8908

58.Постройте граф, центр которого: 1) состоит ровно из одной вершины;

2)состоит из трех вершин и не совпадает с множеством всех вершин;

3)состоит из двух вершин; 4) совпадает с множеством всех вершин.

11. В заданном ориентированном графе G (рис.3.11) укажите номера сильно связанных вершин.

Рис. 3.11.

59. Найдите минимальный разрез в следующих графах (рис. 3.12):

G:

H:

Рис.3.12

60. Определите, имеют ли контуры орграфы с матрицами смежности:

Выясните, являются ли эти орграфы слабо связными или сильно связны-

ми. Постройте эти графы и составьте для них матрицы достижимости.

61. Среди графов, изображенных на рис. 3.13, укажите сильно связный, одно-

сторонне связный и несвязный графы. Найдите матрицы достижимости.

151

Рис. 3.13.

62. Для графов, изображенных на рис.3.14, определите наибольшую клику.

Рис. 3.14.

63. Докажите, что отношение достижимости является отношением эквива-

лентности.

64. Граф задан матрицей инцидентности. Определите, у какой вершины полу-

степень захода равна трем

65. Задания к практической работе.

Дан неориентированный граф (данные по вариантам). Определите:

1)диаметр и радиус этого графа;

2)центры и периферийные вершины графа;

3)цикломатическое число данного графа.

66. Определить какие графы являются эйлеровыми, полуэйлеровыми, не эй-

леровыми. Вычертить фигуру одним росчерком, предварительно прове-

рив, можно ли это сделать.

154

10

8.

67. Решите задачу а) с девятью мостами; б) с семнадцатью мостами. Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни на одном из них более одного раза?

а) б)

68. Граф, заданный диаграммой (рис. 3.15.) является а) гамильтоновым,

б) эйлеровым, в) полугамильтоновым, г) полуэйлеровым. Укажите пра-

вильный ответ.

Рис. 3.15.

69. Найти граф с шестью вершинами, который имеет эйлеров цикл, но не имеет гамильтонова цикла.

155

Нужно задать граф диаграммой и матрицей инцидентности. Установите последовательность городов (гамильтонов цикл) с началом в городе D, прохо-

дящую через все города ровно один раз с возвращением в D, при условии, что город F был посещен после города А.

75. Существуют ли в полном двудольном графе K3,3 и в графе G, заданном на рисунке 3.16,

эйлеров цикл, гамильтонов цикл, эйлерова цепь,

гамильтонова цепь? Укажите их или докажите их

отсутствие.

Рис. 3.16.

76. Является ли данный граф на рисунке 3.17

гамильтоновым?

Рис. 3.17.

77. На рисунке 3.18. изображен план подземелья, в одной из комнат кото-

рого скрыты богатства рыцаря. После смерти рыцаря его наследники нашили завещание, в котором было сказано, что для отыскания сокровищ достаточно войти в одну из крайних комнат подземелья, пройти через все двери, причем в точности по одному разу через каждую. Сокровища скрыты за той дверью, ко-

торая будет пройдена последней. В какой комнате были скрыты сокровища?

157

Рис.3.18.

78. Сможет ли экскурсовод провести посетителей по выставке так, чтобы они побывали в каждом зале ровно один раз (рис.3.19.)? Вершины графа – это вход, выход, двери, соединяющие залы, перекрестки, а ребра – залы и коридо-

ры. Где на выставке следовало бы сделать вход и выход, чтобы можно было провести экскурсию по всем залам, побывав в каждом из них в точности один раз?

Рис.3.19.

79. В небольшой роще находится заяц (рис.3.20). Выскочив из норы и бегая по снегу от дерева к дереву, он оставил следы и, наконец, спрятался под одним из этих деревьев. Где находится сейчас заяц? Под каким деревом находится его нора? Сколько решений имеет задача?

158

рис.3.20.

80. Перечислите все графы с указанными свойствами и значениями пара-

метров (в скобках указано число искомых графов):

a)деревья, 7 вершин (11);

b)деревья, набор степеней (1,1,1,1,2,2,2,3,3) (9);

c)деревья, набор степеней (1,1,1,1,1,2,2,3,4) (8);

d)леса, 5 вершин (10);

e)деревья, степени не более 3, 8 вершин (11);

81.Какое максимальное и минимальное число висячих вершин может иметь дерево, построенное на 9 вершинах? Сделайте рисунки таких деревьев.

82.Приведите пример графа, из которого нельзя выделить дерево, содер-

жащее все вершины графа.

83. Даны последовательности чисел: а) 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4; б) 1, 1, 1, 3, 5, 5, 5;

в) 4, 5, 5, 7; г) 1, 1, 1, 3. Можно ли построить дерево, такое, что данная последо-

вательность чисел являлась бы последовательностью степеней вершин этого дерева?

84. Выясните, являются ли графы, задаваемые следующими матрицами

смежности, деревьями:

85. Сколько листьев в дереве, заданном списком ребер:

G= {ad , bd , cd , de, ef , fg, ej, fh, fi, jk, jq}

86.Сколько ребер в лесе с 12 вершинами и 3 компонентами связности?

87.В графа на рисунках 3.21 и 3.22 укажите несколько остовных подграфов:

88. Из графа G на рисунке 3.23 удалите часть ребер так, чтобы новый граф был остовным деревом.

Рис. 3.23.

89. Постройте минимальное остовное дерево для графов на рисунке 3.24.

Рис.3.24.

90. Составьте коды для данных деревьев (рис. 3.25):

Рис.3.25.

160