8540
.pdf10
приложения этой силы называется центром тяжести данного тела. Положение центра тяжести тела зависит только от формы тела и распределения в нем элементарных объемов.
Таким образом, центр тяжести- это такая геометрическая точка, неизменно связанная с телом, через которую проходит линия действия силы тяжести данного тела при любом его положении в пространстве.
Координаты центра тяжести твердого тела (точки С) определяются формулами:
x |
|
Gk xk |
y |
|
Gk yk |
z |
|
Gk zk |
|
Gk |
Gk |
Gk |
|||||||
c |
|
c |
|
c |
|
где Gк – сила тяжести элементарных объемов тела,
хк , ук , zк – координаты центров тяжести элементарных объемов тела,
G = Σ Gк – сила тяжести данного тела ( его вес ).
В частном случае, для плоских однородных тел в виде тонких фигур постоянной толщины, координаты центра тяжести определяются формулами:
xc |
|
Ak xk |
; |
yc |
|
Ak yk |
|
Ak |
Ak , |
||||||
|
|
|
|
|
где Ак – площади простейших частей плоской фигуры, центры тяжести которых заранее известны,
xк, ук – координаты центров тяжести простейших фигур,
А = Σ Ак – площадь данной плоской фигуры.
Пример: Однородная плита, изображенная на рисунке с указанными размерами, прикреплена к земле при помощи трех стоек (опор). Способом разбиения на элементарные фигуры найти координаты центра тяжести этой плиты и реакции опор в указанных точках их крепления.
Дано: вес 1м2 плиты равен g 5 кН м2 .
Определить реакции связей на опорах 1,2 и 3.
Решение
1. Выбираем исходную систему координат xO yO .
|
|
|
11 |
|
|
|
2. |
Разбиваем фигуру на простые составляющие. |
|||||
|
|
|
|
|
|
y0 |
1 |
|
|
|
|
|
c1 |
4 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c5 |
3м |
|
|
3 |
|
|
c4 |
|
|
8 |
|
|
c3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6 |
5 |
|
c2 |
|
|
|
|
3 |
||
3м |
|
|
|
|
x0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3м |
3м |
6 м |
3м |
|
O |
2 |
|
|
4.5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
9 |
3.Определяем площади и координаты центров тяжести составных частей фигуры.
A 12 4 48 м2 |
; |
x 9м; |
y 8м; |
||||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
A 6 3 18 м2 ; |
|
x |
2 |
4.5м; |
y |
2 |
3м; |
2 |
|
|
|
|
|
||
A 3 6 2 9м 2 |
; |
x |
3 |
2м; |
y |
3 |
3м; |
3 |
|
|
|
|
|
||
A 3 6 2 9м2 |
; |
x |
4 |
8м; |
y |
4 |
5м; |
4 |
|
|
|
|
|
||
A 22 12.56 м 2 ; |
x |
5 |
6м; |
y |
5 |
6м. |
|
5 |
|
|
|
|
|
4.Определяем общую площадь фигуры и вес плиты
(равнодействующую системы параллельных сил тяжести).
A A1 A2 A3 A4 - A5 48 18 9 9 12.56 71.44 м 2 ;
Gg A 5 71.44 357.2кН.
5.Определяем точку приложения равнодействующей (координаты
|
|
центра |
тяжести) и показываем ее на рисунке. |
||||||||||
x |
|
|
|
x1 A1 |
x2 A2 x3 A3 x4 A4 x5 A5 |
|
9 48 4.5 18 2 9 8 9 6 12.56 |
7.386 м; |
|||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
A1 |
A2 A3 A4 A5 |
71.44 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
|
|
y1 A1 |
y2 A2 y3 A3 y4 A4 y5 A5 |
|
|
8 48 3 18 3 9 5 9 6 12.56 |
6.084 м; |
|||||
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
A1 |
A2 A3 A4 A5 |
71.44 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
y0 |
v |
yC |
|
2 |
|
|
|
|
|||
м |
|
1 |
|
|
|
|
3.916 |
4 м |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
xC |
||
м |
|
|
|
|
3 |
|
6.084 |
|
|
|
|
|
|
6м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
u |
x0 |
y |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
3м |
|
9 м |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
4.386 м |
4.614 м |
1 |
|
|
xC |
7.386 м |
|
|
||
|
|
|
|
|
1-1 |
w |
|
G |
|
|
|
|
||
|
1,2 |
C |
3 |
u |
|
R 1 |
4.386 м |
|
R 3 |
|
R 2 |
|
9 м |
|
|
|
|
|
2-2 |
w |
G |
|
|
6.084 м |
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
C |
1 |
v |
R 2 |
6 м |
R 3 |
|
R 1 |
|
10 м |
|
||
|
|
|
|
6. Составляем уравнения равновесия, используя систему координатных
осей uvw, проходящих через точки опирания плиты.
