8540
.pdf
20
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
М |
|||
|
|
= , |
откуда получаем, что = |
|
= |
|
|
= 15 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 4 |
|
|
|
|
4 |
4 |
|
20 |
|
С |
|||
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
||||||
|
по модулю |
= 30 |
, |
ТАК КАК |
= |
|
|
= . |
||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
4 4 |
|
||||
6 = = 30 МС. движение и скорость тела №6 направлены вниз.
Тело №4
a an
v
M
3.рассмотрим точку М.
скорость точки м перпендикулярна к радиусу R4 и направлена в
сторону вращения, то есть вправо. по модулю она равна =4 4 = 15 ∙ 20 = 30 МС.
вращение тела №4 происходит равномерно. точка М движется по окружности тоже равномерно. по этой причине ускорение точки м направлено по радиусу.
касательное ускорение равно нулю, а нормальное ускорение по модулю равно
|
2 |
302 |
|
900 |
|
М |
|
|
= |
|
= |
|
= |
|
= 45 |
|
. |
|
20 |
20 |
С2 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
полное ускорение совпадает с нормальным.
задача решена
2.3. Плоскопараллельное движение твердого тела ЗАДАЧА 3
Кривошип ОА вращается вокруг шарнира О с постоянной угловой скоростью ω, приводя в движение последующие звенья кривошипно-
шатунного механизма.
21
В некоторый момент времени t механизм занимает показанное на схеме положение. Для этого момента времени построить план скоростей.
Определить положение МЦС для каждого звена механизма, найти скорости обозначенных буквами точек механизма и угловые скорости всех звеньев и колес механизма. Найти вектор полного ускорения точки В.
Дано: = = 1 РАДС ,
1500,
OA = 70 СМ, AB = 70 СМ,
L
5 |
= 600 |
, |
|
2 |
= 300 |
, |
3 |
= 1200 |
, |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
KL = 70 СМ, R = 20 СМ.
4 |
4 |
|
K 
3
2 |
B |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
A |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
O |
|
Решение:
Найдем скорости обозначенных буквами точек механизма и угловые скорости всех звеньев и колес механизма
механизм состоит из пяти тел: звеньев ОА, AB, KL, колеса B и
ползуна L. пронумеруем их и рассмотрим их движение.
1.тело 1 (стержень ОА). движение вращательное.
центр скоростей находится в неподвижной точке О, то есть P1=O.
угловая скорость задана, то есть 1 = = 1 РАДС .
определяем модуль скорости точки А.
22
скорость направлена в сторону вращения перпендикулярно отрезку ОА.
ее модуль определяется по формуле эйлера: = 1 ∙ | | = 1 ∙ 15 = 15 СМС .
2.тело 2 (стержень AB). движение плоскопараллельное.
скорость точки В параллельна опорной плоскости, то есть горизонтальна.
восстанавливая перпендикуляры к направлениям скоростей в точках
А и В,
найдем точку Р2 – мгновенный центр скоростей тела 2.
вектор задает направление вращения тела 2 относительно точки
Р2 .
видно, что угловая скорость 2 направлена по ходу часовой стрелки.
направление вращения 2 определяет направление скорости точки
В (влево).
измеряем отрезки АР2 и ВР2 . получаем: АР2 = 119 см и ВР2 = 69 см.
находим угловую скорость тела 2:
2 = А⁄|А 2| = 15⁄119 = 0.13 РАДС .
находим модуль скорости точки В:
= 2 ∙ | 2| = 0.13 ∙ 69 = 8.97 СМС .
23
|
vL |
L |
90 |
5 |
|
|
4 |
vK
2
|
vA |
|
|
|
A |
|
|
1 |
90 |
|
|
O |
1 |
||
|
|||
|
|
||
|
P |
|
|
|
1 |
|
P2
2
P4
4
K |
3 |
|
|
90 |
|
90
vB 
B
3
P
3
3.тело 3 (колесо B с радиусом ВК).
мгновенный центр скоростей тела 3 расположен в точке соприкосновения колеса в с опорной плоскостью, то есть в точке Р3 .
вектор в задает направление вращения тела 3 относительно точки
Р3 .
видно, что угловая скорость 3 направлена против хода часовой стрелки.
направление вращения 3 определяет направление скорости точки
К:
она направлена влево, перпендикулярно к отрезку КР3 .
измеряем отрезок и КР3 . получаем: КР3 = 39 см.
находим угловую скорость тела :
3 = ⁄| 3| = 8.97⁄20 = 0.45 РАДС .
