8908

17. Орграф задан матрицей инцидентности, в которой строки соответствуют вершинам, а столбцы дугам. Дуге vi v j ставиться в соответствие «-1» в стро-

ке вершины vi и «1» в строке вершины v j . Определите вектор полустепеней исходов вершин и вектор полустепеней заходов вершин.

18.Нарисуйте граф с пятью вершинами, который: а) имеет два стока и один источник; б) не имеет ни стока, ни источника.

19.Сколько рёбер имеет полный граф с p вершинами?

20.Постройте полный граф с 10-ю ребрами.

21.Постройте граф отношения «а делит в» (а|b) для множества чисел от 1 до

20.Является ли бинарное отношение, соответствующее построенному графу,

рефлексивным, антирефлексивным, симметричным, антисимметричным, тран-

зитивным?

22. При каких n существуют графы с n вершинами, каждая из которых имеет:

а) степень 3? ; б) степень 4?

23. Постройте граф (если он существует) с последовательностью степеней:

а) (4, 3, 3, 2, 2); б) (5, 4, 2, 2, 1); в) (3, 3, 2); г) (3, 2, 2, 1).

24.Постройте орграф, для которого последовательность (3, 3, 3, 2, 2) является как списком полустепеней исхода вершин, так и списком полустепеней захода.

25.Сколько вершин может быть у графа с 4 ребрами, если петли, кратные реб-

ра и изолированные вершины у него отсутствуют?

26.Сколько рёбер может быть у регулярного графа с 9 вершинами?

27.Сколько рёбер имеет регулярный граф с p вершинами степени r?

141

28. Существуют ли графы со следующими наборами степеней вершин:

а) {2, 3, 3, 2, 3}; б) {1, 2, 3, 4}? Если существуют, то изобразите их графически. 29. Покажите, что простой граф, имеющий, по крайней мере, две вершины, со-

держит две вершины одинаковой степени.

30. Являются ли следующие графы планарными?

31. Проверьте формулу Эйлера для следующих графов:

32.В студенческой группе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этой группе), 11 по 4, а 10 по 5 друзей?

33.Семеро студентов, разъезжаясь на каникулы, договорились, что каждый пошлет электронное письмо трем остальным. Может ли оказаться, что каждый получит письма от тех, кому написал сам?

34.В государстве 100 городов, из каждого выходит по 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?

142

35.В футбольном турнире в один круг участвует 29 команд. Докажите, что в любой момент найдется команда, сыгравшая четное число матчей (быть может ни одного).

36.Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги,

быть ровно 100 дорог?

37. Три товарища-спортсмена: Михаил, Николай и Павел учатся в одном кол-

ледже. Каждый из них увлекается двумя видами спорта из следующих шести:

плавание, футбол, волейбол, баскетбол, велоспорт и теннис. Все трое: Павел,

теннисист и пловец ходят из колледжа домой вместе. Пловец и футболист – соседи по дому. Михаил – самый младший из троих, а теннисист старше вело-

сипедиста. Наиболее интересные спортивные передачи по телевидению все трое: Михаил, волейболист и велосипедист смотрят вместе. Кто какими вида-

ми спорта увлекается.

38. В лицее занятия по информатике, английскому языку, физике, краеведе-

нию, татарскому языку, истории и ведут три педагога: Махеев, Вагапов и Тиу-

нов. Каждый из них преподаёт два предмета. Преподаватель краеведения и преподаватель татарского языка – соседи по дому. Махеев – самый младший из троих. Все трое: Тиунов, преподаватель физики и преподаватель татарского языка ездят из школы вместе. Преподаватель физики старше преподавателя информатики. В свободное время преподаватель английского языка, препода-

ватель информатики и Махеев обычно играют в шахматы. Кто какие предметы преподаёт?

39. В шахматном турнире принимали участие 6 партнеров разных профессий:

токарь, слесарь, инженер, учитель, врач, шофер. Известно: 1) в первом туре Андреев играл с врачом, учитель с Борисовым, а Григорьев с Евдокимовым; 2)

во втором туре Дмитриев играл с токарем, а врач с Борисовым; 3) в третьем туре Евдокимов играл с инженером; 4) по окончанию турнира места распреде-

лились следующим образом: Борисов – I место, Григорьев и инженер подели-

143

ли II и III, Дмитриев занял IV место, а Золотарев и слесарь поделили V и VI

места.