MV |
|
0 |
|
|
|
|
|
MU |
0 |
||
|
W |
0; |
|
|
G 4.386 R3 9 0
R3 6 G 6.084 R1 10 0
R1 R2 R3 G 0;
7.Решая систему уравнений, определяем реакции опор.
R3 G 4.386 / 9 357.2 4.386 / 9 174.075кН
R1 G 6.084 R3 6 /10 357.2 6.084 174.075 6 /10 112.875кНR2 G R1 R3 357.2 112.875 174.075 70.25кН .
Ответ: реакции стоек равны R1 112.875кН , R2 70.25кН , R3 174.075кН .
1.4. Равновесие пространственной системы произвольно расположенных
сил
ЗАДАЧА 4.
Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно,
чтобы главный вектор и главный момент этой системы равнялись нулю. В
проекциях на координатные оси это условие равновесия может быть записано в виде шести уравнений равновесия: трех уравнений проекций сил на координатные оси и трех уравнений моментов этих сил относительно данных осей.
ΣХ = 0, ΣУ = 0, ΣZ = 0; ΣМх = 0, ΣМу = 0, ΣМz = 0;
13
Пример: абсолютно твердое тело, в виде параллелепипеда заданных размеров, полностью закреплено с помощью внешних связей. К ребрам и граням данного тела приложены активные нагрузки в виде сосредоточенных сил и распределенных нагрузок. Требуется определить реакции связей.
Дано: F 8кН; Р 12кН; q 2кН / м.
Определить реакции связей.
|
|
|
z |
Q |
|
w X C |
|
|
|
|
|
|
|
F |
q |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1м |
|
C |
|
|
|
C v |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 м |
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
Y A A |
|
|
|
y |
|
|
B |
|
|
|
B |
P |
|
|
|
|
|
|
|
X A |
Z A P |
X B |
Z B |
||
2 м |
2 м |
|
||||
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1. Отбрасываем связи (опоры) и заменяем их неизвестными реакциями.
Распределенные нагрузки заменяем равнодействующими.
2. Выбираем систему координат xyz, проводя оси через шаровой шарнир.
3. Составляем уравнения равновесия.
M X |
0 |
|
||
|
M Y |
0 |
|
|
|
|
|||
|
M Z |
0 |
; |
|
|
X 0 |
|||
|
|
|||
|
Y 0 |
|
||
|
|
|||
|
Z 0 |
|
||
|
|
|||
|
|
|
Z B 4 F 2 Q 1 0 |
|
||||||||||
X |
|
|
2 Q 1 0 |
|
|
|
|||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X B |
4 X C 4 F 1 P 2 0 |
. |
|||||||||
|
X |
|
X |
|
P X |
|
0 |
||||
|
A |
B |
C |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F Y |
A |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
Q 0. |
|
|
|
|||||
Z |
A |
B |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Решаем систему уравнений и находим неизвестные реакции.
14
Z BX C
X B
X A
YA
Z
A
F 2 Q 1 4 8 2 4 1 4 5кН
Q 2 4 / 2 2кН
X C 4 F 1 P 2 4 2 4 8 1 12 2 4 10кН в другую сторону
X B P X C ( 10) 12 2 4кН (в другую сторону)
F 8кН (в другую сторону)
Z B Q 5 4 1кН (в другую сторону).
5. Выполняем проверку, для чего проводим оси uvw через произвольную
точку С и относительно них вычисляем суммы моментов.
