Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

9018

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.11.2023

Размер:

2.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Пример. 2. Привести к простейшему виду и построить кривую, заданную

уравнением: x2 4x 3y 6 0 .

Решение. AC 0 – задана парабола. Сгруппируем полный квадрат и пре-

образуем данное уравнение:

	2						2		2
x		4x 4	4	3y 6	0	или	x 2	3 y		.
x		4x 4	4	3y 6	0	или	x 2	3 y	3	.
									3

	x 2		x
Положим, что		2		являются формулами параллельного переноса в т.
	y		y
	y		y
		3
		3

O1	2,	2	. Получим уравнение:	x	2	3y

		3

и симметричная относительно оси oy .

y y

-2

– парабола с вершиной в т.	O1	2,	2


			3

		x
	2
		x
	3	x

Рис. 3.

Замечание. С помощью параллельного переноса координатных осей уда-

ется в общем уравнении избавиться от слагаемых, содержащих x и y в первой

степени.

Задания для самостоятельной работы:

В задачах 1 - 31 построить кривые. Там, где необходимо, преобразовать уравнения кривых параллельным переносом осей координат. Построить новые и старые оси координат.

	2	2					2 2
1.	4x 3y 24					17.	x y 6y70
1.			.			17.		.
	2	2					2
2.	4x 3y 600					18.	x 4x8y120
2.				.		18.		.
	2 2						2x 3xy4y 0
3.	2x y 4x80					19.	2x 3xy4y 0
3.					.	19.		.

4. 8x 9y 110.

x 2xy3y 4

5. .

2 2

6. x 3y 2x 0.

7. x 2x5y10.

3x xy3y 20

8. .

2 2

9. x 3y 2x 0.

10. y 2x2y70.

xy0,5y 2x 3

11. .

x 23xy3y 0

12. .

2 2

13. x 4y 0.

14. x 8x2y160.

2 2

15. x y 2x4y60.

16. y 8x2y160.

2 2

20. x y 2x10y260.

21. x 2x 3y 0.

2 2

22. x 2y 4y20.

2 2

23. 3x 10y 2 0.

24. x x y 2 0.

2 2

25. y x 6y50.

2 2

26. 3x 5y 0.

27. y 2x 4y 0.

28. x 9y 4 0.

2 2

29. 16x 9y 90y810.

2 2

30. x y 2x6y80.

2 2

31. 36x4y72x40y41.

Элементы аналитической геометрии в пространстве

Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как гео-

метрическое место точек, удовлетворяющих какому либо условию.

Прямоугольная система координат в Oxyz пространстве позволяет уста-

новить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и трой-

ками чисел x, y и z – их координатами. Свойство, общее всем точкам поверх-

ности, можно записать в виде уравнения, связывающего координаты всех точек поверхности.

Уравнением данной поверхности в прямоугольной системе координат

Oxyz называется такое уравнение F(x, y, z) 0 с тремя переменными x, y и z

, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности,

и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве

Oxyz можно задать разными способами. Каждому из них соответствует опре-

деленный вид ее уравнения.

§1. Плоскость в пространстве

1.Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпенди-

кулярно данному вектору

Пусть в пространстве Oxyz плоскость задана точкой				M 0 (x0 , y0 , z0 ) и вектором

n A, B,C , перпендикулярным этой плоскости.

	n A, B, C
M 0			Рис.1
M 0		M
		M


Возьмем на плоскости произвольную			точку M (x, y, z) и рассмотрим вектор

M 0 M x x0 ; y y0 ; z z0 . Так как векторы n и M 0 M				перпендикулярны, то их

скалярное произведение равно нулю: n			M 0 M 0 , то есть
	A x x0 B y y0 C (z z0 ) 0 .			(1)

Уравнение (1) называется уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Отметим, что вектор перпендикулярный данной плоскости называется нор-

мальным вектором этой плоскости или вектором нормали.

2. Общее уравнение плоскости
Если в уравнении (1) раскрыть скобки и обозначить C Ax0	By0 Cz0 , то по-
лучим общее уравнение плоскости:
Ax By Cz D 0.	(2)

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 1; 2;3 и

перпендикулярной вектору PQ , если P 0;1;4 и Q 1; 2;6 .

Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося вектором нормали


плоскости n PQ 1;1; 2 .
Подставляя в уравнение (1) координаты точки M 0 1; 2;3 и координаты вектора

n 1;1;2 , находим искомое уравнение плоскости
1 x 1 1 y 2 2(z 3) 0 или		x 1 y 2 2z 6 0
или x y 2z 7 0 .
3. Уравнение плоскости в отрезках
Из (2) следует	Ax By Сz D и далее, предполагая, что		D 0 (т.е. плоскость

не проходит через начало координат) и, разделив обе части этого уравнения на

D , получим уравнение

(3)

в котором

величины отрезков, которые плоскость

«отрезает»

от осей координат (см. рис. 2).

