8510

51

Тогда расчетные формулы метода примут компактный вид:

Тогда при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится и верна оценка погрешности

Вычисляя нормы левой и правой частей этого равенства и используя свой-

ства норм, получим:

52

Так как это неравенство верно для всех k 0 , то из него следует оценка

(4.40). В силу условия (4.37) имеем 0 q 1. Поэтому x(n) x при

n .

Особо выделим часто встречающийся на практике случай систем с симметричными положительно определенными матрицами.

Теорема. Пусть А – симметричная положительно определенная мат-

рица. Тогда при любом выборе начального приближения x(0) метод Зейде-

ля сходится со скоростью геометрической прогрессии.

Отметим, что никаких дополнительных априорных условий типа малости нормы некоторой матрицы здесь не накладывается.

Апостериорная оценка погрешности

Если выполнено условие В 1, то для метода Зейделя справедлива апостериорная оценка погрешности:

откуда и следует неравенство (4.42).

Полученное неравенство позволяет сформулировать простой крите-

рий окончания итерационного процесса. Если требуется найти решение с точностью 0 , то итерации метода Зейделя следует вести до выполне-

53

где 2 1 B1 .

B2

Геометрическая интерпретация метода

Приведем геометрическую интерпретацию метода Зейделя в случае m 2 , т.е. в случае решения системы:

a11x1 a12 x2 b1, a21x1 a22 x2 b2 .

Ox1 до пересечения с прямой l1 . Координата x1 точки пересечения прини-

мается за x1(k 1) . Затем точка x перемещается вдоль прямой x1 x1(k 1) до

54

пересечения с прямой l2 . Координата x2 точки пересечения принимается

за x2(k 1) .

На рис. 11 приведены геометрические иллюстрации, отвечающие сходящемуся и расходящемуся итерационному процессу Зейделя. Видно,

что характер сходимости может измениться при перестановке уравнений.

Пример. Методом Зейделя найти решение следующей системы. В

качестве критерия останова будем использовать условие удовлетворения найденного решения исходной системе:

Пусть эта система приведена к виду:

x1 0,16x2 0,08x3 1,2, x2 0,2x1 0,424x3 1,736,

x3 0,1389x1 0,5889x2 0,24.

Метод Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. В качестве нулевых приближений возьмем значения:

x1(0) 0, x2(0) 0, x3(0) 0.

Тогда, подставляя их в правую часть первого из уравнений системы и вычисляя полученное выражение, находим первое приближение:

x1(1) 1,2.

Но при вычислении x2 мы будем использовать не значение x1(0) , а

найденное первое приближение x1(1) 1,2 , то есть:

x2(1) 0,2 1,2 0,424 0 1,736 1,12.

Высчитывая x3 , мы подставим в уравнение x1(1) , x2(1) :

55

x3(1) 0,1389 1,2 0,5889 ( 1,12) 0,24 0,2807.

Таким образом, у нас есть первое приближение

x1(1) 1,2,

x2(1) 1,496, x3(1) 0,6476.

Подставляя найденные неизвестные в исходную систему, убежда-

емся, что они не являются решением исходной системы:

6.25 1.2+1.496+0.5 0.6476 = 9.3198 7.5, -1.2+5 (-1.496)+2.12 0.6476 = -7.3071 -8.68,

0.5 1.2+2.12 (-1.496)+3.6 0.6476 = -0.2401 -0.24.

Подставляя приближение x(1) в правую часть системы, получаем x(2) :

x1(2) 0,9088, x2(2) 1,8288, x3(2) 0,8841.

Подставляя найденные неизвестные в исходную систему, убедимся,

что они не являются решением:

6.25 0.9088+1.8288+0.5 0.8841 = 7.9509 7.5, -0.9088+5 (-1.8288)+2.12 0.8841 = -8.1785 -8.68, 0.5 0.9088+2.12 (-1.8288)+3.6 0.8841 = -0.2399 -0.24.

Таким образом, продолжая этот процесс далее, получим последова-

тельность x(0) , x(1) ,...,x(n) приближений, вычисляемых по формулам:

Итак, если мы приняли за начальное приближение вектор

56

x1(0) 0, x2(0) 0, x3(0) 0

и будем вести итерации по формулам, представленным выше, до выполне-

ния равенств в исходной системе, то в данном примере эти равенства будут выполнены на восьмой итерации и точные значения корней будут равны:

x1 0,8, x2 2, x3 1.

Найденные приближенные значения совпадают с точным решением исходной системы.

Пример. Решить методом Зейделя следующую систему уравнений

6x1 x2 x3 11,33,

x1 6x2 x3 32,

x1 x2 6x3 42.

Вкачестве нулевого приближения возьмем следующий вектор

x(0) (4,67; 7,62; 9,05) .

Процесс замещения будем проводить, руководствуясь следующим крите-

рием останова xi(k ) xi(k 1) 5 10 4 .

Решение.

x1 16 (11,33 x2 x3 ), x2 16 (32 x1 x3 ),

x3 16 (42 x1 x2 ). k 1

Окончательное приближенное решение исходной системы выглядит сле-

дующим образом:

x1 4,666, x2 7,619, x3 9,048.

58

5.Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1. Задача Коши

Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида y f x, y , где f (x, y) непрерывная функция двух пере-

менных и дифференцируемая по у. Его решением называется функция y (x) , непрерывно дифференцируемая на некотором конечном или бес-

конечном множестве и обращающая на нем данное уравнение в тождество

(x) f (x, (x)) .

Общее решение записывается в виде функции y (x, C) с произ-

вольной числовой постоянной C .

Частное решение y x, C0 получается из общего решения при конкретном значении числового параметра C C0 . Для выделения частно-

го решения обычно ставится условие, которому должно удовлетворять это решение: y y0 при x x0 , которое называется начальным условием, а

точка x0 , y0 – начальной точкой. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Ко-

ши). Пусть точка x0 , y0 является внутренней точкой замкнутой прямо-

двух переменных.