Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8510

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

1.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

xk 1

p(x)dx fk 1

(x xk )dx fk

(x xk 1 )dx

xk 1

2 xk 1

1 x

k 1 h

k 1

h 2

(k 1)2 h2

k 2 h2

kh2

(k 1)2 h2

k 2h2

(k 1)h2

k 1 h

fk 1

(k 2)

(3 fk fk 1 ).

Получаем шаговую формулу:

yk 1 yk h2 (3 fk fk 1).

Это двухшаговый метод, т.к. он использует информацию в двух точках xk и xk 1 .

Случай N = 2.

В этом случае p(x) – квадратичный полином, интерполирующий данные (xk 2 , fk 2 ), (xk 1, fk 1 ), (xk , fk ) .

Итоговая формула имеет вид: yk 1 yk 12h (23 fk 16 fk 1 5 fk 2 ). Это трехшаговый метод.

Случай N = 3.

В этом случае p(x) – кубический полином, интерполирующий дан-

ные (xk 3 , fk 3 ), (xk 2 , fk 2 ), (xk 1, fk 1), (xk , fk ) .

Итоговая формула имеет вид:

yk 1 yk 24h (55 fk 59 fk 1 37 fk 2 9 fk 3 ).

Это формула четырехшагового метода.

Построенные формулы для случаев N=1,2,3 называют формулами методов Адамса-Бошфорта. Метод при N=1 имеет второй порядок точно-

сти и его называют методом Адамса-Бошфорта второго порядка. Методы

при N=2 и при N=3 – методы Адамса-Бошфорта третьего и четвертого по-

рядка точности.

Многошаговые методы порождают проблему, которая не возникает при использовании одношаговых методов. Чтобы ее понять, рассмотрим метод Адамса-Бошфорта 4-го порядка точности. Нам задано начальное ус-

ловие:

y0 y(x0 ).

Для счета по формуле случая N =3 необходима информация в точ-

ках x 1, x 2 , x 3 . Такой информации у нас нет. Сложность заключается в том, что многошаговые методы в начале работы нуждаются в помощи. Для выбранного нами примера получается, что при k 3 формулой метода Адамса-Бошфорта воспользоваться мы не можем.

Для проведения вычислений по формулам многошаговых методов предварительно используют либо одношаговые методы того же порядка точности (например, формулы метода Рунге-Кутты), причем до тех пор,

пока не будет получено достаточно значений для работы многошагового метода; либо на первом шаге используют одношаговый метод, на втором шаге используют двухшаговый метод и т.д.

Методы, используемые на этапе подготовки информации для вы-

числений по выбранным формулам многошаговых методов, часто называ-

ют стартовыми методами. Так как стартовые методы обычно имеют более низкий порядок точности, то вначале приходится считать с меньшим ша-

гом и использовать больше промежуточных точек.

5.6.2.Методы Адамса-Моултона

Методы Адамса-Бошфорта используют уже известные значения в точке xk и в предыдущих точках. Однако можно использовать точки xk 1, xk 2 ,.... Простейший случай при этом будет в использовании точек

xk 1, xk ,..., xk N

и построении интерполяционного полинома степени N + 1, удовлетворяю-

щих условиям:

p(xi ) fi , i k 1, k,...,k N. (5.25)

Возникающий таким образом класс методов называется методом Адамса-Моултона.

Случай N=0.

В этом случае p(x) из (5.25) будет линейной функцией, использующей данные (xk , fk ), (xk 1, fk 1 ).

Итоговая формула имеет вид: yk 1 yk h2 ( fk 1 fk ).

Это формула метода Адамса-Моултона второго порядка.

Случай N = 1.

В этом случае p(x) из (5.25) будет квадратичным полиномом, использующим данные (xk 1, fk 1 ), (xk , fk ), (xk 1, fk 1).

Итоговая формула имеет вид: yk 1 yk 12h (5 fk 1 8 fk fk 1 ). Это формула метода Адамса-Моултона третьего порядка.

