8540
.pdf
30
3.2. Принцип возможных перемещений
ЗАДАЧА 2
Определить реакции опор составной балки, используя принцип
возможных перемещений.
Дано: = 20 кН; = 40кН; = 25 кНм; = 10 кН; =
1м; = 30°.
2F
|
|
q |
|
|
|
P |
М |
|
|
E |
|
H |
|
|
|
A |
|
B |
|
|
C |
|
D |
a |
a |
a |
2a |
a |
a |
a |
a |
Решение:
1.Разложим наклонную силу 2F на вертикальную и горизонтальную составляющие, модули которых равны:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
1 |
|
|||
2 = 2 |
= √3 и |
2 = 2 |
= F. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей = 3 =
30 кН.
Удалим связи, заменив их неизвестными реакциями, учитывая, что на неподвижной опоре реакция пройдет наклонно и может быть представлена своими составляющими: вертикальной и
горизонтальной .
Горизонтальная составляющая может быть найдена их уравнения равновесия:
∑ = 0; |
2 − = 0; |
откуда |
= 2 = . |
|
|
|
|
Горизонтальная сила F и горизонтальная реакция не совершают работу на вертикальных перемещениях, не влияют на величину
вертикальных реакций и в последующих выкладках учитываться не будут.
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
F |
3 |
|
|
|
Q 3qa |
|
P |
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
E |
|
|
H |
|
|
|
||
|
F |
A |
X A |
B |
|
C |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
a |
a |
2a |
a |
a |
a |
||
|
|
Y |
R |
A |
R |
|
R |
|
RD |
|
|
|
A |
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5a |
1.5a |
|
|
|
|
2. |
Удалим опору A, заменив ее неизвестной реакцией |
, и изобразим на |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рисунке виртуальные перемещения элементов системы. |
|
|
|||||||
Сумма работ внешних сил на этих перемещениях равна нулю в соответствии с принципом возможных перемещений. Составим соответствующее уравнение:
1 − √3 ∙ 2 1 = 0, откуда
− 2 √3 = 0, = 2 √3 = 2 ∙ 20 ∙ 1.732 = 69.28 кН.
F 
3
A |
|
Q |
|
P |
|
|
1 |
|
|
|
М |
|
|
H |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
A |
E |
B |
C |
|
D |
|
|
YA |
|
|
0.5a |
1.5a |
|
|
a |
|
|
|
a |
a |
a |
|
2a |
a |
a |
a |
|
||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Удалим опору B, заменив ее неизвестной реакцией , и изобразим на рисунке виртуальные перемещения элементов системы.
F |
3 |
|
E |
B |
|
Q |
|
|
P |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
М |
||
|
A |
|
|
|
|
H |
|
|||
|
|
E |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
B |
|
2 |
|
C |
|
D |
1 |
|
|
RB |
0.5a |
1.5a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
a |
|
a |
|
2a |
a |
a |
a |
a |
Составим соответствующее уравнение: |
|
|
|
|||||||
32
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
+ 2 − 1.5 = 0. |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
Учитывая, что ′ = |
= 3 |
|
получим, что |
= 3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
√3 3 |
+ |
2 − |
1.5 |
2 |
= 0. откуда |
3 + 2 |
− |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
1.5 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
(1.5 − 3 √ |
|
|
1 |
(1.5 ∙ 30 − 3 ∙ 20 ∙ 1.732) = −29.46 кН. |
||||||||||
|
= |
3) = |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4.Удалим опору C, заменив ее неизвестной реакцией , и изобразим на рисунке виртуальные перемещения элементов системы.
F |
3 |
|
|
|
|
Q |
H |
C |
P |
|
|
|
1 |
E |
|
|
|
2 |
H |
|
3 |
D |
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
|
|
2 |
B |
|
|
C |
|
3 |
|
|
|
|
|
0.5a |
1.5a |
RC |
|
|
|
||
|
|
1 |
E |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
a |
|
a |
|
2a |
a |
a |
a |
a |
|
Составим соответствующее уравнение: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− √3 |
− ∙ 0.5 |
+ |
|
2 |
3 |
− |
+ |
= 0. |
|||
1 |
2 |
|
|
|
3 |
3 |
|
||||
Учитывая, что ′ = |
= |
получим, что |
|
= . |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
Учитывая, что ′ = 2 = |
3 |
получим, что |
|
= = |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
2 |
1.5 3.
− √3 1.5 3 − ∙ 0.5 1.5 3 + 2 3 − 3 + 3 = 0. откуда − √3 1.5 − ∙ 0.75 + 2 − + = 0.
= 21 (1.5 √3 + 0.75 + − ) =
=2∙11 (1.5 ∙ 20 ∙ 1.732 ∙ 1 + 0.75 ∙ 30 ∙ 1 + 40 ∙ 1 − 25) = 44.73 кН.
5.Удалим опору D, заменив ее неизвестной реакцией , и изобразим на рисунке виртуальные перемещения элементов системы.
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
F |
3 |
|
|
|
|
|
|
P |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
E |
2 |
Q |
|
3 |
|
М |
|
|
A |
1 |
|
|
H |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
B |
2 |
|
3 |
C |
|
D |
|
|
|
|
RD |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
0.5a |
1.5a |
H a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
|
a |
a |
|
2a |
a |
a |
a |
|
Составим соответствующее уравнение: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
+ ∙ 0.5 − |
+ |
|
2 |
− = 0. |
||||||
1 |
2 |
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|||
Учитывая, что ′ = |
= |
|
получим, что |
|
= . |
||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
Учитывая, что ′ = 2 |
= |
получим, что |
|
= = |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
3 |
2 2.
√3 2 + ∙ 0.5 2 − 2 2 + 2 2 2 − 2 2 = 0.
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
√3 + ∙ 0.5 − 2 + 4 |
− 2 = 0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
(− √3 − 0.5 + 2 + 2 ) = |
|
||||
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=4∙11 (−20 ∙ 1.732 ∙ 1 − 0.5 ∙ 30 ∙ 1 + 2 ∙ 40 ∙ 1 + 2 ∙ 25) = 20.09 кН.
6.Для проверки спроектируем все силы системы на ось Y:
∑ = + + + − √3 − − =
=69.28 − 29.46 + 44.73 + 20.09 − 20 ∙ 1.732 − 30 − 40 = 0.00
Проверка выполняется.
задача решена
34
Литература
1.Диевский Виктор Алексеевич. Теоретическая механика. Интернет -
тестирование базовых знаний : учеб. пособие. / Диевский Виктор Алексеевич, Диевский Алексей Викторович ; Санкт-Петербург : Лань,
2010. – 144 с. – ISBN ISBN 978-5-8114-1058-3.
2.Куликов Игорь Сергеевич. Статика твердого тела : учеб. пособие. /
Куликов Игорь Сергеевич ; Нижний Новгород : ННГАСУ, 2008. – 72 с.
– ISBN ISBN 5-87941-542-1.
3.Мещерский Иван Всеволодович. Задачи по теоретической механике :
учеб. пособие для студентов вузов по направлениям подгот. и спец. в
обл. техники и технологий по дисциплине "Теорет. механика". /
Мещерский Иван Всеволодович ; под ред. В. А. Пальмова, Д. Р.
Меркина. – Санкт-Петербург : Лань, 2008. – 448 с. – ISBN ISBN 978-5- 9511-0019-1.
4.Сборник коротких задач по теоретической механике : учеб. пособие для студентов вузов по направлениям и спец. в обл. техники и технологий. /
под ред. О. Э. Кепе. – Санкт-Петербург : Лань, 2008. – 368 с. – ISBN ISBN 978-5-8114-0826-9.
5.Юдников Сергей Георгиевич. Выполнение курсовых работ по теоретической механике : учеб.-метод. пособие по подгот. к курсовой работе по дисциплине "Теорет. механика" для обучающихся по направлению подгот. 08.05.01 Стр-во уникальных зданий и сооружений для студентов инж.-строит. фак.. / Юдников Сергей Георгиевич,
Ведяйкина Ольга Ивановна ; Нижегор. гос. архит.-строит. ун-т. –
Нижний Новгород : ННГАСУ, 2016. – 1 CD ROM. – URL: URL: http://catalog.nngasu.ru/MarcWeb2/.
6.Маковкин Георгий Анатольевич. Решение задач по кинематике : учеб.
пособие. / Маковкин Георгий Анатольевич, Ведяйкина Ольга Ивановна
; Нижегор. гос. архит.-строит. ун-т. – Нижний Новгород : ННГАСУ,
2016. – 70 с. – ISBN ISBN 978-5-528-00127-2.
35
Маковкин Георгий Анатольевич Аистов Анатолий Сергеевич Ведяйкина Ольга Ивановна
РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Учебно-методическое пособие
по выполнению расчётно-графической работы по дисциплине «Теоретическая механика» для обучающихся по направлению 20.05.01 Пожарная безопасность Направленность (профиль)Пожарная безопасность
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
603950, Нижний Новгород, ул. Ильинская, 65. http://www. nngasu.ru, srec@nngasu.ru