8531

и имеют одни и те же начальное и конечное события, то их различить сложно. Включение фиктивной операции позволит решить данную проблему (рис. 7).

Рис. 7. Стрелочный граф с фиктивной операцией идентификации

Выполнение проекта начинается с исходного события, то есть с события, у которого нет предшествующих работ. Завершающим событием, то есть событием, которое не имеет последующих работ,

заканчивается выполнение проекта.

1.1.2. Вершинные графы. Сравнение вершинных и стрелочных

графов

В вершинных графах вершины соответствуют операциям, а стрелки изображают их взаимосвязи. Как и в предыдущем случае, течение времени следует изображать в направлении слева направо (рис. 8). Здесь нет необходимости вводить фиктивные операции. Построение вершинного графа начинается с начальной вершины (начальной операции), которая имеет нулевую продолжительность и соответствует начальному отсчету времени, а заканчивается последней операцией проекта.

11

А В

Рис. 8. Определение вершинного графа

Рассмотрим и сравним четыре разные ситуации для стрелочных и

вершинных графов.

Рис. 9. Ситуация 1

2. Операция X зависит от операций P и Q (рис. 10)

Рис. 10. Ситуация 2

12

3. Операции X и Y зависят от операций P и Q (рис. 11)

Рис. 11. Ситуация 3

4. Операция X зависит от операции P , а операция Y зависит от операций P и Q (рис. 12)

Рис. 12. Ситуация 4

13

1.2.Сетевое планирование и управление. Анализ критического пути

После того, как проведена идентификация операций, можно оценить их продолжительность. На основе продолжительности выполнения каждой операции и руководствуясь логической схемой, то есть сетевым графом,

можно найти время выполнения проекта в целом. На данном этапе предполагается, что продолжительность выполнения каждой операции является фиксированной величиной, не испытывающей влияния неопределенности. Таким образом, после построения сетевого графа ещѐ раз необходимо оценить продолжительность выполнения каждой работы и выделить работы, которые определяют завершение проекта в целом.

Нужно оценить потребность каждой работы в ресурсах и пересмотреть план с учетом обеспечения ресурсами.

В каждом графе существует одна начальная вершина и одна конечная и существует несколько возможных путей, проходящих от начальной вершины до конечной. Общее время, необходимое для того,

чтобы пройти какой-либо путь, есть сумма времени выполнения всех операций, принадлежащих данному пути. Продолжительность выполнения всего проекта занимает наибольшее время.

Операция, или работа называется критической, если любая задержка срока начала или окончания выполнения этой работы повлечет за собой задержку выполнения проекта в целом. Критические операции образуют путь, проходящий через весь граф. Этот путь называется критическим путем. В каждом графе найдется по крайней мере один критический путь.

Именно на работы, принадлежащие критическому пути, следует обращать особое внимание. Если такая работа будет отложена на некоторое время,

то время окончания проекта будет отложено на такое же время. Если

14

необходимо сократить время выполнения проекта, то в первую очередь

нужно сократить время выполнения хотя бы одной работы на критическом

пути.

Для того, чтобы найти общую продолжительность выполнения

проекта, нужно определить продолжительность критического пути.

Таким образом, чтобы найти критический путь достаточно перебрать все пути и выбрать тот из них, который имеет наибольшую суммарную продолжительность выполнения работ. Однако для большинства проектов такая работа связана с очень большим количеством вычислений.

Существует два возможных метода, позволяющих отследить движение времени в графе:

1)определение для каждой операции наиболее ранних сроков начала

иокончания еѐ выполнения.

2)определение для каждого события наиболее раннего срока его наступления. Второй метод может использоваться только для стрелочных графов.

1.3.Метод критического пути

Метод критического пути (Critical Path Method – CPM)

используется для управления проектами с фиксированной продолжительностью операций. При реализации проекта составляется график выполнения работ. Для того чтобы проект был завершен вовремя,

необходимо контролировать сроки выполнения этих работ.

Взаимосвязанность работ (операций) является усложняющим фактором.

Некоторые операции зависят от выполнения других работ и не могут начаться, пока предшествующие работы не будут завершены.