Случай. N = 2.

В этом случае p(x) из (5.25) является кубическим полиномом, по-

строенным по данным (xk 1, fk 1 ), (xk , fk ),	(xk 1,	fk 1 ),	(xk 2 , fk 2 ).
Итоговая формула имеет вид:

yk 1 yk 24h (9 fk 1 19 fk 5 fk 1 fk 2 ).

Это формула метода Адамса-Моултона четвертого порядка.

Значение fk 1 неизвестно. Для fk 1 надо знать yk 1 : f (xk 1, yk 1 ) fk 1.

Методы Адамса-Моултона определяют yk 1 только неявно. Методы Адамса-Моултона – неявные методы. Методы Адамса-Бошфорта – явные

методы.

5.6.3.Прогноз и коррекция по методу Адамса

На практике часто используют явную и неявную формулы, что при-

водит к методам типа предиктор-корректор. Одним из широко используе-

мых методов типа предиктор-корректор является метод Адамса, представ-

ляемый следующими формулами:

(прог) y

(55 f

59 f

37 f

9 f

k 1

k 2

k 1

(прог) f (x

k 1

, y(прог) ),

k 1

(9 f (прог) 19 f

5 f

k 1

k 2

k 1

В целом этот метод является явным.

5.6.4.Формулы Адамса в конечных разностях

Пусть xk (k 0,1, 2,...) – система равноотстоящих значений с шагом h и yk y(xk ).

Запишем следующее тождество:

	xk 1
yk		(5.26)
yk	y dx.	(5.26)

Вторая интерполяционная формула Ньютона с точностью до разно-

стей четвертого порядка может быть записана в следующем виде:

			q(q 1)		2		q(q 1)(q 2)			3
y	yk q yk 1				yk 2					yk 3
y	yk q yk 1		2		yk 2			3		yk 3
			2					3			(5.27)
		q2	q			q3 3q		2 2q			(5.27)
		q2	q	2		q3 3q		2 2q	3
									3
yk q yk 1			2	yk 2			6		yk 3 ,
			2				6

где qh x xk .

Учитывая, что dx hdq , можем получить из (5.26), (5.27)

1						q	2	q 2								q	3	3q		2		2q	2
1						q	2	q 2								q	3	3q		2		2q	2
yk h yk q yk 1											yk 2												yk 2 dq
yk h yk q yk 1								2			yk 2								6				yk 2 dq
0								2											6
или
				1				1 )				5	2						3			3		(5.28)

yk hyk				2	(hyk							12	(hyk 2 )						8		(hyk 3 ).
				2								12							8
Формула (5.28) называется экстраполяционной формулой Адамса.
Учтем следующие соотношения:
														2
	(h yk 1 ) (h yk )														(h yk 2 ),
		2							2								3
			(h yk 2 )							(h yk 1 )								(h yk 2 )

и будем считать, что конечные разности третьего порядка постоянные, то есть справедливо соотношение:

					3						3
					3	(h yk 3 )					3		(h yk 2 ),
						(h yk 3 )							(h yk 2 ),
тогда формула (5.28) примет вид:
yk							1							3				1 )

		h yk					2	(h yk )							(h yk
							2															(5.29)
	5																1					(5.29)
	5								3								1	3

		(h yk 1 )								(h yk 2 )									(h yk 2 ).
12																	8
Из (5.29) получаем:
			1							1	2								1	3
																1 )						(5.30)
yk h yk			2	(h yk )					12			(h yk				1 )			24		(h yk 2 ).	(5.30)
			2						12										24

Формула (5.30) называется интерполяционной формулой Адамса.

Решая методом Адамса с использованием формул (5.29) и (5.30) по схеме предиктор-корректор значение yk 1 yk yk предсказывается по формуле (5.29) и затем корректируется по формуле (5.30). Формулы (5.29)

и (5.30) дают погрешность порядка (h4 ) .

5.7. Метод Милна

Для численного решения задачи Коши

y f (x, y),

y(x0 ) y0

выберем шаг h. По-прежнему будем придерживаться следующих обозна-

чений:

	xk x0 k h,			yk y(xk ),			1,2,... .
	xk x0 k h,			yk y(xk ),	yk f (xk , yk ), k		1,2,... .
	Будем считать, что нам известны						, а значит известны
	Будем считать, что нам известны					yk , k 0,1,2,3	, а значит известны
yk 1,	yk 2 ,	yk 3 ,	yk 4	(k 4,5,...).

Запишем первую интерполяционную формулу Ньютона в точке xi с

точностью до третьего порядка включительно:

y yi q yi

q(q 1)

2 yi

q(q 1)(q 2)

3 yi

или

y yi q yi

(q2

q) 2 yi

(q3

3q2

2q) 3 yi ,

(5.31)

где q h x x .

Полагая в (5.31) i k 4 и почленно интегрируя полученную формулу по х в пределах от xk 4 до xk , получим:

2 q

q3 3q2 2q

y dx

yk 4

q yk 4

yk 4

yk 4 dx.

xk 4

Учитывая, что q h x xk 4 ,

dx h d q,

получаем:

h y

qdq 2 y

k 4

yk 4

4 yk 4 8 yk 4

yk 4

Так как

yk 4

yk 3 yk 4 ,

yk 4

yk 2

2 yk 3 yk 4

yk 4

3yk 2

3yk

3 yk 4

то подстановка их в последнюю формулу даст:

												76
			yk yk 4			4h			(2 fk 3 fk 2 2 fk 1 ).
			yk yk 4			3			(2 fk 3 fk 2 2 fk 1 ).
						3
Это первая формула Милна.
Полагая в (5.31) i 2 и интегрируем по х в пределах от xk 2 до
xk с учетом того, что qh x xk 2 ,												hdq dx. Получаем:
	xk		2												1
															1		2					2
														2		(q		q)
			y dx h	yk 2		q yk								2		(q		q)					yk 2
x	k 2		0												2
	k 2
								1					3		2						3
								1			(q			3q 2q) yk 2 dq,

								6
								6
или
																		1			2
		yk yk 2 h 2 yk 2 2 yk 2																	yk 2					.
		yk yk 2 h 2 yk 2 2 yk 2																3	yk 2					.
																		3
Если учесть, что
															,
			yk 2			yk 1 yk 2									,
				2																,
					yk 2 yk							2 yk 1 yk 2								,
получим формулу:
			yk yk 2				h			( fk 2 4 fk 1 fk ).
			yk yk 2							( fk 2 4 fk 1 fk ).
						3

Это вторая формула Милна.

Замечание:

Для дифференциального уравнения

y f (x),

y(x0 ) y0

вторая формула Милна совпадает с формулой Симпсона для интеграла

yk yk 2 f (x)dx.

xk 2

Вычисления по методу Милна осуществляются следующим обра-

зом:

вычисляем первое приближение yk(1) для ближайшего следующего значения yk по формуле:

y(1) y

(2 f

2 f

k 4,5,...;

k 4

k 3

k 2

k 1

значение y(1)

подставляем в дифференциальное уравнение и опреде-

ляем соответствующее значение

(1)

f (xk , yk ) ;

находим второе приближение y(2) по формуле:

y(2)

( f

4 f

f (1) ),

k 4,5,....

k 2

k 1

Так как абсолютная погрешность значения yk(2) приближенно равна

k 291 yk(2) yk(1) ,

иесли , где – заданная предельная погрешность решения, то мож-

но положить y	k	y(2)	, а значит
	k	k
				(2)	).
			yk f (xk , yk		).

Вычисление ближайшего следующего значения yk 1 повторяет описанный процесс. Если точность не обеспечивается, то уменьшается шаг h.

