–

–1=7, то есть полученное распределение является базисным. Проверим его на оптимальность, для этого составим матрицу оценок клеток. Придадим первому столбцу потенциал, равный нулю. После прибавления этого потенциала к ко-

эффициентам затрат первого столбца коэффициенты затрат заполненных кле-

ток (2,1) и (4,1) не изменятся, чтобы полученные после сложения коэффициен-

ты затрат этих клеток стали равны нулю, потенциалы 2-й и 4-й строк таблицы должны быть равны (– 4) и 0 соответственно. Тогда для заполненной клетки

(1,4) коэффициент затрат после сложения будет равен 3+1=4, поэтому, чтобы он стал равен нулю, четвертому столбцу надо придать потенциал, равный –4.

Действуя далее аналогично, последовательно получим: потенциал 1 для первой строки, –1 для третьего столбца, –3 для третьей строки и 0 для второго столбца.

Прибавляя полученные потенциалы к коэффициентам затрат (и по строкам, и

по столбцам), получаем следующую матрицу оценок:

80