15

Важной предпосылкой применения метода CPM является предположение о том, что время выполнения каждой работы точно известно. В результате применения метода можно получить ответы на важные для целей управления вопросы:

1.За какое минимальное время можно выполнить проект?

2.В какое время должны начаться и окончиться отдельные

работы?

3.Какие работы являются «критическими» и должны быть выполнены точно в установленное время, чтобы не сорвать срок выполнения проекта в целом?

4.На какое время можно отложить срок выполнения

«некритической» работы, чтобы она не повлияла на срок выполнения проекта?

Исходным шагом для применения метода CPM является описание проекта в виде перечня выполняемых работ, их продолжительности и указание взаимосвязей работ (через предшествующие работы).

1.3.1. Анализ критического пути с применением вершинных

графов

Предположим, что каждая из исходных операций начинается в нулевой момент времени. Обозначим через ES (Early Start) наиболее ранний срок начала операции. Наиболее ранний срок окончания этой операции обозначим через EF (Early Finish). Значение EF определяется по формуле:

EF = ES + Продолжительность операции.

16

Для определения ES необходимо руководствоваться следующим правилом: наиболее ранний срок начала операции (если операция не начальная) равен максимуму среди наиболее ранних сроков предшествующих ей операций.

Строится таблица вычисления наиболее ранних сроков начала и окончания операций. В результате этих вычислений мы сможем найти продолжительность критического пути, то есть продолжительность проекта, однако, сам критический путь найти пока нельзя. Необходимо выполнить вторую группу вычислений.

После того, как определены наиболее ранние сроки начала и окончания работ, вычисляются наиболее поздние сроки начала LS (Last Start) и наиболее поздние сроки окончания работ LF (Last Finish).

В этом случае процедуру расчета начинают с последней операции в графе. При этом предполагается, что у последней операции еѐ наиболее ранний срок окончания совпадает с наиболее поздним сроком окончания.

Вычисления ведутся по формуле:

LS = LF - Продолжительность операции.

Для определения LF необходимо руководствоваться следующим правилом: наиболее поздний срок окончания операции равен минимуму среди наиболее поздних стартов последующих за ней операций.

Критической является операция, для которой справедливы следующие соотношения:

ES = LS и EF = LF,

17

то есть это операция, для которой не существует резерва времени между наиболее ранним сроком еѐ начала и наиболее поздним сроком еѐ окончания.

Данную задачу удобно решать с помощью электронных таблиц.

Получаемая программа становится в некотором смысле универсальной:

фиксируется только «технологическая карта», то есть сам сетевой граф, а

временем операций можно манипулировать, выбирая наиболее подходящий вариант. Разнообразные примеры рассматриваются в лабораторном практикуме.

1.3.2. Анализ критического пути с применением стрелочных

графов

Уточним правила построения стрелочных графов.

1.Исходное событие лишь одно.

2.Завершающее событие лишь одно.

3.Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой-стрелкой. Если два события связаны более чем одной работой, рекомендуется ввести дополнительное событие и фиктивную работу.

4.В сети не должно быть замкнутых циклов.

5.Если для выполнения одной из работ необходимо получить результаты всех работ, входящих в предшествующее для нее событие, то нужно ввести дополнительное событие, отражающее результаты только этих последних работ, и фиктивную работу, связывающую новое событие

спрежним.

18

Замечание. На рис. 13 приводится пример, иллюстрирующий последнее требование. Здесь для начала работы D достаточно окончания работы A. Для начала же работы C нужно окончание работ A и B.

Рис. 13. Ввод дополнительных событий

Существуют два способа описания: табличный и графический.

Рассмотрим табл. 1, содержащую описание проекта в табличном виде.

В первом столбце табл. 1 указаны в буквенном виде наименования всех работ проекта. Их четыре: A, B, C, D. Во втором столбце указаны работы, предшествующие данной. У работ A и B нет предшествующих работ. Работе C предшествует работа B. Это означает, что работа C может быть начата только после завершения работы B. Работе D предшествуют две работы: A и C. Это означает, что работа D может быть начата только по завершении работ A и C. В третьем столбце для каждой работы указано время, необходимое для ее выполнения.

По этим данным строится графическое описание проекта (рис. 14).

19