8510

4.1.2.Метод прогонки

Метод прогонки является одним из эффективных методов решения СЛАУ с трехдиагональными матрицами, возникающих при конечно-

разностной аппроксимации задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных второго порядка, и

является частным случаем метода Гаусса.

Рассмотрим следующую СЛАУ:

решение которой будем искать в виде:

xi Ai xi 1 Bi , i 1, n, (4.15)

где Ai , Bi , i 1, n , – прогоночные коэффициенты. Для их определения вы-

разим из первого уравнения СЛАУ (2.14) x1 через x2 . Получим:

41

Из второго уравнения СЛАУ (4.14) с помощью (4.16) выразим x2

через x3

Продолжая этот процесс, получим из i-го уравнения СЛАУ (2.14):

42

Обратный ход метода прогонки осуществляется в соответствии с выражением (4.15):

Формулы (4.17)–(4.20) – формулы правой прогонки.

Аналогично, начиная с последнего уравнения СЛАУ (4.14) выво-

дятся формулы левой прогонки.

Общее число операций в методе прогонки равно 8n 1, т.е. пропор-

ционально числу уравнений. Такие методы решения СЛАУ называют эко-

номичными.

Для устойчивости метода прогонки (4.17)–(4.20) достаточно выпол-

нения следующих условий:

причем строгое неравенство имеет место хотя бы при одном i. Устойчи-

вость понимается в смысле накопления погрешности вектора неизвестных оператором прогонки при малых погрешностях входных данных (правых частей и элементов матрицы СЛАУ).

Обоснование метода прогонки

Метод прогонки содержит операцию деления и, следовательно,

возможно накопление ошибок при увеличении числа уравнений в СЛАУ

(4.14). Поэтому необходимо гарантировать корректность, т.е. выполнение условия:

43

и устойчивость, т.е. ненакопление ошибок при увеличении числа уравне-

Вычитая из первого равенства второе, получим:

то алгоритм метода прогонки не накапливает ошибок и является устойчи-

вым.

Для корректности и устойчивости метода прогонки, т.е. для реали-

зации неравенств (4.22), (4.23), существует следующая лемма.

Лемма (достаточное условие корректности и устойчивости метода прогонки):

Пусть коэффициенты СЛАУ (4.14) удовлетворяют условиям:

причем хотя бы в одном из неравенств (4.24) или(4.25) выполняется стро-

гое неравенство, т.е. матрица СЛАУ (4.14) имеет диагональное преоблада-

ние. Тогда имеют место неравенства (4.22) и (4.23), гарантирующие кор-

ректность и устойчивость метода прогонки.

44

4.2.Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

4.2.1.Метод простой итерации (метод Якоби)

Для того чтобы применить метод простой итерации к решению сис-

темы линейных алгебраических уравнений

Здесь B – квадратная матрица с элементами bij (i, j 1,2,...,m) , с – вектор-столбец с элементами ci (i 1,2,...,m) .

В развернутой форме записи система (4.15) имеет следующий вид:

Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итерации [т.е. к виду (4.27)], не является простой и требует специаль-

ных знаний, а также существенного использования специфики системы. В

некоторых случаях в таком преобразовании нет необходимости, так как сама исходная система уже имеет вид (4.27).

Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итерации, состоит в следующем. Из первого уравнения системы (4.26) вы-

разим неизвестное x1 :

x1 a111 (b1 a12 x2 a13 x3 ... a1m xm ),

из второго уравнения – неизвестное x2 :

x2 a221 (b2 a21x1 a23 x3 ... a2m xm ),

46

В случае, когда для итераций используется система (4.29) с коэф-

фициентами, вычисленными по формулам (4.30), метод простой итерации принято называть методом Якоби.

Сходимость метода простой итерации.

Теорема. Пусть выполнено условие

Тогда:

решение x системы (4.27) существует и единственно;

при произвольном начальном приближении x (0) метод про-

стой итерации сходится и справедлива оценка погрешности

Апостериорная оценка погрешности

Если выполнено условие (4.33), то справедлива апостериорная

оценка погрешности:

Если требуется найти решение с точностью , то в силу (4.35) сле-

дует вести итерации до выполнения неравенства:

Таким образом, в качестве критерия окончания итерационного про-

цесса может быть использовано неравенство:

Пример. Методом простой итерации (Якоби) найти решение сле-

дующей системы. В качестве критерия останова будем использовать усло-

вие удовлетворения найденного решения исходной системе:

Решение.

Для того чтобы применить метод простой итерации к решению сис-

темы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей необхо-

димо сначала преобразовать эту систему к виду, удобному для итераций.

Самый легкий способ состоит в следующем.

Из первого уравнения системы выразим неизвестное x1 :

x1 6,251 (7,5 x2 0,5x3 7,5) ,

из второго уравнения – неизвестное x2 :

x2 15 (x1 2,12x3 8,68) ,

и из третьего – неизвестное x3 :

x3 31,6 ( 0,5x1 2,12x2 0,24) .

Вычисляя коэффициенты, приведем систему к виду:

x1 0,16x2 0,08x3 1,2, x2 0,2x1 0,424x3 1,736,

x3 0,1389x1 0,5889x2 0,24.

В последнем уравнении коэффициенты даны с точностью до по-

грешности округления. Выберем начальное приближение:

x1(0) 0, x2(0) 0, x3(0) 0.

Подставляя его в правую часть системы и вычисляя полученное вы-

ражение, находим первое приближение:

48

x1(1) 1,2,

x2(1) 1,736, x3(1) 0,24.

Подставляя найденные неизвестные в исходную систему, убедимся,

что они не являются корнями данных уравнений. Действительно, 6,25 1,2 1,736 0,5 0,24 9,116 7,5,1,2 5 1,736 2,12 0,24 10,3888 8.68,

0,5 1,2 2,12 1,736 3,6 0,24 3,944 0,24.

Подставляя приближение x(1) в правую часть преобразованной сис-

темы, получаем x(2) :

x1(2) 0,9276, x2(2) 1,4677, x3(2) 0,0667.

Подставляя найденные неизвестные в исходную систему, убедимся,

что они не являются корнями:

6,25 0,9276 1,4677 0,5 0,0667 7,4411 7,5,0,9276 5 1,4677 2,12 0,0667 8,4075 8.68,

0,5 0,9276 2,12 1,4677 3,6 0,0667 2,8878 0,24.

Таким образом, продолжая этот процесс далее, получим последова-

тельность x(0) , x(1) ,...,x(n) приближений, вычисляемых по формулам:

Итак, если мы приняли за начальное приближение вектор

x1(0) 0, x2(0) 0, x3(0) 0

49

и будем вести итерации по формулам, представленным выше, до выполне-

ния равенств в исходной системе, то в данном примере эти равенства будут выполнены на пятнадцатой итерации и значения корней будут следующие:

x1 0,8, x2 2, x3 1.

Найденное решение совпадает с точным.

Пример.

Используя метод простой итерации, найти решение системы:

с точностью 10 2 .

Решение.

Приведем систему к эквивалентному виду:

или

x c Bx ,

но, достаточное условие сходимости метода простых итераций выполнено.

Итерационный процесс выглядит следующим образом: