9427
.pdfПример. Построить прямую l : 2x 6y 0.
Решение. Здесь A 2, B 6, C 0. Уравнение прямой l является общим уравнением прямой на плоскости, проходящей
|
|
|
1 |
|
||
через точку O и точку M |
0 |
1; |
|
|
(рис. 3.7). |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
y |
l |
|
|
1 |
M 0 |
3 |
|
0 |
1 x |
Рис.3.7
3. При A 0, |
B 0, |
C 0 уравнение (3.2) примет |
вид |
||||||
By C 0 или |
y |
C |
. |
Это уравнение |
прямой на плоскости, |
||||
|
|||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
параллельной |
оси |
Ox |
и |
проходящей |
через точку 0; |
|
. |
||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
(рис.3.8)
y
l |
0 |
x |
|
|
|
|
C |
B |
|
|
|
|
|
Рис. 3.8 |
Пример. Построить прямую l : 3y 6 0. |
||
Решение. Здесь A 0, |
B 3, |
C 6. Уравнение прямой l |
является общим уравнением прямой на плоскости, параллельной оси Ox и проходящей через точку 0; 2 (рис. 3.9).
30
y
|
|
0 |
x |
|
l |
-2 |
|
|
|
|
Рис. 3.9 |
4. При A 0, |
B 0, |
C 0 |
уравнение (3.2) примет вид |
Ax C 0 или |
x |
C |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A |
|
|
|
||
Это уравнение прямой на плоскости, параллельной оси Oy и |
|||||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
проходящей через точку |
|
|
; 0 (рис. 3.10). |
||||
A |
|||||||
|
|
|
|
|
|
y
C |
0 |
x |
A |
|
|
|
|
Рис. 3.10 |
Пример. Построить прямую l : 2x 1 0 . |
||
Решение. Здесь A 2, |
B 0, |
C 1. Уравнение прямой l |
является общим уравнением прямой на плоскости, параллельной
|
|
1 |
|
|
оси Oy и проходящей через точку |
|
|
; 0 (рис. 3.11). |
|
2 |
||||
|
|
|
y
|
1 |
0 |
x |
2 |
|
|
Рис. 3.11
31
5. |
При |
A 0, |
B 0, |
C 0 |
уравнение |
(3.2) |
примет |
вид |
By 0 |
или y 0 . Это уравнение координатной оси Ox . |
|
||||||
6. |
При |
A 0, |
B 0, |
C 0 |
уравнение |
(3.2) |
примет |
вид |
Ax 0 |
или x 0. Это уравнение координатной оси Oy . |
|
Итак, рассмотрены все возможные случаи общего уравнения (3.2) прямой на плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Выведем уравнение прямой l , проходящей через две заданные точки M1 x1; y1 и M 2 x2 ; y2 на плоскости xOy в прямоугольной декартовой системе координат (рис. 3.12).
y
M 2
M1
|
|
|
l |
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 3.12 |
|
|
||||||
Поскольку точка M1 x1; y1 лежит на прямой l то, |
||||||||||||
подставляя в |
уравнение |
(3.5) |
ее координаты, записываем |
|||||||||
уравнение прямой l |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
l : y y1 k x x1 , |
(3.6) |
|||||||||
где k – пока неизвестный коэффициент. |
|
|
||||||||||
Так как прямая l проходит и через точку |
M 2 x2 ; y2 , то ее |
|||||||||||
координаты должны удовлетворять уравнению (3.6), то есть: |
||||||||||||
y |
|
y |
k x x , |
откуда k |
y2 |
y1 |
. |
|||||
2 |
|
|
||||||||||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
x2 |
x1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя найденное значение |
k |
в уравнение (3.6), получим |
||||||||||
уравнение прямой, проходящей через точки M1 |
и M 2 : |
|||||||||||
|
|
l : |
y y1 |
|
|
x x1 |
|
|
(3.7) |
|||
|
|
y2 y1 |
x2 x1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через
точки M1 1; 2 и M 2 1;3 . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Решение. |
Подставляя |
в уравнение (3.7) |
x1 |
1, |
y1 2 и |
||||||
|
x2 1, |
y2 3, находим искомое уравнение прямой |
l : |
|
|||||||||
|
y 2 |
|
|
x 1 |
; |
y 2 |
|
x 1 |
; |
2 y 2 1 x 1 ; |
x 2 y 5 0 . |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 2 |
|
1 1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
Ответ: x 2 y 5 0 .
