8556

это вызывает хотя бы незначительное увеличение важных по уровню приоритета ча-

стных критериев оптимальности. Этот недостаток в какой-то мере удаётся устранить в методе последовательных уступок.

Вернемся к нашему примеру 1Ошибка! Источник ссылки не найден..

Рассмотрим случай, когда 1-й критерий признается более важным, чем 2-й.

1-й шаг.

Решаем:

f1 ( x ) 2* ( x 3 )2 1 min

1 x 7

D1 : x* = 3

В данном случае процедура завершается и второй критерий на результат не влияет.

Несмотря на указанные недостатки, в тех случаях, когда какой-либо критерий имеет значительный приоритет, полученное этим методом решение может оказаться удовлетворительным.

Метод последовательных уступок

Этот метод следует отнести к человеко-машинным процедурам, так как только знание физической сущности задачи может привести к приемлемому результату.

Метод представляет собой последовательную итерационную процедуру.

1-й шаг.

Решается задача:

f1 ( x ) min

G( x ) 0

x1 - решение однокритериальной задачи 1 - го шага.

2-й шаг.

Решается задача:

f2 ( x ) min

G( x ) 0

31

f1 ( x ) f1 ( x1 ) 1

Получили снова однокритериальную задачу.

1 - величина уступки по 1-му критерию, вводимая постановщиком задачи.

Очевидно, что, если 1 мало, полученное решение на втором шаге мало изме-

нит предыдущее решение.

Замечание. На этом шаге также, как и на любом другом, вновь сформулиро-

ванная задача может и не иметь решения. Это обусловливается неудачным подбо-

ром уступок.

Если 1 велико, а это имеет место, когда по критерию f1 ( x ) требования не очень жесткие, то влияние критерия f1 ( x ) на все остальные - не очень велико.

Свойства метода:

1)при 1 0 обеспечивается минимальное значение 1-го критерия за счет всех осталь-

ных;

2)чем больше уступки по предыдущим критериям, тем больше выигрывают после-

дующие критерии;

3)на каждом шаге делается несколько проб для выяснения влияния уступок на сле-

дующий критерий;

4)компромиссное решение зависит от величины всех уступок / 1 , ... , k 1 /;

5)решение получается разным при изменении порядка предпочтения при одних и тех же значениях уступок / D1 , D2 , ..., Dk 1 /;

6)метод последовательных уступок не всегда приводит к получению оптимального по Парето решения.

Продемонстрируем метод последовательных уступок на нашем примере 1: 1-й шаг.

Решаем:

f1 ( x ) 2* ( x 3 )2 1 min 1 x 7

x1 3 f1 (x1 ) = 1

Положим 1 0,1 .

32

2-й шаг.

Решаем:

f2 ( x ) ( x 5 )2 2 min 1 x 7

f1 ( x ) 2* ( x 3 )2 1 1,1

Положим x2 3,2236

Близость x2 к x1 неслучайна, она обусловлена малым значением уступки 1 .

Можно рассмотреть и свести в таблицу с результаты решения задачи 1 при различ-

ных значениях уступок 1 или 2 , что позволит составить некоторое представление о влиянии на решение величин уступок, а также порядка следования критериев.

Метод равенства частных критериев

Равноценными считаются критерии, когда отсутствует информация о важности этих

Если изобразить это графически, то мы получим:

f 2

D1

33

f2

D1

Dk

Решение не является эффективной точкой.

f2

D1

Dk

Получено решение, являющееся эффективной точкой.

В общем случае решение может не являться эффективной точкой (не принадлежать области компромиссов), может вообще не быть решений.

Пример.

Решим следующую задачу:

Решается задача

f1 ( x ) f 2 (x)

2( x 3 )2 1 (x - 5)2 2

34

x 2 - 2* x - 8 0

Решая квадратное уравнение, получаем:

x1 4

x2 - 2 .

Следовательно:

D1 { x R1 : x 4 или x - 2}

Найдем теперь .

Ответ:

Метод квазиравенства частных критериев оптимальности

Исходная задача многокритериальной оптимизации сводится к задаче

Мы задаем некоторую «уступку» , чтобы разность критериев не превышала

по абсолютной величине заданной .

Пример.

Решим следующую задачу:

эта задача сводится к:

Возьмем для примера величину уступки 0,3 .

После упрощения получаем:

x 2 - 2* x - 8 0,3

После решения вышеуказанного неравенства получаем:

Метод гарантированного результата или метод минимакса

Этот метод заключается в том, что исходная задача многокритериальной оптимиза-

ции сводится к задаче

f i* min f i ( x )

x D

полученное решение и будет приниматься за решение исходной задачи многокрите-

риальной оптимизации.

Пример.

Решим следующую задачу:

эта задача сводится к задаче

36

2.3.2. Раздел 2. Оптимизация в условиях неопределенности и риска

Задачи принятия решений (ЗПР) классифицируют по трём признакам:

1)по количеству целей управления и соответствующих им критериев оптималь-

ности ЗПР делят на одноцелевые, или однокритериальные (скалярные), и мно-

гоцелевые, или многокритериальные (векторные);

2)по наличию или отсутствию зависимости критерия оптимальности и ограниче-

ний от времени ЗПР делят на статические (не зависящие от времени) и дина-

мические (зависящие от времени).

