9018
.pdf60
Пример. Точка M 6, 22 лежит на гиперболе, уравнения асимптот которой
y 23 x . Составить уравнение гиперболы и построить ее.
Решение. Каноническое уравнение гиперболы |
x2 |
|
y2 |
1, т.к. асимптоты |
|||||||||
a2 |
b2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
2 |
x , то |
b |
|
2 |
, b |
2 |
a . Подставим последнее в уравнение гиперболы: |
|||||
3 |
a |
3 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
2 |
2 |
|
3 2 |
3 2 |
x |
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
8 9 |
|
|||
|
x |
|
y |
9 1, далее т. M 6, 2 |
|
лежит на гиперболе, т.е. |
|
1, |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
a |
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
4a |
|
||
144 72 |
|
72 4a2 , |
a2 18 , |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1, |
|
a 3 |
2 ; тогда b |
3 |
2 2 |
|
2 . Итак, иско- |
||||||||||||||||||
|
|
4a2 |
|
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
мое уравнение |
|
x2 |
|
y2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
18 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
Задания для самостоятельной работы:
1.Пользуясь определением гиперболы, составить её уравнение, если
известно, что точки |
F 2;0 |
и |
F |
2;0 |
являются фокусами гиперболы, а |
1 |
2 |
|
длина большой оси равна 2.
2.Пользуясь определением гиперболы, составить её уравнение, если
известно, что точки |
F 0; 3 |
и |
F |
0;3 |
являются фокусами гиперболы, а |
||
1 |
|
2 |
|
||||
длина большой оси равна 4. |
|
|
|
|
|
||
3. |
Построить гиперболу |
|
2 |
2 |
|
||
16x 9y 144. Найти: 1) действительную и |
|||||||
мнимую полуоси; 2) |
координаты фокусов; 3) эксцентриситет; 4) уравнения |
||||||
асимптот. |
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Составить уравнение гиперболы, |
проходящей через точку M 9;8 , если |
асимптоты гиперболы имеют уравнения y 232x.
5.Эксцентриситет гиперболы 2 . Составить уравнение гиперболы,
проходящей через точку M |
|
|
|
. |
3; |
2 |
6.Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет гиперболы
22
xy 1 16 4
7.Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет 1,4 .
Найти уравнение гиперболы.
8. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между фокусами равно 14, а расстояние между вершинами равно 12.
|
2 |
2 |
|
|||
9. Найти эксцентриситет гиперболы |
x |
|
y |
|
1. |
|
|
|
|
||||
|
9 |
16 |
10. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси OX симметрично относительно начала координат, если дана точка
M4,5; 1 гиперболы и уравнения асимптот y 23x.
62
|
2 |
2 |
|
|||
11. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса |
x |
|
y |
|
1. |
|
|
|
|
||||
|
25 16 |
Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет 1,5.
12.Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах
2 2
эллипса x y 1, а фокусы – в вершинах данного эллипса.
25 9
Определить область расположения кривых и построить их:
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
y |
x 9 |
|
|
x |
y 9 |
x |
|
y 25 |
||||||
3 |
|
; 2) |
y 3 x 1; 3) |
3 |
|
; 4) |
5 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. Найти точки |
пересечения |
асимптот |
гиперболы |
2 |
2 |
12 с |
|||||||||
x |
3y |
окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.
14.Определить траекторию точки M , которая движется так, что остается вдвое дальше от точки F 8;0 , чем от прямой x 2 .
15.Найти каноническое уравнение гиперболы, асимптотами которой
являются прямые y x , а фокусы совпадают с фокусами эллипса
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
y |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
64 28 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
16. |
|
|
Найти расстояния от |
центра окружности |
x y 6x4y 0 |
|||||
|
|
|
до |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
9 |
|
|
асимптот гиперболы |
x |
y |
|
|
||||||
|
|
. |
|
|
Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из кото-
рых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной пря-
мой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса |
F до директрисы d |
называется параметром параболы и обозначается через |
p ( p 0). |
Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Oxy так,
чтобы ось Ox проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направ-
63
лении от директрисы к F , а начало координат расположим посередине между
фокусом и директрисой (см. рис. 8). В выбранной системе фокус F |
|
имеет ко- |
|||||||||
ординаты ( |
p |
, 0) , а уравнение директрисы имеет вид |
x |
p |
или |
x |
|
p |
0. |
||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
M (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
0 x |
|
p |
x |
Рис. 8 |
x |
|
F ( |
,0) |
|
||
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|
Пусть M
дем отрезок лы MF MN.