MU Q 3 YA 2 Z A 4 4 3 8 2 ( 1) 4 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
MV |
X A 2 Z A 1 P 2 |
X B 2 Z B 1 ( 4) 2 ( 1) 1 12 2 ( 10) 2 5 1 0 |
|||
|
||||||
|
|
X A 4 YA 1 P 2 |
|
|
|
|
MW |
4 |
4 8 1 12 2 0. |
|
|
||
Проверка выполняется. |
|
|
|
|
||
Ответ: реакции связей равны: |
X A 4кН , X B 10кН , |
YA 8кН , |
|
|||
Z A 1кН реакции имеют противоположные направления , |
X C 2кН , ZB |
5кН . |
15
2.КИНЕМАТИКА
2.1. Координатным способом задан закон движения точки
ЗАДАЧА 1
Координатным способом задан закон движения материальной точки.
{ = 2 + 2 cos ( 3 )
= 1 + 3 2 ( 3 ) .
Построить траекторию движения, отметив на ней положение точки M в
начальный и заданный момент времени. Для заданного момента времени t = 1C определить скорость, полное, нормальное и касательное ускорения точки, определить радиус кривизны траектории. определить каким является движение: ускоренным, равномерным или замедленным.
Решение:
1.определяем траекторию. исключаем время из закона движения точки.
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
cos ( |
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
|
) = ( |
−2 |
) |
|||||||||||||||||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
откуда |
|
|
3 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
{ |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
||||||||||||
2 ( |
) = |
, |
|
|
|
|
|
|
|
2 ( |
) = |
. |
|||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
( − 2)2 + |
|||||||
складывая, получаем |
1 = ( |
) |
+ |
|
, |
откуда |
3 = |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
( − 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразуем к виду: |
( − 4) = − |
3 |
|
( − 2)2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
введем новые переменные: { 1 |
= − 2 |
с обратным переходом |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ = 1 + 4 . |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
получим уравнение квадратной параболы = − |
2 |
с ветвями |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
направленными вниз и вершиной с координатами |
{ 1 = 0 |
|
|
|
|
|
или |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
{ = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строим параболу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
при |
1 = 0 |
1 = 0 |
|
|
|
|
(точка (+2, +4)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
1 = 1 |
1 = −0.75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
(точки (+1, +3.25) и (+3, +3.25)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
при |
1 = 2 |
1 = −3.0 |
|
|
|
(точки (0, +1) и (+4, +1)). |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
M |
0 |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
траектория |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
x |
|
траектория незамкнута. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
определяем |
границы |
траектории, |
исходя |
|
из |
неравенства |
|
||||||||||||||||
|
−1 ≤ cos ( 3 ) ≤ +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
получим: |
−1 ≤ X−2 ≤ +1, |
|
−2 ≤ X − 2 ≤ +2, |
|
0 ≤ X ≤ +4. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
определяем положение точки М при t=1c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
= 2 + 2 ( ) = 2 + 2 cos 600 |
= 2 + 2 ∙ 1 = 3 м. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
= 1 + 3 |
|
|
2 |
( |
|
) |
= 1 + 3 sin |
2 |
|
0 |
= 1 + 3 ∙ |
( |
√3 |
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
60 |
|
|
) |
= 1 + 3 ∙ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= 3.25 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
показываем точку м на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.определяем скорость точки.
для этого определяем проекции вектора скорости на координатные
оси:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 + 2 (3)) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= ̇= |
|
= −2 ∙ ( ( |
|
)) ∙ |
|
= − |
|
∙ ( |
|
), |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
17
|
(1 + 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= ̇= |
(3)) |
= +3 ∙ (2 ( |
|
) ( |
|
)) ∙ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= ∙ |
( |
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
при t=1c |
( |
|
) = 600 = |
√3 |
И |
( |
2 |
) = 1200 = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sin (1800 − ) = 600 = |
√3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
тогда |
|
= − |
2 |
∙ |
√3 |
= − |
|
= −1.81 м⁄с, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= ∙ |
√3 |
|
= +2.72 м⁄с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изображаем вектор скорости на рисунке.
вычисляем модуль вектора скорости:
= √ 2 + 2 = √1.812 + 2.722 = 3.27 м⁄с.
4.вычисляем ускорение точки.