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют един-

ственную плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные

			74
точки M1 (x1 , y1 , z1 ),	M 2 (x2 , y2 , z2 ), M 3 (x3 , y3 , z3 ),				имеет вид:
		x x1	y y1	z z1
		x x1	y y1	z z1
		x2 x1	y2 y1	z2 z1		0
		x3 x1	y3 y1	z3	z1	(4)
						(4)
Раскладывая	этот определитель по элементам первой строки, приведем
его к линейному уравнению относительно					x, y, z вида (2).

Взаимное расположение двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости П1 и П 2 уравнениями (см. рис. 3).

A1 x B1 y C1z D1 0 ,

A2 x B2 y C2 z D2 0 .


a)		n2		b)	n1
	П 2		n1
	П 2


П	1			П1
	1
					П	2
				n2
				n2

Рис. 3

Найдем угол между ними в предположении, что они пересекаются. Пере-

секаясь, плоскости образуют две пары равных двугранных углов. Углом

между плоскостями	П1	и П2		будем считать меньший из этих двугранных уг-
лов (см. рис. 3).
Выразим угол		между плоскостями через угол между нормаль-
			A , B ,C и				A , B ,C			. Если угол острый, то
ными к ним векторами		n	A , B ,C и			n	A , B ,C			. Если угол острый, то
		1	1	1	1	2	2	2	2

(как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). Если же угол

		75
	– тупой, то	(см. рис. 3 b) ), поэтому cos cos . В итоге

для вычисления угла

cos

между плоскостями имеем формулу

							A A B B C C

	n	n
	1		2				1 2	1 2			1 2
							1 2	1 2			1 2

n1			n2		A2	B2		C 2		A2	B2	C 2
				1		1		1	2		2	2

(5)

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельности

двух плоскостей имеют вид

П1 П2

A1 A2 B1 B2 C1C2 0;

П1 || П2

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

то эти плоскости совпадают.

	Расстояние от точки до плоскости
Пусть заданы плоскость уравнением					Ax By Cz D 0 и точка
M 0 (x0, y0 , z0 ) . Требуется найти расстояние от точки M 0 до плоскости.
Расстояние d от точки M 0		до плоскости равно модулю проекции вектора M1M 0 ,
где M 0 - произвольная точка плоскости, на направление нормального вектора

n A; B;C . Следовательно,
d \| прn M1M 0 \|	______		\| A(x0 x1 ) B( y0 y1 ) C(z0 z1 ) \|
	______
	n M1M 0
_______
	\| n \|
	\| n \|			A2 B2

| Ax0 By0 Cz0 Ax1 By1 Cz1 | A2 B2

Так как точка M1 принадлежит плоскости, то Ax1 By1 Cz1 D 0, т.е.

D Ax1 By1 Cz1. Поэтому

			76
d	\| Ax0 By0 Cz0 D \|				,
						(6)
		A2	B2	C2
		A2	B2	C2

что и требовалось получить.

Пример 12. Найти расстояние от точки M 0 (2, 1, 4) до плоскости

3x 4y 2z 1 0.
Решение. По формуле (7) получаем
	\| 3 2 4 ( 1) 2		4 1 \|
d	\| 3 2 4 ( 1) 2		4 1 \|	5	5 29	.


		9 16 4	29		29

Задания для самостоятельной работы:

1.Найти точки пересечения плоскости 2x3y4z 240с осями координат. Плоскость построить.

2.Построить плоскости:

1)2x 3y 5z 70; 2) 4x 3y z 0; 3) 2x 3z 6;

4)	2y 3z 12 2y 3x 4				6)	2x 5z 0			3x 2y 0
		; 5)		;			; 7)			;
8)	y z 0;	9) 2z 7 0;		10) 3y 5 0; 11)				3x 6 0;		12) 2z 0;
13) 3y 0 ;		14)	x 0
3.	Дано уравнение плоскости					x 2y 3z 60
									. Написать для нее
	уравнение в отрезках. Плоскость построить.
4.	Составить	уравнение		плоскости,			которая		проходит	через точку
	M2; 3; 4 и отсекает на координатных осях отрезки одинаковой
	величины. Плоскость построить.
5.	Составить	уравнение		плоскости,			которая		проходит	через точки
	M 1;4; 1 M 13;2; 10
	1	,	2			и отсекает на осях абсцисс и аппликат
	отрезки одинаковой длины. Плоскость построить.
6.	Плоскость проходит через точку M6; 10;1 и отсекает на оси абсцисс
	отрезок a 3 ,		а на оси аппликат				отрезок	c 2 . Составить для этой

плоскости уравнение в отрезках. Плоскость построить.

b 1; 2;1.

