10535

Функции распределения

Для характеристики частоты появления различных значений случайной величины Х в теории вероятностей пользуются указани-

ем закона распределения вероятностей различных значений этой величины.

Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам как дис-

кретным, так и непрерывным, является функция распределения.

Функцией распределения называется: = (Х < ).

Таким образом, функция распределения задает вероятность появления опреде-

ленных значений случайной величины.

Рассмотрим наиболее применяемые на практике законы распределения случайных величин для моделирования случайных событий.

Законы распределения дискретной случайной величины

Биномиальное распределение

Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n и p,

где 0 ≤ p ≤ 1, если ξ принимает значения 0, 1, 2,…,n с вероятностями

Случайная величина с таким распределением определяет число успехов в n ис-

пытаниях с вероятностью успешного исхода p. Биномиальное распределение,

например, используется при определении числа отказов при испытаниях опре-

деленного объема изделий.

Примеры многоугольников распределения для n = 5 и различных вероятностей:

20

MS Excel позволяет работать с Биномиальным распределением

Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое рас-

пределение применяется при решении задач контроля качества продукции. Вероятность того, что из n

лий, выбранных случайным образом из партии объемом N, ровно k изделий с дефектом, имеет гипергеометрическое распределение.

Случайная величина Х имеет гипергеометрическое распределение с параметра-

ми n, N, K, где K ≤ N, n ≤ N, если принимает целые значения от максимума

−

(0,N-K-n) до минимума (n,N) с вероятностями х = = −

Многоугольник распределения имеет вид:

Для удобства, в расчетах используют

21

Диалоговое окно функции со следующими аргумен-

тами:

1.Успех выборки (k) – количество успешных событий в выборке.

2.Размер выборки (n).

3.Успех в совокупности (K).

4.Размер совокупности (N).

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии,

что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интен-

сивностью и независимо друг от друга.

При условии p → 0, n → ∞, np → = const закон распределения Пуассона яв-

ляется предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероят-

ность p события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром λ, если она принимает значения 0,1,2… с вероятностями х = = ! −

Разные многоугольники распределения при = 1; 4; 10.

22

MS Excel позволяет работать с распределением Пуассона

Законы распределения непрерывных случайных величин

Нормальное распределение

Закон нормального распределения находит большое применение в различных отраслях техники. Этому закону подчиняются многие непрерывные случайные величины, например, ошибки измерения, высота микронеровностей обработан-

ной поверхности и многие другие. Широкое применение закона нормального распределения объясняется центральной предельной теоремой. Из этой теоре-

мы следует, что если случайная величина Х представляет сумму очень большо-

го числа взаимно независимых случайных величин х1 , х2... хn, влияние каждой

23

из которых на всю сумму незначительно, то независимо от того, каким законам расселения подчиняются слагаемые х1 , х2 ... хn, сама величина Х имеет распре-

деление вероятностей, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых.

Этому закону с некоторым приближением может подчиняться: рассеяние по-

грешностей многократных измерений; рассеяние погрешностей изготовления;

погрешности измерения линейных и угловых размеров; массы деталей; величин твердости и других механических и физических величин.

Закон нормального распределения имеет следующие свойства:

−вероятность появления положительных и отрицательных погрешностей одинакова;

−малые по величине погрешности имеют большую вероятность появления,

чем большие;

−алгебраическая сумма отклонений от среднего значения равна нулю.

Пример плотности распределения

24

Окно функции НОРМРАСП() имеет следующие параметры:

1.Х обязательный элемент. Значение, для которого строится распределение.

2.Среднее обязательный элемент. Среднее арифметическое распределения.

3.Стандартное_откл

обязательный элемент.

Стандартное отклонение распределения.

4.Интегральная обяза-

тельный элемент. Логиче-

ское значение, определяю-

щее форму функции. Если аргумент "интегральная" имеет значение 1, то функ-

ция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения (F(х)); ес-

ли этот аргумент имеет значение 0, то возвращается весовая функция распреде-

ления (f(х)).