для этого определяем проекции вектора ускорения на координатные оси:
|
= ̇= ̈= |
(− |
2 |
∙ ( |
|
)) |
|
= − |
2 |
∙ ( |
|
) ∙ |
|
= − |
2 |
2 ∙ ( |
|
), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
3 |
9 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
= ̇= ̈= |
( ∙ ( |
2 |
)) |
= ∙ ( |
2 |
) ∙ |
2 |
= |
2 |
2 ∙ ( |
2 |
). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
при T=1c. |
|
( |
|
) = 600 |
= |
1 |
|
И |
( |
2 |
) = COS 1200 |
= − |
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
тогда |
|
|
= − |
2 |
2 |
∙ |
1 |
= − |
= −1.10 |
|
|
М |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
2 |
2 ∙ (− |
1 |
) |
= − |
|
= −3.29 |
М |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изображаем вектор ускорения на рисунке.
найдем модуль ускорения:
= √ 2 + 2 = √1.102 + 3.292 = 3.47 СМ2.
проектируем вектор ускорения на направление вектора скорости:
|
|
∙ |
|
( |
|
+ |
|
|
) |
|
(−1.81)∙(−1.10)+2.72∙(−3.29) |
|
М |
|
|
= |
= |
|
|
|
|
|
= |
= −2.13 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
3.27 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 |
проекция отрицательна, то есть движение при Т=1c. является
замедленным.
найденная проекция по модулю равна касательному ускорению
| | = | |.
18
вычисляем нормальное ускорение:
= √ 2 + 2 = √3.472 + 2.132 = 2.74 СМ2.
показываем найденные ускорения на рисунке.
5. вычисляем радиус кривизны траектории в данной точке:
= 2 = 3.272 = 3.9м.
2.74
задача решена
2.2.Преобразование движения ЗАДАЧА 2
На схеме изображен механизм, передающий движение от тела №1 к телу №6.
Тело №1, которое совершает поступательное движение, имеет скорость равную V1.
Заданы радиусы колес данного механизма – R2, R3, R4, R5, r3=k3·R3, r4=k4·R4.
Определить угловые скорости всех колес механизма, линейные скорости точек соприкосновения колес, а также скорость тела №6. Определить скорость и ускорение точки М. Считать, что нити нерастяжимы, а проскальзывание колес и нитей при движении механизма отсутствует.
дано: стержень №1 движется вверх со скоростью = 120 СМ . |
||||
|
|
|
1 |
С |
|
|
|
|
|
размеры деталей: 2 = 4 = 20 СМ, |
3 = 15 СМ, |
3 = 5 = 30 СМ, |
||
2 = 40 СМ. |
|
|
|
|
R4 |
r |
r2 |
R5 |
|
|
|
v |
||
|
R3 |
R2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
v6 ? |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
19
Решение:
1.определим направление характер движения тел образующих передачу:
тело 1 − движение поступательное вверх;
тело 5 − движение вращательное против часовой стрелки;
тело 2 − движение вращательное по часовой стрелке;
тело 3 − движение вращательное по часовой стрелке;
тело 4 − движение вращательное против часовой стрелки;
тело 6 − движение поступательное вниз.
2.определим скорости точек соприкосновения деталей передачи,
используя два положения:
две соприкасающиеся точки вращающихся колес имеют равные по величине и направлению скорости;
все точки ременной передачи имеют равные по величине скорости.
4 |
3 |
|
F |
R4 |
r |
r2 |
|
R5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
R2 |
|
|
v1 |
|
|
|
E |
R3 |
B |
A |
||
v6 |
|
M |
|
C |
2 |
|
|
|
|
D |
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
получим следующие результаты:
|
|
|
= = 120 |
М |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
РАД |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
= , |
откуда получаем, что |
|
5 |
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= 4 |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
по модулю |
= 120 |
, |
так как |
= |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РАД |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= , |
откуда получаем, что |
|
2 |
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= 3 |
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= |
, |
откуда получаем, что |
|
|
= 3 ∙ 20 = 60 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
ПО модулю и направлению = |
|
|
, |
откуда |
|
= 60 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
РАД |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= , |
откуда получаем, что |
|
3 |
= |
|
|
= |
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= |
, |
откуда получаем, что |
|
|
|
= 2 ∙ 15 = 30 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|