M2; 1;3 и

M3;4; 5

7.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M1; 2;3 и

перпендикулярной вектору OM .

8.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M3;4; 5 параллельно плоскости 2x3y2z10.

9.Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости:

1)2x 3y 5z 70 и 2x 3y 5z 30;

2)4x 2y 4z 50 и 2x y 2z 1 0;

3) x 3z 2 0 и 2x 6z 7 0

10.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости 5x 3y 2z 30.

11.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M3; 2; 7 параллельно плоскости 2x 3z 5 0.

12.Даны две точки M3; 1;2 и N4; 2; 1. Составить уравнение

плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору MN .

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам a 3;1; 1 и

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки N 3;1;2 параллельно вектору a 3; 1;4 .

15.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку 0;0; 2 и

перпендикулярной к плоскостям x y z 0 и 2 y x .

16.Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

M 3; 1;2		M 4; 1; 1		M 2;0;2
1	,		и
		2		3 .

17. Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости:

1)3x y 2z 50, x 9y 3z 2 0;

2)2x 3y z 30, x y z 5 0;

			78
	2x 5y z 0		x 2z 3 0
3)		,
			;
4)	x y z 1		2x 3y z 7 0
		,	.
18. Составить		уравнение	плоскости, которая проходит через начало

координат перпендикулярно к двум плоскостям: 2x y 3z 1 0и x 2y z 0.

19.Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку

M2; 1;1 перпендикулярно плоскости 2x z 1 0 и параллельно

вектору b 1; 2;1 .

20.Установить, что три плоскости x 2y z 7 0, 2x y z 2 0и x 3y 2z 110имеют одну общую точку. Вычислить ее координаты.

21.Составить уравнение плоскости, которая проходит через:

точки

M 0;1;3

M 2;4;5

параллельно оси

;

точки

M 3;1;0

M 1;3;0

параллельно оси

;

точки

M 3;0;3

M 5;0;0

параллельно оси

22. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку

M2; 4;3 и через :

ось OX ;

2) ось OY ;

3) ось

OZ .

23. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через точку

M2; 3;3 параллельно плоскости

XOY ;

2) через точку

N1; 2;4 параллельно плоскости

XOZ ;

3) через точку

P 5;2; 1 параллельно плоскости

YOZ .

24. Вычислить расстояние d точки M от плоскости в каждом из следующих

случаев:

1)	M 2; 4;3	2x y 2z 3 0		M2; 1; 1 16x12y 15z 0
1)	,		; 2)	,			;
3)	M1;2; 3 ,	5y 4 0;	4)	M3; 6;7 ,		4x 3z 1 0.
25. Вычислить расстояние d			от точки P 1;1; 2			до плоскости,
	проходящей	через три	точки:	M1; 1;1		M 2;1;3
	проходящей	через три	точки:	1	,	2	,
	M4; 5; 2
	3	.

26.В каждом из следующих случаев вычислить расстояние между двумя параллельными плоскостями:

1)x 2y 2z 120 и x 2y 2z 6 0;

2)2x3y 6z 140и 4x6y12z 210.

27.На оси OY найти точку, отстоящую от плоскости x 2y 2z 2 0на

расстоянии d 4 .

28.На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки M1; 2;0 и от плоскости 3x 2y 6z 90.

29.На оси OX найти точку, равноудаленную от двух плоскостей:

12x16y15z10, 2x 2y z 1 0.

§2. Прямая в пространстве

1.Каноническое уравнение прямой

Положение прямой l в пространстве однозначно определено, если задана некоторая точка M 0 x0 ; y0 ; z0 на этой прямой и так называемый направляю-

щий вектор , параллельный данной прямой. p m, n, p

Возьмем на прямой произвольную точку M (x, y, z) и рассмотрим вектор

M 0 M x x0 ; y y0 ; z z0 .

M 0

Рис. 1

Так как векторы p и M 0 M коллинеарны, то их координаты пропорцио-

нальны

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.20232.13 Mб09013.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09014.pdf
#
25.11.20232.13 Mб09015.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09016.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09017.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19018.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19019.pdf
#
21.11.2023160.72 Кб1902.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09020.pdf
#
25.11.20232.14 Mб09021.pdf
#
25.11.20232.14 Mб19022.pdf