9051

GIP

здесь Mt – крутящий момент, постоянный по длине участка; L – длина участка; G – мо-

дуль упругости материала при сдвиге (модуль упругости 2-го рода).

Произведение GIP называется жесткостью поперечного сечения при кручении.

Условно примем обозначение продольной оси Х.

Если крутящий момент по длине участка Mt(x) есть величина переменная, то взаим-

ный угол закручивания концевых сечений участка определится по формуле:

Чтобы определить полный угол закручивания α какого-либо сечения j бруса по отно-

шению к закрепленному сечению (там угол закручивания равен нулю), нужно взять сумму углов закручивания на всех n участках, заключенных между неподвижным (закрепленным)

и рассматриваемым j-м сечениями:

Относительный угол закручивания θi , т.е. угол закручивания, приходящийся на еди-

ницу длины, определяется по следующей формуле:

Условие жесткости бруса, работающего на кручение, если ограничен относитель-

ный угол закручивания θ , запишется в виде

где [θ] – допускаемый относительный угол закручивания (рад/м); θ max – наибольший по модулю относительный угол закручивания по длине бруса.

Используя условие жесткости (5.15), можно решать следующие задачи:

1.Проверить жесткость бруса, т.е. проверить выполнение условия (5.15).

2.Определить диаметр бруса из условия жесткости (подбор сечения).

Для этого из формулы (5.15) вычисляем требуемое значение полярного момента инерции:

IТР = Mt max .

p G [θ]

Приравнивая требуемую величину IТРp к выражению (5.6) или (5.8), т.е. Iρ = IТРp , опре-

делим диаметр поперечного сечения d или dext.

71

ет вид:

θ = dj(x) = Mt (x) ,

где It = βhb3 – момент инерции при кручении стержня прямоугольного сечения. Величины

α, β, γ называют коэффициентами Сен-Венана, их используют при расчете брусьев пря-

моугольного сечения на кручение. Данные коэффициенты зависят от соотношения h/b и

приведены в табл. 5.1.

Условия прочности и жесткости записываются аналогично (5.4), (5.15), (5.15)'.

Здесь α – полный угол закручивания сечения по отношению к защемленному сечению,

определяется по тем же формулам, что и для круглого сечения, заменяя в них Iρ на It.

Подбор сечения выполняется в том же порядке, как и для стержней круглого сечения.

5.4 Примеры решения задач

Задача 5.1

Требуется подобрать диаметр бруса кольцевого сечения, (рис. 5.5), по условиям прочности и жесткости при следующих исходных данных:

73

Решение

1. Построение эпюры крутящих моментов. Наметим два грузовых участка и в преде-

лах каждого проводим произвольное сечение.

Рассматривая от каждого сечения правую отсеченную часть (так как там нет опоры),

вычисляем величины крутящих моментов, используя следующее рабочее правило, выте-

кающее из метода сечений:

Крутящий момент в любом сечении бруса численно равен алгебраической сумме мо-

ментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения относительно про-

дольной оси бруса в месте сечения.

Правило знаков для крутящих моментов:

Крутящий момент будем считать положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он будет закручи-

вать отсеченную часть по ходу часовой стрелки. В этом случае

Рис. 5.6

внешний закручивающий момент МХ будет действовать против хо-

да часовой стрелки (рис. 5.6). Знак Мt будет отрицательным, если направление момента М X будет противоположным.

Mt1 = M1 = 0,8 кН × м;

Mt2 = M1 - M2 = 0,8 - 2 = -1, 2 кН× м.

На обоих участках крутящие моменты постоянны. По этим значениям строим эпюру

Mt (см. рис.5.5в), из которой получаем: Mt max =1, 2 кН× м.

2. Подбор сечения из условия прочности.

Определяем требуемый полярный момент сопротивления из условия прочности:

Отсюда при заданном К = 0,8 находим dext = 6,37 см.

74

3. Подбор сечения по условию жесткости. Из условия жесткости (5.15)

q= M t max £ [q]; определим требуемое значение полярного момента инерции по сле-

В это соотношение [q] подставляется в радианах, поэтому заданный угол выразим в

радианах:

После округления примем dext = 7,4, тогда

dint = 0,8 × dext = 0,8 × 7,4 = 5,92 см.