- произвольная точка параболы. Соединим точку M с F . Прове-
MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению парабо-
Используя формулу расстояния между двумя точками, находим:
|
p |
2 |
|
2 |
|
|
p |
2 |
||
(x |
|
) |
|
y |
|
|
(x |
|
) |
. |
2 |
|
|
2 |
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
x 2 px |
p 2 |
y 2 x 2 px |
p 2 |
, |
|
4 |
4 |
||||
|
|
|
т.е.
y 2 2 px. |
(10) |
|
Уравнение (10) называется каноническим уравнением параболы.
Установим форму параболы, пользуясь его каноническим уравнением.
1. Уравнение (10) содержит y только в четной степени, следовательно парабола симметрична относительно оси Ox , ось Ox называется осью симметрии пара-
болы.
64
2. Так как p 0, то из (10) следует, что x 0. Следовательно, парабола распо-
ложена справа от оси Oy .
3. При x 0 имеем y 0. Следовательно, парабола проходит через начало коор-
динат.
y
N |
M (x, y) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
F |
|
,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
p |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
Рис. 9 |
4. При неограниченном возрастании x модуль |
также неограниченно возрас- |
|||||||
тает. Парабола y 2 |
2 px имеет вид, |
изображенный на рисунке 9. Точка O(0,0) |
||||||
называется вершиной параболы. |
|
|
|
|
|
Уравнение вида график этой параболы
M(x,y)
p F ,02
Уравнения x2 сительно оси oy :
y 2 2 px определяет параболу, для которой x 0 , т.е.
y
0 |
p |
x |
|
2 |
|
2 py и x2 2 py задают параболы симметричные отно-
65
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
y |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
M |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
F 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
M |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Вырождения» параболы: |
|
|
|
|
|||||
1. |
x2 k 2 , |
y2 k 2 . Эти уравнения не определяют никакого точечного мно- |
|||||||||||||||||
|
жества при k 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
x2 k 2 , |
y 2 |
k 2 , |
эти уравнения определяют пару параллельных прямых: |
|||||||||||||||
|
x k и |
y k . |
При k 0 эти прямые совпадают. |
|
|
|
|
|
Пример. Парабола, симметричная относительно оси oy , имеет вершину в начале координат и проходит через точку (6,-2). Написать уравнение параболы и определить координаты ее фокуса.
Решение. |
Уравнение параболы, симметричной относительно оси oy : |
x2 2 py либо x2 |
2 py . Подставим координаты точки в оба уравнения: |
62 2 p 2 , т.к. p 0 . |
62 2 p 2 |
|
36 4 p |
|
p 9 |
Уравнение параболы x2 |
18 y , ветви вниз и F 0; 4,5 |
|
y |
0 |
6 |
x
-2
F(0;-4,5)
66
Задания для самостоятельной работы:
1.Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси OX , с
вершиной в начале координат и проходящей через точку A 3; 3.
2.Составить каноническое уравнение параболы, проходящей через начало
координат, если ее директриса имеет уравнение x 15 0.
3. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y2 12x.
4. Найти вершину, фокус и директрису параболы 2 и y 2x 8x 5
построить кривую.
5.Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси OY , с
вершиной в начале координат и проходящей через точку A 2;4 .
6. |
Через фокус параболы |
y2 12x |
проведена хорда, перпендикулярная к её |
|
|
оси. Найти длину хорды. |
|
||
7. |
Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус |
|||
|
которой находится в точке пересечения прямой 5x 3y 120с осью: |
|||
|
1) ординат; 2) абсцисс. |
|
||
8. |
Составить |
уравнение |
множества |
точек, одинаково удалённых от точки |
|
F 2; 0 и от прямой |
y 2 . Найти точки пересечения этой кривой с осями |
||
|
координат и построить её. |
|
||
9. |
Составить |
уравнение |
множества |
точек, одинаково удалённых от начала |
|
координат |
и от прямой x 4 . |
Найти точки пересечения этой кривой с |
осями координат и построить её.
