9051

Все силы, приложенные к телу, должны находиться в равновесии. В противном случае оно начинает движение с ускорением, что недопустимо для элемента строитель-

ной конструкции. Проверим равновесие сил в данном случае

∑z=F1+F2 –F3 +F4 –F5 = 10+30-70+50-20=90-90=0 .

Равновесие есть.

2. Нумеруем участки. На каждом из них произвольно показываем сечение.

3. Строим график N(z), учитывая то, что на каждом из участков усилие N постоянно.

Убедимся для проверки, что высота и направление «скачков» на графике соот-

ветствует внешней нагрузке.

Из рис. 8, в частности, видно, что все участки стержня, за исключением участка № 3, сжаты, наиболее нагруженным является участок № 2 . Сжимающее усилие в нем равно 40 кН (около 4-х тонн).

Задача 3.2. Построить эпюру продольных сил для стержня, изображенного на рис.3.10 при следующих значениях нагрузок:

F1= 40 кН, F2= 10кН, F3= 20 кН, q1= 30кН/м, q2 = 5кН/м .

Рис. 3.10

Решение

1.Определим неизвестную опорную реакцию R, составив уравнение равновесия для всего стержня:

2.∑Z = 0, - R – F 1 + F2 + F3 + q1·2 - q2·3 = 0, R= - 40+ 10+ 20+ 30·2 – 5·3=+ 35 кН.

Рис. 3.11

2. Пронумеруем участки стержня (по направлению к заделке). В произвольном месте на каждом участке отметим поперечное сечение. Рассматривая либо левую, либо правую часть стержня, запишем выражение для продольной силы N на каждом участке.

На участках без распределенной нагрузки усилие N постоянно и не зависит от того, в каком месте находится рассматриваемое сечение. На участках, где приложена распределенная нагрузка, от расположения сечения зависит, какая часть распределен-

ной нагрузки придется на отсеченную часть стержня.

Другими словами, усилие N будет зависеть от расположения сечения (в данном случае линейно). Чтобы это учесть, расположение сечения будем отмечать переменным

расстоянием, которое можно отсчитывать от края рассматриваемой части стержня (z3 ‒

для 3-го участка и z4 ‒ для 4-го участка).

При рассмотрении участков 1, 2, 3, 4 будем отбрасывать левую часть стержня. 1 участок. N1=F3= +20 кН (растяжение).

2 участок. N2 = F2+ F3 = 10 +20 =30 кН (растяжение).

3 участок. z3 изменяется от 0м до 3м (область определения N3) .

N3 = F3+ F2– F1- q2– z3 = 10 + 20 - 40 - 5z3= -10 - 5z3

Строим график функции N3 = -10 – 5 z3 (наклонная прямая).

График наклонной прямой обычно строят, подсчитав значения функции

при двух значениях аргумента, то есть, проводя ее через две точки. В данном слу-

чае удобно определять ее значения на границах участка.

При z3 = 0м (правый край участка) N3 = -10-5·0 = -10 кН;

при z3 = 3 м (левый край участка) N3 = -10-5·3 = -25 кН. 4 участок. 0м ≤ Z4 ≤ 2м (область определения N4)

N4 = F3+ F2– F 1– q 2 3 + q1z4=20+10-40-5 3 + 30- z4= -25 + 30 z4.

При z4 = 0 м N4 = - 25 + 30 0 = - 25 кН;

при z4 =2 м N4 = - 25 + 30 2 = +35 кН.

При рассмотрении 5-го участка легче считать силы, приложенные к левой части стержня.

5 участок. N5 = + R= + 35 кН.

3. Откладываем вычисленные значения продольной силы от горизонтальной оси

(«+» ‒ вверх, «-» ‒ вниз).

На участках с распределенной нагрузкой подсчитанные значения соединяем на-

клонными линиями, а на остальных усилие N не зависит от z и изображается горизон-

тальными линиями. Расставляем знаки, делаем штриховку. Убеждаемся в том, что

«скачки» на графике по величине и направлению соответствуют внешним силам. Эпю-

ра построена.

Когда стержень имеет опору только с одной стороны, усилия на участках можно определять, отбрасывая всегда ту часть стержня, к которой приложена неизвестная ре-

акция. В этом случае неизвестная реакция никогда не потребуется для определения усилий, и эпюра может быть построена без определения реакций.

Например, в задаче 3.2 усилие на 5-м участке может быть получено суммирова-

нием правых сил:

N5= F3 + F2– F 1 -q2· 3 + q1· 2 = 20 + 10-40 - 5 ·3 + 30·2 = 35кН.

3.3 Построение эпюр крутящих моментов при чистом кручении стержня

Кручением называется вид сопротивления, при котором в поперечных се-

чениях стержня из шести возможных усилий возникает только одно - крутящий

момент Mz (Mк).

Задача 3.3. Построить эпюру крутящего момента Mz для стержня, изображенного на

рис. 3.12 (для экономии места сам стержень и построения, выполненные в процессе

решения, показываются на одном рисунке).

Решение

Стержень загружен только моментами, действующими относительно оси z. По-

этому в пространственной заделке А из шести возможных реакций не равна нулю толь-

ко одна ‒ реактивный момент MA.

Найдем его из уравнения ∑ mz = 0.

MА =M1 -M2 -M3 +m·1,2=0

MА =M1 -M2 +M3 -m·1,2=8-5+7-5·1,2=4кНм.

Новым в данной задаче является наличие распределенной моментной нагрузки

m=5 кНм/м, что означает, что на каждый метр длины участка действует распреде-

ленный момент 5 кНм.

На участок длиной l=1,2 м в этом случае будет действовать равнодействую-

щий момент М = m l =5 1,2 = 6 кНм.

Поочередно рассекая каждый участок, будем, отбрасывая правую часть стержня, запи-

сывать уравнение равновесия для левой: ∑ mz=0 , из которого будем определять вели-

чину крутящего момента Mz (рис. 3.11). Его первоначальное направление будем счи-

тать на всех участках положительным

1-й участок

MА+Mz=0; Mz=МА= -4 кНм = const.

Проводим горизонтальную прямую.

2-й участок

На участке приложен распределенный момент m, поэтому значение усилия Mz будет зависеть от расположения сечения. Рассматриваемое сечение свяжем с переменным расстоянием от края участка (можно от края стержня) z2, который изменяется в пределах от 0 (левый край участка) до 1,2 (правый край).

Итак , 0≤z2≤1,2м

Mz =-MA –M 1 +m· z2=0

Mz =-MA –M 1 +m ·z2=-4+8-5 z2=4-5 z2.

Строим прямую по двум точкам:

при z2 =0 Mz =4-5·0= 4 кНм, при z2 =1,2 Mz =4-5 1,2 =-2 кНм.