9427
.pdfПоверхность гиперболического параболоида можно также получить «механическим» образом. Пусть одна парабола
расположена в плоскости xOz , а другая |
парабола z y2 – в |
перпендикулярной ей плоскости yOz . |
«Заставим» теперь |
нижнюю параболу скользить вершиной по верхней параболе, перемещаясь параллельно плоскости yOz . Эта скользящая парабола и образует гиперболический параболоид.
Интересно, что гиперболический параболоид, как и однополостный гиперболоид, является линейчатой поверхностью
– его можно сформировать из прямых (рис. 8.8).
Рис. 8.8
Гиперболический параболоид с уравнением (8.6) имеет две системы прямолинейных образующих, определяемых уравнениями
|
|
x |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 z, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
z |
|
|
|
|
x |
|
|
|
z |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завершим обзор поверхностей второго порядка полной их классификацией. Всякое уравнение второго порядка в пространстве с помощью подходящего параллельного переноса и поворота осей координат может быть приведено к одному из видов, соответствующих рассмотренным поверхностям:
|
x2 |
|
y2 |
z2 |
|
|
||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(эллипсоид) |
a |
2 |
b |
2 |
c |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
z2 |
|
|
0 |
(точка) |
||||||||||||
|
a |
2 |
|
|
b |
2 |
|
|
|
c |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
z2 |
|
|
1 |
(мнимый эллипсоид) |
||||||||||||
|
a |
2 |
|
|
b |
2 |
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
z2 |
|
|
|
1 (однополостный гиперболоид) |
||||||||||||||
|
a |
2 |
|
b |
2 |
|
|
c |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
z2 |
|
|
1 (двуполостный гиперболоид) |
||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
2 |
|
|
b |
2 |
|
|
|
c |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6) |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
z2 |
|
0 (конус) |
|||||||||||||||
|
a |
2 |
|
|
b |
2 |
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7) |
2z |
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
(эллиптический параболоид) |
|||||||||||||||||
|
p |
|
|
q |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2
8)2z p q (гиперболический параболоид)
9)- 17) уравнения кривых второго порядка задают в пространстве девять видов цилиндров второго порядка.
Построение тел, ограниченных несколькими поверхностями
Наиболее интересные задачи, связанные с разобранными вопросами, - это получение формы тел, ограниченных несколькими поверхностями.
81
Пример. Построить тело, сформированное двумя поверхностями, заданными уравнениями
|
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(8.7) |
|
9 |
4 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
и |
x 0,9( y2 |
z2 ) . |
(8.8) |
Решение. Уравнение (8.7) определяет в пространстве эллипсоид вращения с полуосями a 3, b c 2 . Его общий вид изображен на рисунке 7.5. Уравнение (8.8) задаёт параболоид вращения, который, в отличие от изображённого на рисунке 8.6, симметричен относительно оси Ox . Здесь параболы получаются в сечениях координатными плоскостями xOz и xOy (рис. 8.9), а в сечениях плоскостями x h , если h 0 - окружности (рис.
8.10).
Рис. 8.9 |
Рис. 8.10 |
Поскольку ось Ox |
является осью вращения и для |
эллипсоида, то его сечение плоскостями x h , если h 0 , тоже являются окружностями. Можно найти значение h , при котором
82
радиусы окружностей параболоида и эллипсоида совпадут, то есть поверхности пересекутся. Для этого выразим из (8.8)
y2 z2 |
10 |
x |
и подставим в (8.7): 2x2 5x 18 0 . Из двух |
|
9 |
||||
|
|
|
решений квадратного уравнения оставляем положительное x 2 .
Итак, эллипсоид и параболоид пересекутся при x 2 по
окружности с уравнением |
y2 z2 |
|
20 |
. |
|
|
|||
9 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно |
изобразить |
пересечение |
поверхностей |
в |
|||||
координатной |
плоскости |
xOz (рис. |
8.11) |
– это парабола |
с |
||||
уравнением x 0,9z2 и эллипс |
x2 |
|
z2 |
1. |
|
|
|||
9 |
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8.11
Обе поверхности можно теперь построить в одних координатных осях (рис. 8.12) и изобразить вид тела, ими ограниченного (рис. 8.13).
83
Рис. 8.12
Рис. 8.13
84
Пример. |
Построить тело, ограниченное параболоидом |
|
вращения с |
уравнением |
4z x2 y2 , параболическим |
цилиндром с уравнением y 0,5x2 , координатной плоскостью xOy , а также плоскостью y 2 .
Решение. Как обычно, формируем сечениями указанные поверхности: рис. 8.14, рис. 8.15.
Рис. 8.14
Рис. 8.15
85
Рис. 8.16
При стыковке поверхностей прорисовывается тело (рис. 8.16), форму которого можно уточнить, рассмотрев сечение
плоскостями z 0 |
и |
y 2 . |
Заметим, что точки M (2;2;0) , |
|
N( 2; 2;0) и P(0;2;0) |
являются проекциями на плоскость xOy |
|||
|
|
|
|
|
точек M (2;2;2) , |
N ( 2;2;2) |
и P (0;2;1) , принадлежащих |
параболоиду (рис. 8.17).
Рис. 8.17
86
|
Пример. |
Получить форму тела, ограниченного двумя |
||
параболическими |
цилиндрами с уравнениями z 4 y2 |
и |
||
y |
x2 |
, срезанными координатной плоскостью xOy . |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
Решение. Образующие первого цилиндра параллельны оси Ox , второго – оси Oz . Изобразим для начала параболы, получающиеся в сечениях цилиндров координатными плоскостями (рис. 8.18).
Рис. 8.18
В координатной плоскости xOy парабола |
y |
x2 |
срезается |
||
2 |
|||||
|
|
|
|
||
прямой x 2 , завершаясь точками M (2;2;0) |
и N( 2;2;0) . В |
||||
координатной плоскости yOz в |
сечении получающегося тела |
||||
остаётся часть параболы z 4 y2 |
от вершины K (0;0; 4) до точки |
||||
P(0;2;0) . |
|
|
|
|
|
87 |
|
|
|
|
Окончательную форму тела изображаем рисунком 8.19.
Рис. 8.19
Рассмотрение примеров построения тел, ограниченных заданными поверхностями, синтезирует изложенные теоретические вопросы аналитической геометрии с умением их использовать для получения требуемых пространственных форм.
88
Библиографический список
1.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Е. Кожевникова. – Москва : Мир и образование, 2008. – 368 с.
2.Протасова, Л. А. От геометрии – к дизайн-проекту, или Как я полюбил математику : учеб. пособие для вузов / Л. А. Протасова, А. А. Бутысин ; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун- т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2013. – 137 с.
3.Пучков, Н. П. Математика в архитектуре : учеб.-метод. рекомендации к изучению теорет. части курса «Математика» студентам специальности 290100 / Н. П. Пучков, Т. В. Четвертнова ; Тамб. гос. техн. ун-т. – Тамбов : ТГТУ, 2001. – 40 с.
4.64 лекции по математике : учеб. пособие. Кн. 1 : (лекции 1-39) / В. П. Важдаев, М. М. Коган, М. И. Лиогонький Л. А. Протасова ; Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. – Нижний Новгород : ННГАСУ, 2012. – 286 с. : ил.
89