По результатам расчетов на прочность и жесткость видно, что по условию жесткости

диаметр бруса требуется больше, чем по условию прочности (7,4 см > 6,37 см).

Окончательно принимаем больший диаметр:

= 0,00857 рад < [q].

м

Условия прочности и жесткости выполняются.

75

Задача 5. 2

Для бруса, изображенного на рис. 5.7 требуется:

–построить эпюру крутящих моментов Мt;

–из условия прочности при кручении подобрать размеры прямоугольного поперечно-

го сечения;

– построить эпюру углов закручивания сечений при следующих исходных данных:

РЕШЕНИЕ

1. Построим эпюры крутящих моментов Мt. Рассматривая правую отсеченную часть

стержня для каждого грузового участка получим:

76

После округления окончательно принимаем:

b = 4 см, h = 2b = 2 4 = 8 см.

Проверим прочность подобранного сечения:

3. Построим эпюру полных углов закручивания.

Предварительно определим момент инерции при кручении и значение жесткости по-

перечного сечения при кручении GIt:

It = bhb3 = 0,229×8×43 = 117,25 см4 = 117,25 × 10–8 м4

(при h/b = 2 b = 0,229 (табл. 1)); G = 0,8 × 105 МПа = 0,8 × 108 кПа.

GIt = 0,8 × 108 кН/м2 × 117,25 × 10–8 м4 = 93,8 кН×м2.

Определим полные углы закручивания сечений А, В, С, D как сумму углов взаимного

закручивания концов участков, заключенных между рассматриваемым и защемленным сечениями.

aА = 0 (здесь стержень защемлен);

Эпюра полных углов закручивания a показана на рис. 5.6в.

6. Сдвиг. Расчет заклепочных соединения

Мы изучали, что при простом растяжении или простом сжатии две части стержня,

разделенные наклонным сечением, стремятся не только оторваться друг от друга, но и

сдвинуться одна относительно другой. Растяжению сопротивляются нормальные, а сдвигу

—касательные напряжения.

На практике целый ряд деталей и элементов конструкций работает в таких условиях,

что внешние силы стремятся их разрушить именно путем сдвига.

77

В соответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план вы-

ступают касательные напряжения. Простейшими примерами подобных деталей являются болтовые и заклепочные соединения. Заклепки во многих случаях уже вытеснены свар-

кой; однако они имеют еще очень большое применение для соединения частей всякого рода металлических конструкций: стропил, ферм мостов, кранов, для соединения листов в котлах, судах, резервуарах и т. п. Для образования заклепочного соединения в обоих лис-

тах просверливают или продавливают отверстия. В них закладывается нагретый до крас-

ного каления стержень' заклепки с одной головкой; другой конец заклепки расклепывает-

ся ударами специального молотка или давлением гидравлического пресса (клепальной машины) для образования второй головки. Мелкие заклепки (малого диаметра — меньше

8 мм) ставятся в холодном состоянии (авиационные конструкции).

Для изучения работы заклепок рассмотрим простейший пример заклепочного соеди-

нения (Рис.6.1). Шесть заклепок, расположенных в два ряда, соединяют два листа внахле-

стку. Под действием сил Р эти листы стремятся сдвинуться один по другому, чему пре-

пятствуют заклепки, на которые и будет передаваться действие сил ).

Рис.6.1 Расчетная схема заклепочного соединения

Для проверки прочности заклепок применим общий порядок решения задач сопротив-

ления материалов.

На каждую заклепку передаются по две равные и прямо противоположные силы: од-

на— от первого листа, другая — от второго. Опытные исследования показывают, что одни из заклепок ряда нагружаются больше, другие — меньше. Однако к моменту разрушения усилия, передающиеся на различные заклепки, более или менее выравниваются за счет пластических деформаций. Поэтому принято считать, что все заклепки работают одинако-

во. Таким образом, при заклепках в соединении, изображенном на рис. 6.1, на каждую

из них действуют по две равные и противоположные силы (рис.6.2); эти силы пе-

редаются на заклепку путем нажима соответствующего листа на боковую полуцилиндри-

ческую поверхность стержня. Силы стремятся перерезать заклепку по плоскости mk

раздела обоих листов.

78