Взаимное расположение прямых на плоскости
Пусть две прямые l1 |
и l2 заданы уравнениями с угловыми |
коэффициентами k1 и k2 , |
соответственно, то есть l1 : y k1 x b1 ; |
l2 : y k2 x b2 . Требуется |
найти угол , на который надо |
повернуть прямую l , вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой l2 . (рис. 3.13).
y
|
l2 |
l1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
0 |
|
x |
Рис.3.13
По теореме о внешнем угле треугольника, имеем: 2 |
1 |
|||||||||
или |
2 |
|
. Если 90 , то |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg tg 2 1 |
|
tg 2 tg 1 |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 tg 1 tg 2 |
|
||
Но так как tg 1 k1 и tg 2 |
k2 , то |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
tg |
|
k2 k1 |
|
|
|
(3.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 k1 k2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
Таким образом, формула (3.8) позволяет находить угол между двумя прямыми на плоскости.
Пример. Найти угол между прямыми l1 : x 2 y 1 0 |
и |
l2 : 3x y 3 0 . |
|
Решение. Запишем общее уравнение заданных прямых l1 |
и |
l2 в виде уравнений с угловыми коэффициентами k1 и k2 , соответственно:
l : 2 y x 1 |
или l |
: y |
1 |
x |
1 |
, значит k |
|
1 |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
l2 : y 3x 3 , значит k2 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Подставляя найденные значения |
k |
|
1 |
и k |
|
3 в формулу |
|||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(3.8), находим угол между прямыми l1 |
и l2 : |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
1 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg |
2 |
|
|
|
2 |
7 , откуда |
arctg 7 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
1 |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: arctg 7 .
Заметим, что если требуется вычислить острый угол между прямыми, то правая часть формулы (3.8) берется по модулю, то
есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 k1 |
|
. |
|
|
tg |
|
|
|
||
|
1 |
k1 k2 |
||||
|
|
|
||||
Если прямые l1 : y k1 x b1; l2 : y k2 x b2 параллельны, то |
||||||
0 |
и tg 0 , следовательно, |
из формулы (3.8) получаем, что |
||||
k2 k1 |
0, то есть k2 k1 . И обратно, если прямые l1 и l2 таковы, |
|||||
что k1 |
k2 , значит tg 0 , то есть прямые параллельны. |
|||||
|
34 |
|
|
Если |
прямые |
l |
и |
l |
2 |
перпендикулярны ( ), то |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
1 k1 |
k2 |
0, |
откуда |
k k |
|
1. Справедливо и обратное |
||
|
|
2 |
|||||||
|
k2 k1 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
утверждение.
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 1; 2 и перпендикулярной прямой L : 3x 2 y 5 0 .
Решение. Перепишем общее уравнение прямой L в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом kL :
|
L : 3x 2 y 5 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L : 2 y 3x 5 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L : y 3 x |
5 , значит k |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
2 |
2 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямые l и L перпендикулярны по условию, значит |
|||||||||||||
kl kL |
1, следовательно, kl |
|
1 |
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|||
kL |
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Подставляя в уравнение (3.5) kl |
|
2 |
, x0 |
1, |
y0 2 находим |
||||||||
|
|
3
искомое уравнение прямой l : l : y 2 23 x 1
l : 3y 6 2x 2 l : 2x 3y 4 0
Ответ: 2x 3y 4 0.
35
§ 4. Плоскость
Переходим далее к аналитической геометрии в пространстве. Объектом изучения теперь будет плоскость. Если в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат, то положение любой точки однозначно определяется тремя числами - её координатами. Найдем уравнение, связывающее координаты любой точки, принадлежащей плоскости. Способ получения уравнения плоскости аналогичен выводу общего уравнения прямой на плоскости.
