8908
.pdf2.4 Контрольные вопросы
Контрольные вопросы к разделу 1 «Теория множеств и отношений».
1.Множества. Способы задания множеств. Равные множества. Свойства включения. Сравнимость множеств.
2.Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.
3.Подмножества. Разбиения. Булеан множеств и его мощность.
4.Прямое произведение и его свойства.
5.Бинарные отношения и их свойства.
6.Отображения (функции) и их свойства.
7.Отношение эквивалентности и отношение порядка. Примеры.
Контрольные вопросы к разделу 2 «Комбинаторный анализ».
1.Основные комбинаторные правила: правило произведения и правило сложения.
2.Перестановки с повторениями и без повторений.
3.Размещения с повторениями и без повторений.
4.Сочетания с повторениями и без повторений.
5.Треугольник Паскаля и Бином Ньютона.
6.Свойства биномиальных коэффициентов.
7.Метод включения и исключения.
8.Полиномиальная формула. Полиномиальные коэффициенты.
Контрольные вопросы к разделу 3 «Теория графов».
1. Ориентированные и неориентированные графы, маршруты, цепи, циклы,
пути и контуры графов.
2.Представления графов матрицей смежности, матрицей инцидентности,
списком ребер.
3.Ориентированные графы и их виды. Связь с бинарными отношениями.
4.Подграфы. Операции над графами.
91
5.Метрические соотношения в графах.
6.Эйлеровы и полуэйлеровы графы. Критерий эйлеровости графа.
7.Гамильтоновы графы. Достаточные условия гамильтоновых графов.
8.Эйлеровы и гамильтоновы цепи, циклы, пути, контуры.
9.Деревья, лес. Свойства деревьев.
10.Обходы графов: поиск в ширину и поиск в глубину.
11.Построение остова минимального веса: алгоритмы Прима и Краскала.
12.Минимальные пути в нагруженных графах. Алгоритм Дейкстры.
Контрольные вопросы к разделу 4 «Алгебра логики».
1.Определение логических операций.
2.Формулы алгебры логики. Основные законы алгебры логики.
3.Логическое следствие и его свойства.
4.Способы доказательства правильности рассуждений.
5.Решение логических задач.
6.Двойственные формулы. Теорема двойственности.
7.Применение алгебры логики к релейно-контактным схемам. Упрощение РКС.
Контрольные вопросы к разделу 5 «Булевы функции».
1.Булевы функции их количество.
2.Представление булевой функции в совершенной нормальной дизъюнктивной форме.
3.Представление булевой функции в совершенной нормальной конъюнктивной форме.
4.Представление булевой функции в виде полинома Жегалкина.
5.Замыкание множеств булевых функций. Основные классы булевых функций
Т0 , Т1 ,S, M, L, их замкнутость.
6.Полнота систем булевых функций. Теорема Поста.
92
3. Методические указания по подготовке к практическим занятиям
3.1Общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям
Входе подготовки к практическим занятиям необходимо изучать основ-
ную литературу, познакомиться с дополнительной литературой. При этом не-
обходимо учесть рекомендации преподавателя и требования учебной програм-
мы.
В соответствии с этими рекомендациями и подготовкой полезно дорабаты-
вать свои конспекты лекции, делая в нем соответствующие записи из литерату-
ры, рекомендованной преподавателем и предусмотренной учебной программой.
Целесообразно также подготовить тезисы для возможных выступлений по всем учебным вопросам, выносимым на практическое занятие.
При подготовке к занятиям можно также подготовить краткие конспекты по вопросам темы. Очень эффективным приемом является составление схем и презентаций.
Готовясь к докладу или реферативному сообщению, желательно обращать-
ся за методической помощью к преподавателю. Составить план-конспект сво-
его выступления. Продумать примеры с целью обеспечения тесной связи изу-
чаемой теории с реальной жизнью. Своевременное и качественное выполнение самостоятельной работы базируется на соблюдении настоящих рекомендаций и изучении рекомендованной литературы.
3.2 Примеры задач для практических занятий
Задачи для раздела 1.
Задача 1.
Для заданных множеств А = {1, 2, 4}, В = {1, 2, 3, 5,6}, С = {3, 4, 9} нужно
проверить правильность следующих утверждений:
a)А \ В Ì А Ç С
b)А ¸ С Ì В ¸ С
c)А È С Í В \ С
93
d)А Ç В Í А \ С
e)С \ А Í А È В
f)А ¸ В Ì В È С
Решение: значения операций в приведенных утверждениях представим
списками и сравним их:
a)А \ В Ì А Ç С ложно, так как А \ В = {4} и А Ç С = {4}
b)А ¸ С Ì В ¸ С ложно, так как А ¸ С = {1, 2,3,9} и В ¸ С = {1, 2, 4,5,6,9}
c)А È С Í В \ С ложно, так как А È С = {1, 2,3, 4,9} и В \ С = {1, 2,5,6}
d)А Ç В Í А \ С истинно, так как А Ç В = {1, 2} и А \ С = {1, 2}
e) |
С \ А Í А È В ложно, так как С \ А = {3,9} и А È В = {1, 2,3, 4,5,6} |
||
f) |
А ¸ В Ì В È С |
истинно, так как |
А ¸ В = {3, 4,5,6} и |
|
В È С = {1, 2,3, 4,5,6,9} |
|
Задача 2.
