9018

50

Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстоя-

ний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых

фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокуса-

ми.

Обозначим фокусы через F1 и F2 , расстояние между ними через 2с, а

сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через 2 a . По

определению 2a 2c, т.е. a c.

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Oxy так, что-

бы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ox , а начало координат совпадало с середи-

ной отрезка F1 F2 (см. рис. 2) . Тогда фокусы будут иметь следующие координа-

ты: F1 ( c, 0) и F2 (c, 0).

Пусть M (x, y) - произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, MF1 MF2 2a , т.е.

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (3) к более простому виду следующим образом:

(x с)2 y 2 2a (x с)2 y 2 ,

x 2 2xc c 2 y 2 4a 2 4a(x c)2 y 2 x 2 2xc c 2 y 2 ,

51

a(x c)2 y 2 a 2 xc,

a2 x2 2a2 cx a2 c2 a2 y 2 a4 2a2 cx c2 x2 , (a 2 c2 )x2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c2 ).

Так как a c , то a2 c2 0. Положим

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс – кри-

вая второго порядка.

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

( x, y) . Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy ,

а также относительно точки , которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y 0 , нахо-

дим две точки A1 ( a, o) и A2 (a, o) , в которых ось Ox пересекает эллипс (см. рис. 3). Положив в уравнении (5) x 0 , находим точки пересечения эллипса с осью Oy : B1 ( b, o) и B2 (b, o) . Точки A1 , A2 , B1 , B2 называются вершинами эллипса. Отрезки A1 A2 и B1 B2 , а также их длины 2a и 2b, называются соответственно

большой и малой осями эллипса. Числа a и b, называются соответственно

большой и малой полуосями эллипса.

52

y

B1

3. Из уравнения (5) следует, что каждое слагаемое из левой части не превосхо-

b y b. Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника,

Следовательно при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться,

т.е. если x возрастает, то y уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 3.

При a b эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса (5) принима-

Причем 0 1, так как 0 с a. Чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эл-

липс будет менее сплющенным, если положить 0 , то эллипс превращается в окружность.

53

Из равенства (4) следует, что a b . Если же a b , то уравнение (5) опре-

деляет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси Oy , а малая ось 2a – на оси Ox (см. рис.4).

y

B2

F2

F1

B1

Эксцентриситет вычисляется по формуле bc .

«Вырождения» эллипса:

Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки

M1 2, 22 и M 2 1, 23 . Построить кривую.

y

4

23 F2

23 F1

-4

Задания для самостоятельной работы:

3. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 5

и 2.

55

4. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат

симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 7

и 2.

5. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что его малая ось равна 10,

6. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что его большая ось равна10, а расстояние между фокусами равно 8.

2 25

7. Дан эллипс 9x y 225. Построить его и найти: 1) его полуоси; 2)

фокусы; 3) эксцентриситет.

8. Эллипс с центром в начале координат и симметричный относительно осей

11. Найти общие точки эллипса 2 2 и окружности, проходящей через x 4y 4

фокусы эллипса и имеющей центр в его «верхней» вершине.

12. Написать уравнение окружности, центр которой находится в правом

фокусами этого эллипса.

13. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

57

(x с)2 y 2 (x с)2 y 2 2a.

После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения эллипса, полу-

чим каноническое уравнение гиперболы

Установим форму гиперболы, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (7) содержит x и y только в четных степенях, следовательно ги-

пербола симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно точки

O(0, 0) , которую называют центром гиперболы.

осью, число b - мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b назы-

вается основным прямоугольником гиперболы.

болы расположены справа от прямой x a (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой x a (левая ветвь гиперболы).

59

Причем 1, так как с a. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

y

b