10. Камень, брошенный под углом к горизонту, описал дугу параболы и упал на расстоянии 16м. от начального положения. Определить параметр
67
параболической траектории, зная, что наибольшая высота, достигнутая камнем, равна 12м.
11. Камень, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты
16м. Описав параболическую траекторию, он упал в 48м. от точки бросания. На какой высоте находился камень на расстоянии 6м от точки бросания?
12.Зеркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг её оси симметрии. Диаметр зеркала 80см, а глубина его 10см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он должен быть в фокусе параболы?
13.Струя воды фонтана достигает наибольшей высоты 4 м на расстоянии 0,5 м
от вертикали, проходящей через точку O выхода струи. Найти высоту струи
над горизонталью OX |
на расстоянии 0,75 м от точки O . |
14. Написать уравнение |
окружности, диаметром которой служит отрезок, |
2
отсекаемый на оси абсцисс параболой y 3 2x x. Построить обе кривые.
15.Составить уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы y2 6x и касающейся ее директрисы.
16.Написать уравнение окружности с центром в фокусе параболы y2 4x и
радиусом, равным фокусному расстоянию гиперболы |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7x 9y 63. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
17. Построить кривые, найдя дополнительные точки |
пересечения с осями |
|||||||||||||||||||||||||||||
координат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
4 x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
3y 9 x |
; |
2) |
y 9 3x |
y |
4) |
|
x 4 2y |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 3) |
|
; |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
18. Установить, |
|
какие линии |
определяются следующими |
уравнениями |
и |
|||||||||||||||||||||||||
построить эти кривые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
y 2 x |
; |
|
2) |
y x |
; 3) |
y 3 2x |
y 2 x |
|
x 3y |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 4) |
|
|
; 5) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6) |
x 4 y |
|
x 2 6 2y |
x 4 3y 5 |
y 3 4 x 1. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
; 7) |
|
|
|
|
|
|
|
; 8) |
|
|
|
|
|
; 9) |
68
19.Составить уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы y2 6x и касающейся ее директрисы.
Уравнение Ax2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0
Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности мож-
но записать с помощью единого уравнения вида
Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0, |
(1) |
|
где коэффициенты A и C не равны нулю одновременно. |
|
|
Теорема 1 |
|
|
Уравнение (1) всегда определяет: |
либо окружность (при |
A =C ), либо |
эллипс (при A C 0 ), либо гиперболу |
(при A C 0 ), либо параболу (при |
|
A C 0 ). |
|
|
С помощью преобразования параллельного переноса уравнение (1) кри-
вой 2-го порядка можно привести к каноническому виду.
Рассмотрим параллельный перенос координатных осей:
y |
y |
|
M |
y y |
|
|
|
o a,b |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
x |
x |
|
Рис. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
M x, y – точка с координатами в старой системе координат oxy , |
|
|||||
|
– точка с координатами в новой системе координат |
o x y |
, |
|||
M x , y |
|
|||||
|
– начало координат новой системы с координатами в старой системе. |
|||||
O a,b |
Формулы параллельного переноса координатных осей, выражающие ста-
рые координаты через новые:
x x ay y b
69
Обратные формулы:
x x ay y b
Пример 1 С помощью параллельного переноса осей координат привести
к каноническому виду уравнение кривой x2 2y2 4x 8y 10 0 и построить ее.
Решение. |
AC 0 , |
значит уравнение определяет эллипс. Преобразуем дан- |
||||||||
ное уравнение – сгруппируем полные квадраты |
|
|
|
|
||||||
x2 4x 4 4 2 y2 4y 4 4 10 0 |
|
|
|
|
||||||
x 2 2 2 y 2 2 22 |
|
|
|
|
||||||
x 2 2 |
y 2 2 |
1 |
|
|
|
|
||||
22 |
|
11 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
Положим |
x 2 x |
эта система задает формулы параллельного переноса |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
y 2 y |
|
|
|
|
|
|||
осей координат в т. O1 2, 2 . Получим уравнение эллипса: |
(x )2 |
|
( y )2 |
1, с по- |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
22 |
11 |
|
|
|
|
|
и центром симметрии в т. O1 2, 2 . |
|
|
|
|
|||
луосями a 22 , b 11 |
|
|
|
|
y |
y |
|
|
0 |
|
|
b |
x |
|
O1 |
|
-a |
a |
x |
|
||
|
-b |
|
Рис. 2.