Равномерное распределение

Закону равномерного распределения подчиняются погрешности от трения в опорах приборов, неисключенные остатки систематических погрешностей,

погрешности дискретности в цифровых приборах, погрешности параметров из-

делий, отобранных в более узких пределах, по сравнению с технологическим допуском, погрешности, возникающие за счет округления величин, полученных при измерении на приборах, в ряде задач массового обслуживания, при стати-

25

стическом моделировании наблюдений, подчинѐнных заданному распределе-

нию.

Плотность распределения:

Проверка статистических гипотез

Полученные в результате эксперимента на какой-либо выборке данные служат основанием для суждения о генеральной совокупности. Однако в силу действия случайных вероятностных причин оценка параметров генеральной со-

вокупности, сделанная на основании экспериментальных (выборочных) дан-

ных, всегда будет сопровождаться погрешностью, и поэтому подобного рода оценки должны рассматриваться как предположительные, а не как окончатель-

ные утверждения. Подобные предположения о свойствах и параметрах гене-

ральной совокупности получили название статистических гипотез.

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о гене-

ральной совокупности, которое можно проверить статистически, то есть опира-

ясь на результаты наблюдений в случайной выборке. Рассматривают два вида статистических гипотез: гипотезы о законах распределения генеральной сово-

купности и гипотезы о параметрах известных распределений.

Гипотезы о средних величинах – это гипотезы относительно оценки средней величины генеральной совокупности на основе выборочных данных. Соответ-

ствующая статистическая проверка осуществляется с помощью Z-критерия, ли-

бо с помощью t- критерия.

Пусть Х и Y –генеральные совокупности, математические ожидания которых не известны. Проверяем гипотезу:

26

Microsoft Excel располагает встроенной функцией Двухвыборочный Zтест

для средних, которая используется для проверки гипотезы о различии между средними двух нормальных распределений с известными дисперсиями.

[Данные → Анализ данных →Двухвыборочный z–тест для средних]

В раскрывшемся диалоговом окне, задаются следующие параметры:

1. Интервал переменной 1: вводится диапазон ячеек, содержащий результаты

наблюдений случайной величины 1.

2. Интервал переменной 2: вводится диапазон ячеек, содержащий результаты наблюдений случайной величины 2.

Замечание: диапазон данных должен состоять из одного столбца или одной строки.

3. Гипотетическая средняя разность: вводится число предполагаемой разности средних изучаемых генеральных совокупностей. Значение 0 указывает на то,

что проверяется гипотеза о равенстве.

4.Дисперсия переменной 1 (известная)

5.Дисперсия переменной 2 (известная)

6.Альфа. Вводится уровень значимости.

7.Переключатель в группе Режим вывода.

Результат анализа:

27

Так как выборочное значение z меньше zкр (0,309326457 < 1,959963985), то ос-

новная гипотеза не отвергается. Следовательно, можно считать, что показания приборов в среднем совпадают.

Парный двухвыборочный t- тест для средних

Используется для проверки гипотезы о равен-

стве средних двух выборок из одной гене-

ральной совокупности, при этом равенство дисперсий не предполагается.

Основная гипотеза: Значимо ли различаются статистические оценки, вычис-

ленные по выборкам объемом n из одной генеральной совокупности.

[Данные → Анализ данных → Парный двухвыборочный t-тест для средних]

Результат

28

Двухвыборочные t –

тесты

Режимы работы «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсия-

ми» (гомоскедастический тест) и «Двухвыборочный t-тест с различными дис-

персиями» (гетероскедастический тест) служат для проверки гипотез о раз-

личии между средними (математическими ожиданиями) двух нормальных рас-

пределений соответственно с неизвестными, но равными дисперсиями

(S2X = S2Y) и с неизвестными дисперсиями, равенство которых не предполагает-

ся (S2X S2Y). В диалоговых окнах данных режимов задаются параметры, ана-

логичные параметрам, задаваемым в диалоговом окне Двухвыборочный z-тест для средних, только отсутствуют поля Дисперсия переменной 1 (известная) и

Дисперсия переменной 2 (известная).

29