Динамическим ЗПР присущи две особенности:

a)критерием оптимальности в динамических ЗПР является не функция, как в ста-

тических ЗПР, а функционал, зависящий от функции времени;

b)в составе ограничений обычно присутствуют так называемые дифференциаль-

ные связи, описываемые дифференциальными уравнениями;

3)по наличию случайных и неопределённых факторов этот признак называется

«определённость–риск–неопределённость». ЗПР подразделяют на три больших подкласса:

a)принятие решения в условиях определённости, или детерминированные ЗПР.

Они характеризуются однозначной детерминированной связью между приня-

тым решением и его исходом;

b)принятие решений при риске, или стохастические ЗПР. Любое принятое реше-

ние может привести к одному из множества возможных исходов, причём каж-

дый исход имеет определённую вероятность появления. Предполагается, что эти вероятности заранее известны лицу, принимающему решение;

c)принятие решений в условиях неопределённости. Любое принятое решение может привести к одному из множества возможных исходов, вероятности по-

явления которых неизвестны. Общая постановка однокритериальной статиче-

ской задачи принятия решений в условиях риска.

38

Каждая выбранная стратегия управления в условиях риска связана с множест-

вом возможных исходов, причём каждый исход имеет определённую вероятность появления, известную заранее человеку, принимающему решение.

При оптимизации решения в подобной ситуации стохастическую ЗПР сводят к детерминированной. Широко используют при этом следующие два принципа: искус-

ственное сведение к детерминированной схеме и оптимизация в среднем.

В первом случае неопределённая, вероятностная картина явления приближённо заменяется детерминированной. Для этого все участвующие в задаче случайные факторы приближённо заменяются какими-то неслучайными характеристиками этих факторов (как правило, их математическим ожиданием).

Приём «оптимизация в среднем» заключается в переходе от исходного показа-

теля эффективности Q, являющегося случайной величиной, к его усреднённой, ста-

тической характеристике, например, к его математическому ожиданию. «Искусст-

венное сведение к детерминированной схеме» представляет собой детермизацию на уровне факторов, а «оптимизация в среднем» – на уровне показателя эффективности.

Отметим принципиальное различие между стохастическими факторами, приво-

дящими к принятию решения в условиях риска, и неопределёнными факторами,

приводящими к принятию решения в условиях неопределённости. И те, и другие приводят к разбросу возможных исходов результатов управления. Но стохастиче-

ские факторы полностью описываются известной стохастической информацией, эта информация и позволяет выбрать лучшее в среднем решение. Применительно к не-

определённым факторам подобная информация отсутствует.

В общем случае неопределённость может быть вызвана либо противодействием разумного противника, либо недостаточной осведомлённостью об условиях, в кото-

рых осуществляется выбор решения.

Принятие решений в условиях разумного противодействия является объектом исследования теории игр. Теория игр рассматривает пути оптимизации поиска нуж-

ного решения в условиях неопределенности. Теория статистических решений (крат-

ко – теория решений) отличается от теории игр тем, что рассматривает неопреде-

39

ленность ситуации без конфликтной окраски – никто никому сознательно не проти-

водействует. В задачах теории статистических решений неизвестные условия опера-

ции зависят не от сознательно действующего «противника», а от объективной неза-

интересованной действительности, которую в теории статистических решений при-

нято называть «природой», «поведение» которой неизвестно. Эти ситуации часто называются «игры с природой».

С этой целью в теории решений вводится понятие риска. Риском лица, прини-

мающего решение по использованию определенной стратегии (технологии) в неоп-

ределенных условиях называется разность между выигрышем (результатом, показа-

телем эффективности), который получился бы, если бы были известны условия, и

выигрышем, который получится при неопределенности условий. Следовательно,

возникают две постановки задачи по выбору решения, два возможных сценария: при одном нам желательно получить максимальный выигрыш, при другом – минималь-

ный риск. Оптимально, конечно, максимальный выигрыш при минимальном риске.

Можно попробовать манипулировать в пределах наших знаний возможными ходами природы, уменьшая степень неопределенности, но это далеко не всегда возможно.

Можно принять решение по использованию максимального числа технологий, каж-

дая из которых уменьшает риск. Но только суммирование технологий не приводит к суммированию выигрышей.

Итак, принимая решения, выбирая технологию, необходимо задаться вопросом,

что необходимо получить: максимальный выигрыш при достаточно высоком риске,

максимально снизить риск при относительно невысоком результате или выбрать

«золотую середину».

Теория статистических решений предлагает несколько критериев оптимально-

сти выбора решений. Выбор того или иного критерия неформализуем, он осуществ-

ляется человеком, принимающим решения, субъективно, с учетом собственного опыта, интуиции и т. п. Рассмотрим эти критерии.

1.Максиминный критерий Вальда. Предполагается что второй игрок – природа максимально агрессивна и делает все, чтобы результат (выигрыш) был ми-

40