Общее уравнение плоскости
Пусть в |
прямоугольной |
декартовой системе |
координат |
||
|
M0 x0; y0; z0 и |
|
|
||
задана точка |
вектор |
N |
A;B;C . |
Требуется |
|
составить уравнение плоскости, |
проходящей через точку M 0 и |
перпендикулярной вектору N (рис. 4.1).
z
N A; B;C
M 0
0 |
|
y |
|
M |
|
|
|
x |
Рис. 4.1
36
Выберем произвольную точку M x; y; z на плоскости.
Тогда вектор M0M x x0; y y0; z z0 лежит на плоскости. Так
как плоскость перпендикулярна вектору |
N |
|
по условию, то и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
вектор M0 M перпендикулярен вектору |
|
N , а значит скалярное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
произведение M0 M N 0, или в координатах |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A x x0 B y y0 C z z0 0. |
(4.1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Уравнение (4.1) является уравнением плоскости, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проходящей |
|
через |
|
точку |
M0 x0; y0; z0 |
и |
перпендикулярной |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вектору N |
|
|
A;B;C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вектор |
|
|
|
N |
|
A;B;C |
|
|
называется |
|
вектором |
нормали |
||||||||||||||||||||||||||
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
точку M0 1;2;3 |
и перпендикулярной вектору PQ , если P 0;1;7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и Q 1;2;5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Находим координаты вектора PQ , являющегося |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вектором нормали плоскости: |
|
N PQ 1;1; 2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя в уравнение (4.1) координаты точки M0 1;2;3 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
найденные координаты вектора |
|
N , находим искомое уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
x |
1 |
1 |
|
y 2 |
|
2 |
|
|
|
z |
3 |
|
0 |
или |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x y 2z 5 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: x y 2z 5 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Далее преобразуем уравнение (4.1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ax Ax0 By By0 Cz Cz0 |
0 |
|
|
или |
|
Ax By Cz Ax0 By0 Cz0 0 .
37
Обозначив D Ax0 By0 Cz0 , получаем общее уравнение
плоскости вида |
|
Ax By Cz D 0. |
(4.2) |
Исследуем уравнение (4.2) |
|
1. При A 0, B 0, C 0, |
D 0 уравнение (4.2) примет |
вид
Ax By Cz D.
Разделив обе части последнего уравнения на D
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
1, |
|||||
|
|
D |
|
|
D |
B |
D |
|
|
|||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
C |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и обозначив |
a D |
A |
, |
|
b D |
B |
, c D |
C |
, получаем уравнение |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
плоскости «в отрезках»: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
1, |
|
|
|
|
(4.3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
c |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a , b и c - величины отрезков, которые плоскость отсекает от осей координат (рис. 4.2).
z
CD
N A; B;C
|
D |
|
0 |
B |
|
y |
||
|
D |
A |
x |
Рис. 4.2
38
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0 1;2;3 и отсекающей от осей координат равные
отрезки.
Решение. Используем уравнение (4.3). Так как a b c по условию, то его можно переписать в виде x y z a .
Поскольку точка M0 1;2;3 лежит на плоскости, то,
подставляя ее координаты в последнее уравнение, находим a 6.
Следовательно, |
x y z 6 – уравнение искомой плоскости. |
||||||||||
Ответ: x y z 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Построить плоскость |
6x 2 y 3z 12 0 . |
||||||||||
Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида |
|||||||||||
(4.3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x 2 y 3z 1; |
|
x |
|
|
|
y |
|
z |
1. |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
12 12 |
12 |
|
|
|
6 |
4 |
|
|||
Отметим на оси Ox точку x 2 , |
на оси Oy точку y 6, на |
||||||||||
оси Oz точку |
z 4 , и |
через |
эти |
точки |
|
проведем искомую |
плоскость (рис. 4.3).
z
4
6 |
0 |
y |
2
x
Рис. 4.3
39