9051

7. Напряжения при прямом поперечном изгибе

7.1 Чистый изгиб. Нормальные напряжения (формула Новье)

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чистым изгибом, и

выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая. Отме-

тим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормаль-

ных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые гипотезы.

Таких гипотез при изгибе три:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки,

лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой - сжимать-

ся; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2)гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3)гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не да-

вят друг на друга.

Кроме этих гипотез следует ввести ряд ограничений:

1.Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

2.Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растя-

жении и сжатии одинаков.

3. Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плос-

кого изгиба без коробления или скручивания.

Приведенные выше гипотезы в обычных случаях изгиба верны только приблизи-

тельно. Однако вытекающие из них погрешности теории так невелики, что ими можно пренебречь.

Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивле-

ния, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а

поперечные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается данное условие,

изгибающий момент, вдоль продольной оси z принимает постоянное значение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе Mx(z) = const, то для однородного бруса посто-

янного поперечного сечения изменение кривизны постоянно вдоль оси z. Под действием изгибающих моментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса принимает

81

форму дуги окружности с радиусом кривизны (рис. 7.1). В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений. Следовательно, точки, распо-

ложенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, в результате изгиба пере-

местятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образует плоскость.

Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга.

Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz

(рис. 7.1).

Врезультате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между собой угол dθ, в связи

счем верхние волокна удлиняются, а нижние − укоротятся. Очевидно, что при этом суще-

ствует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозна-

чим отрезком СD. При этом . Произвольный отрезок АВ, располо-

женный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину . С

учетом построений, изображенных на рис. 7.1, легко определить величину его относи-

тельной линейной деформации:

(7.1)

рис.7.1

Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из

них будет находиться в условиях простого растяжения − сжатия. Тогда переход от дефор-

маций к нормальным напряжениям можно осуществить посредством закона Гука:

82

Таким образом, нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропорцио-

нальны величине изгибающего момента и расстоянию точки от нейтральной линии сече-

ния и обратно пропорционально моменту инерции сечения относительно нейтральной оси.

Из выражения (7.5) можно сделать ряд важных выводов:

1) центр тяжести сечения балки является началом координат для анализа напряже-

ний и приведения внешних сил;

2)напряжения изгиба зависят от значений изгибающего момента, момента инерции сечения и координаты точки, в которой это напряжение определяется;

3)напряжения в любой точке, лежащей на одинаковом расстоянии от нейтральной линии, равны между собой;

4)нормальные напряжения не зависят, а упругие перемещения зависят от модуля упругости материала балки.

В нейтральном слое при y=0 напряжения σ=0, в сжатой зоне (при y<0, рис.7.1) на-

пряжения становятся отрицательными, в растянутой зоне (при y>0, рис.7.1) напряжения становятся положительными. По мере удаления от нейтрального слоя нормальные напря-

жения σ в поперечном сечении бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних во-

локон (при ):

(7.6)

Измеряется осевой момент сопротивления единицами длины в третьей степени, на-

пример (см3). Физический смысл момента сопротивления состоит в следующем: чем больше Wx, тем больший изгибающий момент может принять на себя балка, не подверга-

ясь опасности разрушения. Таким образом, величина момента сопротивления характе-

ризует влияние формы и размеров поперечного сечения балки на ее способность со-

противляться внешним нагрузкам, не разрушаясь.

При симметричном относительно нейтральной линии сечении, например, прямо-

угольном, расстояния до крайних растянутых и сжатых волокон одинаковы и такое сече-

ние имеет одно вполне определенное значение момента сопротивления относительно оси

Oz. Так, при высоте прямоугольника (рис. 7.3, а), равной h

84

7.3Напряжения при прямом поперечном изгибе

Вслучае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению нерав-

номерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки, строго говоря, не остают-

ся плоскими. Однако при h/l<<1 (где h − высота поперечного сечения, l − длина балки)

оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на из-

гиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений σ применяют ту же формулу (7.5).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dz (рис. 7.4,а).

Рис. 7.4

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от ней-

тральной оси, разделим элемент на две части (рис. 7.4,в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны каса-

тельным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 7.4,б). С учетом дан-

87

ного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади bdz

распределены равномерно, используя условие Σz = 0 получим:

где - равнодействующая нормальных сил в левом поперечном сечении элемента dz в пределах заштрихованной площади :

(7.12)

С учетом (5) последнее выражение можно представить в виде

(7.13)

где - статический момент части поперечного сечения, расположен-

ной выше или ниже координаты y1 (на рис. 7.4,б эта область заштрихована). Следова-

тельно, (7.13) можно переписать в виде

откуда

(7.14)

В результате совместного рассмотрения (7.11) и (7.14) получим

S Xотс – статический момент отсеченной части площади поперечного сечения (части площади выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения τ ) от-

носительно центральной (нейтральной) оси X, взятый по абсолютной величине; b(y) – ши-

88

рина сечения на уровне точки, для которой определяется касательное напряжение (на рас-

стоянии у от нейтральной оси); Ix – осевой момент сечения относительно оси Х.

Полученная формула (7.15) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Условие прочности по касательным напряжениям:

Максимальное касательное напряжение maxτ находится в опасном сечении

булки, где возникает максимальная поперечная сила Qy (смотрим эпюру Qy), и в опасной

где maxQY – поперечная сила в опасном сечении, в точках которого определяются каса-

тельные напряжения; [τ] – допускаемое касательное напряжение.

Определение b(y) и S Xотс для произвольной точки произвольного сечения, а так же характер распределения нормальных и касательных напряжений покажем на примере се-

чения в виде трапеции (рис. 7.4).

Рис. 7.4

Наибольшие по модулю касательные напряжения t max будут в тех точках, где отношение

S Xотс достигает максимума. В частности, для прямоугольного сечения при b(y) = const = b b( y)

наибольшие по модулю касательные напряжения возникают в точках нейтральной оси,

так как статический момент полусечения относительно центральной оси всегда больше,

чем для других частей сечения.

89

7.4. Расчеты на прочность при поперечном изгибе

При прямом поперечном изгибе в поперечном сечении бруса действуют нормальные (σ)

и касательные (τ) напряжения.

Нормальные напряжения вызваны изгибающим моментом и определяются по формуле:

Где Мx – величина изгибающего момента в сечении; у – ордината точки, где определяется

σz (рис.7.9); Ix – главный центральный момент инерции сечения бруса.

По формуле (7.17) можно определять нормальные напряжения в любой точке, ле-

жащей на горизонтальной линии поперечного сечения бруса и отстоящей от нейтральной оси X на расстоянии у. Напряжение σz из формулы (7.17) может быть положительным и отрицательным. Принимаем для растянутых волокон «плюс», для сжатых волокон «ми-

нус» (рис. 7.5 б).

Рис. 7.5

Из соотношения (7.17) видно, что нормальное напряжение зависит от величины у линейно. График, изображающий закон изменения нормальных напряжений по высоте сечения, называемый эпюрой напряжений, показан на рис. 7.5б. Наибольшее нормальное

напряжение будет в точке, для которой величина у в формуле (7.17) принимает максимальное значение, т.е. в наиболее удаленной от нейтральной оси точке сечения.

При прямом изгибе нейтральная ось совпадает с главной центральной осью

поперечного сечения, перпендикулярной плоскости действия сил.

Анализ формулы (7.17) для определения нормальных напряжений при прямом из-

гибе и их эпюра (рис. 7.5б) позволяют записать условия прочности при прямом изгибе по нормальным напряжениям. Для пластичных материалов (при [σ]p = [σ]c = [σ]) это условие имеет вид:

90