Записать формулу, соответствующую заштрихованной части диаграммы Венна
А В |
( А È В) \ С |
|
|
|
|
В результате получили формулу ( А È В) \ С.
94
Задача 3.
Упростить выражение
( А È В È С) Ç ( АÇ (В È С )) Ç В
Решение.
( А È В È С) Ç ( АÇ (В È С)) Ç В = = ( АÇ В Ç С ) Ç ( АÇ (В È С )) Ç В = = АÇ В Ç С Ç АÇ В Ç (В È С ) = = АÇ В Ç С Ç (В È С ) = = АÇ В Ç С
Задача 4.
Система классификации получает на вход устройство, данные о котором заносит в таблицу «Оборудование» для дальнейшей обработки информации.
Таблица содержит поля «Устройство», «Назначение» и «Год выпуска» с сим-
вольными именами А, В и С соответственно. Система формирует запросы,
представленные в таблице:
Множество |
Запрос |
|
|
A |
(A=«monitor») и (С=2003) |
|
|
B |
(A=«monitor») и (С=2010) |
|
|
C |
(A=«monitor») и (С=2012) |
|
|
D |
(A=«printer») и (С=2003) |
|
|
E |
(A=«printer») и (С=2010) |
|
|
F |
(A=«printer») и (С=2010) |
|
|
На момент проведения анализа в таблице базы данных было 38 записей.
Поле «Оборудование» содержало только два типа значений: «printer» и «monitor», а поле «Год выпуска» – три типа значений: 2003, 2010, 2012. Запросу
(A=«monitor») или (С=2003), удовлетворяло 23 записи. Найдем количество
записей таблицы, отвечающих запросу (A=«printer») |
и (С≠2003). |
|
|||||||||||||
Решение. Запросу (A=«printer») и (С≠2003) |
удовлетворяет |
множество |
|||||||||||||
записей Х = Е F мощностью |
|
X |
|
= |
|
E |
|
+ |
|
F |
|
, |
следовательно в задаче требуется |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
найти мощность множества |
|
Х. Запросу |
(A=«monitor») или |
(С=2003), |
|||||||||||
|
95 |
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяет множество записей, равное объединению множеств
Р = А È В È С и Q = A Ç D . Мощность объединения этих множеств равна:
P È Q = P + Q - P Ç Q = A + B + C + A + D - A = A + B + C + D = 23 .
Мощность всех записей в базе данных равна |
|
A |
|
+ |
|
B |
|
+ |
|
C |
|
+ |
|
D |
|
+ |
|
E |
|
+ |
|
F |
|
= 38 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Учитывая, |
что |
|
X |
|
= |
|
E |
|
+ |
|
F |
|
|
и |
|
|
|
A |
|
+ |
|
B |
|
+ |
|
C |
|
+ |
|
D |
|
= 23 , |
|
|
|
получаем |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23 + |
|
X |
|
= 38 , отсюда |
|
X |
|
=15 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Ответ: В |
таблице |
|
15 записей, |
отвечающих запросу (A=«printer») и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(С≠2003). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5.
На множестве M натуральных чисел от 1 до 5 построим бинарное отношение R={(a,b)|mod(a,b)=0}.
Решение. На множестве натуральных чисел M строим такие пары (a, b),
что, а делится на b без остатка (mod(a,b)=0). Получаем R={(1,1), (2,2), (3,3),
(4,4), (5,5), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (4,2)}.
Граф и матрица данного бинарного отношения:
1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||||||
|
3 |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
||||||
5 |
4 |
4 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Рис.1.1. Граф бинарного отношения. |
Задача 6.
Пусть некоторая программа читает два числа из множества М={1,2,3,4,5},
обозначаемых х и у, и, если х< у, печатает число z (также из М) такое, что
х≤ z<у. В любом случае программа останавливается после считывания всех чи-
сел на множестве М.
96
Построим описанное отношение R={((x,y),z): х<у, х≤ z<у} (перечислим его
элементы).
R={((1,2),1); ((1,3),1); ((1,3),2); ((1,4),1); ((1,4),2); ((1,4),3); ((1,5),1); ((1,5),2); ((1,5),3); ((1,5),4); ((2,3),2); ((2,4),2); ((2,4),3); ((2,5),2); ((2,5),3); ((2,5),4); ((3,4),3); ((3,5),3); ((3,5),4); ((4,5),4)}. Всего 20 элементов.
Укажем область определения и область значений отношений.
Область определения: D(R)={(1,2), (1,3); (1,4), (1,5); (2,3), (2,4); (2,5),
(3,4); (3,5), (4,5)}. Всего 10 элементов.
Область значений: E(R)={1, 2, 3,4}. Всего 4 элемента.
Задача 7.
Найдем все разбиения множества А = {1,2,3,4}.
Решение.