находим модуль скорости точки K:
24
= 3 ∙ | 3| = 0.45 ∙ 39 = 17.55 СМС .
4.тело 4 (стержень kl). движение плоскопараллельное.
скорость точки K направлена перпендикулярно отрезку КР3 .
скорость точки L направлена по вертикали (вдоль направляющих ползуна).
восстанавливая перпендикуляры к направлениям скоростей в точках
K и L,
найдем точку р4 – мгновенный центр скоростей тела К вектор задает направление вращения тела 4 относительно точки
Р4 .
видно, что угловая скорость 4 направлена по ходу часовой стрелки.
направление вращения 4 определяет направление скорости точки l
(вверх). |
|
измеряем отрезки KР4 и LР4 . |
получаем: KР4 = 39.5 см и LР4 = |
51 см. |
|
находим угловую скорость тела 4:
4 = ⁄| 4| = 17.55⁄39.5 = 0.45 РАДС .
находим модуль скорости точки l:
= 4 ∙ | 4| = 0.45 ∙ 51 = 22.95 СМС .
5. тело 5 (ползун L).
движение тела 5 поступательное.
скорость точки l направлена вверх, а ее модуль равен = 22.95 СМС .
Определим ускорения точек А и В и угловое ускорение звена АВ
25
направление aB 
B aB
aBnA |
90 |
a |
|
|
A |
|
ВА |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
aA aAn |
|
|
an |
aA |
|
|
|
B A |
|
O |
направление a |
|
|
|
ВА |
|
|
|
|
|
|
|
|
кривошип оа вращается равномерно. поэтому касательное
(вращательное) ускорение точки а равно нулю, а полное ускорение точки а равно ее нормальному (центростремительному) ускорению:
= = 2 |
∙ = 12 ∙ 15 = 15 см⁄с2. |
|
|
1 |
|
чтобы найти ускорение точки в применим теорему о сложении ускорений:
|
= |
+ |
+ . |
|
|
|
|
в приведенной формуле направление и величина уже известна. |
|||
|
|
|
|
направление |
|
известно, а его величина находится по формуле: |
|
|
|
|
|
|
= 2 ∙ = 0.132 ∙ 70 = 1.18 см⁄с2. |
||
|
|
2 |
|
известны линии действия ускорений |
(перпендикулярно отрезку |
||
|
|
|
|
оа) и (параллельно опорной плоскости). построим план ускорений |
||||
|
|
|
|
|
для точки в, начав построение с известных векторов |
И |
(см. |
||
|
|
|
|
|
рис.). |
|
|
|
|
замерив на чертеже соответствующие отрезки, найдем, что |
|
|||
|
= 20.5 см⁄с2, |
= 27.5 см⁄с2. |
|
|
|
|
|
|
|
направление векторов также определяется по чертежу.
угловое ускорение звена ав определим по формуле:
= ⁄ = 20.5⁄70 = 0.3 рад⁄с2.
задача решена
26
3.ДИНАМИКА
3.1. Теорема об изменении кинетической энергии
ЗАДАЧА 1
Система тел А, В, C, находящаяся в начальный момент времени = 0 в
состоянии покоя, начинает двигаться под действием сил тяжести.
Определить скорость и ускорение тела А в тот момент времени, когда оно пройдет путь S, учитывая трение скольжения тел. Определить время, за которое тело пройдет путь равный S.
Считать, что качение тел происходит без проскальзывания. Нити считать нерастяжимыми и невесомыми. Решение выполнить, используя теорему об изменении кинетической энергии механической системы. Даны углы α и β, а
также коэффициент трения скольжения μ. Даны массы тел и радиусы колес
В и С.
|
|
Массы тел : |
B |
RB |
mA 2m ; |
r B
mB m ;
mС m ;
|
|
A |
|
m 10 кг; |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|
Углы : |
|
|
|
S |
30 ; |
|
|
|
|
|
|
|
60 ; |
||
|
|
|
|
vA , aA , t ? |
РЕШЕНИЕ
Радиусы :
a 10 см 0.1 м;
RB 4a 40 см 0.4 м; rB 2a 20 см 0.2 м;
RC a 10 см 0.1 м;
Коэффициент трения скольжения :
0.1;
при S 2 м;
1. Изобразим на схеме механической системы (рис. а) все внешние силы:
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
NB |
|
|
|
б |
|
vF |
|
RB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
||
|
|
|
RB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r B B |
|
|
|
|
|
|
B |
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
NC |
|
|
|
|
|
vH |
|
r B |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
SC |
|
|
N |
A |
H |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
C |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
B |
|
|
||
RC |
C |
|
FTP |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|||
|
PB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
vA |
||
|
|
|
SA |
S |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PC |
|
PA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Обозначим буквами В и С точки в центрах колес В и С.