Метод Милна является методом типа предиктор-корректор.

Опишем вывод формулы абсолютной погрешности метода Милна.

Учитывая отброшенные в интерполяционной формуле Ньютона разности четвертого порядка, можем, с точностью до разностей пятого порядка, за-

писать:

(1)		4		1		4			3			2			4			28			4
(1)						4			3			2			4						4
k	h				(q			6q			11q			6q)		yk	4dq		h			yk 4			,
k	h			24	(q			6q			11q			6q)		yk	4dq	90	h			yk 4			,
		0
(2)			2	1			4			3			2		4				h				4
k	h				(q			6q			11q			6q)		yk 2dq				h				yk	2 .
k	h		24		(q			6q			11q			6q)		yk 2dq				h				yk	2 .
			24															90
			0

Таким образом, считая, что четвертая разность		4		постоянная на интер-
Таким образом, считая, что четвертая разность			yk	постоянная на интер-
вале длины 4h, получаем:
(1)	28 (2) .
k	k

Это и дает формулу для оценки абсолютной погрешности метода Милна:

y(1)

y(2)

(2)

Если шаг h достаточно мал, то приближенно можно записать

yk yv (x

Пусть x a, b , т.е. решение задачи Коши ищется на отрезке a, b и

b a

. Из исходных формул для (1)

(2) следует, что предельная абсо-

лютная погрешность на a, b приближенного решения yk y(xk ) выража-

ется следующей формулой:

b a

max

yv (x)

где M

a,b

Суммарная ошибка метода Милна есть величина порядка h4 .

5.8.Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Напомним формулировку задачи Коши для системы обыкновенных

дифференциальных уравнений первого порядка.

Пусть дана следующая система:

dydx1 f1(x, y1, y2 ,...,yn ), dydx2 f2 (x, y1, y2 ,...,yn ),

dydxn fn (x, y1, y2 ,...,yn ).

		79
Надо найти y1 y1(x),	y2 y2 (x), ...,		yn yn (x) , причем
y1(x0 ) y0 ,		y2 (x0 ) y20,	,	yn (x0 ) yn0 .

Рассмотренные методы решения задачи Коши для обыкновенных

дифференциальных уравнений первого порядка можно применять и к ре-

шению задач Коши для систем. Форма записи претерпевает минимальные изменения:

числа y		заменяем на векторы			( y	, y		,...,y		) ;
	k		y	k			2k		nk
					1k
функции f заменяем на вектор-функции							и т.д.
						f

Запишем еще раз постановку задачи. Так как в координатной форме

записи она представлена в (3), (4), то приведем векторную форму записи:


d y
	f (x, y),	y(x0 ) y0.
d x

Если мы имеем дифференциальное уравнение n-ого порядка y(n) F(x, y, y , y(2) ,..., y(n 1) ) ,

то оно может быть сведено к системе:


	dy	y ,
		y ,
	dx			1
	dx
	dy1		y			,
			y		2	,
	dx				2
	dx
..........
	dyn 2			y			n 1	,
	dx						n 1
	dx
	dyn 1			F (x, y, y ,..., y					n 1	).
				F (x, y, y ,..., y						).
	dx							1
	dx

5.9. Метод Эйлера

Формула метода Эйлера имеет следующий вид:


yk 1	yk	hf (xk , yk ) .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20231.67 Mб18506.pdf
#
25.11.20231.67 Mб08507.pdf
#
25.11.20231.67 Mб18508.pdf
#
25.11.20231.67 Mб08509.pdf
#
21.11.2023157.06 Кб0851.pdf
#
25.11.20231.67 Mб08510.pdf
#
25.11.20231.67 Mб08511.pdf
#
25.11.20231.67 Mб18512.pdf
#
25.11.20231.67 Mб08513.pdf
#
25.11.20231.67 Mб08514.pdf
#
25.11.20231.67 Mб08515.pdf