1)А1 = {}1 , А2 = {2,3,4}
2)А1 = {2}, А2 = {1,3,4}
3)А1 = {3}, А2 = {1,2,4}
4)А1 = {4}, А2 = {1,2,3}
5)А1 = {1,2}, А2 = {3,4}
6)А1 = {1,3}, А2 = {2,4}
7)А1 = {1,4}, А2 = {2,3}
8)А1 = {}1 , А2 = {2}, А3 = {3,4}
9)А1 = {}1 , А2 = {3}, А3 = {2,4}
10)А1 = {}1 , А2 = {4}, А3 = {2,3}
11)А1 = {2}, А2 = {3}, А3 = {1,4}
12)А1 = {3}, А2 = {4}, А3 = {1,2}
13)А1 = {2}, А2 = {4}, А3 = {1,3}
14)А1 = {}1 , А2 = {2}, А3 = {3}, А4 = {4}
97
Задачи для раздела 2.
Задача 1.
Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5,
если:
А) ни одна из цифр не повторяется более одного раза,
Б) цифры могут повторяться,
В) числа должны быть нечетными (цифры могут повторяться).
Решение.
А) Первой цифрой числа может быть одна из 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5 (0 не мо-
жет быть первой цифрой, потому что в таком случае число не четырехзначное),
если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5 способами, третья
– 4 способами, четвертая – 3 способами. Согласно правилу, общее число спосо-
бов равно 5 × 5 × 4 × 3 = 300 .
Б) Первой цифрой может быть одна из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (5 возможностей),
для каждой из следующих цифр имеем 6 возможностей (0, 1, 2, 3, 4, 5). Следо-
вательно, число искомых чисел равно 6 × 6 × 6 × 6 =1080 .
В) Первой цифрой может быть одна из цифр 1, 2, 3, 4, 5, а последней – одна из цифр 1, 3, 5 (числа должны быть нечетными). Следовательно, число ис-
комых чисел равно 5 × 6 × 6 × 3 = 540 .
Задача 2.
Сколькими способами можно упорядочить множество 1,2,3,….,2n так,
чтобы каждое четное число имело четный номер?
Решение. Четные числа можно расставить на местах с четными номерами
(таких мест n) n! способами, каждому способу размещения четных чисел на местах с четными номерами соответствует n! способов размещения нечетных
98
чисел на местах с нечетными номерами. Поэтому общее число перестановок указанного типа по правилу умножения равно n! × n!.
Задача 3.
Сколько можно составить перестановок из n элементов, в которых дан-
ные два элемента не стоят рядом?
Решение. Определим число перестановок, в которых данные два элемен-
та а и в стоят рядом. Могут быть следующие случаи: а стоит на первом месте, а
стоит на втором месте, …, а стоит на n-1 месте, а в стоит правее а, число таких случаев равно n-1. Кроме того, а и в можно было поменять местами, и, следова-
тельно, существует 2(n -1) способов размещения а и в рядом. Каждому из этих способов соответствует (n-2)! перестановок других элементов. Следовательно,
число перестановок, где а и в стоят рядом, равно 2(n-1)(n-2)!=2(n-1)!
Задача 4.
Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами
это можно сделать?
Решение. Искомое число способов равно числу 4-элементных упорядоченных подмножеств (дни сдачи экзаменов) множества из 8 элементов,
т.е. А84 = 8 ×7 ×6 ×5 = 1680 способов. Если известно, что последний экзамен будет сдаваться на восьмой день, то число способов равно 4 ´ А73 = 7 × 6 × 5 × 4 = 840 .
Задача 5.
Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать, если в ка-
ждый цвет должна быть переплетена хотя бы одна книга?
Решение. 12 книг могут быть переплетены в переплеты трех цветов
А312 = 312 способами. Из них в переплеты двух одинаковых цветов
99
3 × А212 = 3 × 212 способами, а в трех случаях в один цвет. По формуле включений
и исключений получаем 312 - 3 × 212 + 3 = 519156 случаев.
Задача 6.
В лаборатории работают 8 физиков и 10 химиков. Надо создать рабочие группы по трем темам. В первую группу должны войти 4 физика, во вторую 5
химиков, а третья должна состоять из трех человек, которые могут быть как физиками, так и химиками. Сколькими способами можно создать такие груп-
пы?
Решение. C84 × C105 × C93 .
Задача 7.
В лаборатории работают 8 физиков и 10 химиков. Надо создать рабочие группы по трем темам. В первую группу должны войти 4 физика, во вторую 5
химиков, а третья должна состоять из трех человек, которые могут быть как физиками, так и химиками. Сколькими способами можно создать такие груп-
пы?
Решение. C84 × C105 × C93 .
Задача 8.
Пусть в разложении бинома Ньютона (а3 + с2 )n коэффициент третьего члена равен 28. Найдем средний член разложения.
Решение. Имеем Cn2 = 28 , т.е. n × (n -1) = 28 и n = 8 . Значит, в разложении
2
бинома Ньютона содержится 9 слагаемых. Средним является пятый член
C84 (а3 )4 (с2 )4 = 70а12с8 .
100