Обозначим буквой D точку касания колеса C с плоскостью.
Обозначим буквами E, F и H точки соприкосновения колес с нитями.
Выразим необходимые линейные и угловые скорости через искомую скорость :
Тело A совершает поступательное движение со скоростью .
Нить нерастяжима, поэтому |
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Клесо В совершает вращательное движение. Его угловая скорость |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
направлена по ходу часовой стрелки и равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
= |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙4 |
|
|
|
|
|
|||||
Скорость точки F равна |
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= 2 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Скорость точки Н равна |
|
= |
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Колесо C совершает плоскопараллельное движение. МЦС находится в |
|||||||||||||||||||||||||||
точке D. Угловая скорость направлена по ходу часовой стрелки и равна |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Скорость точки С равна |
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Определим моменты инерции колес В и С.
Колесо В имеет реборду.
28
R 1
r 
1
Если толщина реборды составляет
2 |
половину толщины колеса, момент |
|
Zинерции колеса определяется по следующей формуле:
|
JZ |
1 |
m |
R4 |
r 4 |
ï ðè óñëî âèè , ÷ò î 1 2 . |
2 |
2 |
R2 |
r 2 |
Поэтому
J B |
|
1 |
m |
RB 4 rB 4 |
|
1 |
m |
4a 4 2a 4 |
10ma2 . |
|
|
|
4a 2 2a 2 |
||||||
ZB |
|
2 |
B RB 2 rB 2 |
|
2 |
|
|
||
Колесо С сплошное:
JZCC 12 mC RC2 0.5ma2 .
4.Определим кинетическую энергию системы в начальном и конечном состояниях.
В начальном состоянии тело находится в состоянии покоя: |
0 = 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
В конечном состоянии кинетическая энергия равна |
= |
+ + , |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тело A: |
|
= |
1 |
|
2 |
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тело B: |
|
= |
|
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
2 |
( |
|
) = 1.252. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
2 + |
1 |
2 ( |
|
= 0.752. |
||||||||||||||
Тело C: |
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
) |
||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Сумма: |
|
= |
|
+ |
+ |
= 2 |
+ 1.252 |
+ 0.752 |
= 32. |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Определим сумму работ всех внешних сил на заданном перемещении:
∑ = ( ) + ( ) + (ТР) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )
Учтем, что перемещения точек пропорциональны их скоростям, и
поскольку |
= |
то и |
= |
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка B неподвижна, поэтому |
|
|
|
|
|
||
( ) = 0, |
( ) = 0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Реакции и направлены перпендикулярно к направлению
движения, поэтому |
|
|
|
|
( ) = 0, |
( ) = 0. |
|||
|
|
|
|
|
( ) = ∙ sin = 2 ∙ 0.68 = 1.72 .
29
|
( |
|
) = − |
|
= − |
|
= − ∙ cos ∙ = −0.1 . |
|||||
|
|
|
ТР |
|
|
ТР |
|
|
|
|||
|
|
|
|
) = − |
|
|
∙ sin = −0.5 . |
|||||
|
( |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
= ( ) + ( |
|
) + ( ) = 1.72 − 0.1 − 0.5 = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ТР |
|
|
|||
1.12 .
6.Найдем значение скорости тела А.
Используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
|
− |
= |
|
|
|
|||
|
∑ . |
|
|
|||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Так как = 0, то |
= |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Составим уравнение: |
3 |
2 = 1.12 , |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
решая которое получим, что |
= √ |
1.12 |
= 2.71 |
м |
. |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.Найдем ускорение тела А, продифференцировав равенство (*) по времени:
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
6 ̇ = 1.12 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что |
= ̇ получим: |
6 ̇ = 1.12 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ̇ = √ |
1.12 |
= √ |
1.12 |
|
= √ |
1.12∙9.81 |
= 1.35 |
м |
. |
||
6 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
6 |
6 |
|
с2 |
|||||
8. Найдем время, за которое тело А пройдет путь, равный 2м.
Запишем уравнение прямолинейного равноускоренного движения тела A:
|
= |
2 |
+ + |
= |
2 |
= 0 и |
= 0. |
|||||
|
|
|
, так как |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
0 |
0 |
|
2 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда |
= √2 ⁄ = √2 ∙ 2⁄1.35 = 1.72 . |
|
|
|||||||||
задача решена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||