Какие профессии имели Григорьев, Дмитриев, Евдокимов?

40. Иванов, Петров, Сидоров и Шакиров – жители Бугульмы. Их профессии:

милиционер, стоматолог, повар и технолог. Иванов и Петров – соседи и всегда на работу ездят вместе. Петров старше Сидорова. Иванов регулярно обыгры-

вает Шакирова в настольный теннис. Повар всегда на работу ходит пешком.

Милиционер не живёт рядом со стоматологом. Технолог и милиционер встре-

чались единственный раз, когда милиционер оштрафовал технолога за нару-

шение правил дорожного движения. Милиционер старше стоматолога и тех-

нолога. У кого какая профессия?

41. Студенты университета организовали эстрадный квартет. Александр игра-

ет на саксофоне. Пианист учится на физическом факультете. Ударника зовут не Виктором, а студента географического факультета зовут не Романом. Алек-

сандр учится не на историческом факультете. Пётр не пианист и не биолог.

Виктор учится не на физическом факультете, а ударник не на историческом.

Роман играет не на контрабасе. На каком инструменте играет Виктор и на ка-

ком факультете он учится?

42. На международном конгрессе встретились четверо ученых: физик, историк,

биолог и математик. Национальности их различны и, хотя каждый из ученых владеет двумя языками из четырех (русский, английский, французский и итальянский), нет такого языка, на котором они могут разговаривать вчетве-

ром. Есть язык, на котором могут разговаривать сразу трое, – это итальянский.

Никто из ученых не владеет французским и русским языками одновременно.

Хотя физик не говорит по-английски, но может быть переводчиком, если био-

лог и историк захотят поговорить друг с другом. Историк может говорить с математиком по-французски. Физик, биолог и математик не могут беседовать втроем на одном языке. Какими двумя языками владеет биолог?

144

43. Постройте полный граф и дополнение для данных двух графов.

44. Найдите объединение, пересечение, разность и произведение двух графов.

а) б)

в)

45. Составьте матрицы смежности для графов G1 , G2 , G1ÈG2, G1ÇG2, если

145

46. Найдите объединение, пересечение, разность и произведение двух графов

25)

47. Графы, изображенные на рис.3.7 а) и б) изоморфны, но они не изоморфны

графу на рис. 3.7 в). Почему?

Рис. 3.7

147

48. Изоморфны ли данные графы? Ответ обоснуйте.

49. Дайте классификацию маршрутов в графе, приведенном на рисунке. (1, 2, 3, 5, 2);

(2, 3, 5, 4); (2, 3, 4, 5, 3, 2); (3, 4, 5, 3).

148

50. Найдите в графе (рис.3.62) циклы, содержащие: а) 4 ребра; б) 6 ребер; в) 5

ребер; г) 10 ребер.

Рис.3.62

51. Определите имеют ли контуры орграфы с матрицами смежности:

52. Нарисуйте все графы с указанными свойствами и значениями параметров

(в скобках указано число искомых графов):

1)графы с единственным циклом, 5 вершин (9);

2)графы с единственным циклом, 6 вершин, 5 ребер (8);

3)связные, не имеющие циклов длины 3, 5 вершин (6);

4)имеющие цикл длины 6, 5 вершин (6);

5)связные, 6 вершин, 6 ребер (13);

6)связные, 5 ребер (12);

7)две компоненты связности, 4 ребра (9);

8)без изолированных вершин, 4 ребра (11)

53.Изобразите три подграфа графа G так, чтобы они были связными

G:

149

54. Сколько компонент связности имеет граф G (рис.3.8)? Составьте для него матрицу смежности в блочно-диагональном виде (каждой компоненте связно-

сти должен соответствовать определенный блок).

Рис. 3.8.

55. а) Найдите все перешейки (мосты) и разделяющие вершины (шарниры) в

графе G (рис.3.9); б) Найдите радиус, диаметр и центр.

Рис. 3.9.

56. Найдите радиус, диаметр и центр графа на рисунке 3.10.

Рис. 3.10.

57. Найдите радиус, диаметр и центр графа, заданного матрицей смежности:

150