10535

обходимо построить график изменения прогнозируемой величины во времени и проанализировать изменение амплитуды сезонных колебаний. В случае если амплитуда сезонных колебаний не имеет ярко выраженной тенденции к изме-

нению во времени, то тогда может быть выбрана аддитивная модель (a), в про-

тивном случае предпочтительна мультипликативная (б).

Для определения типа тренда используют следующие методы:

визуальный анализ графиков изучаемого показателя (аргумент – время);

сравнение коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитан-

ных по исходным и прогнозированным временным рядам в ходе линеари-

зации трендов;

сравнение скорректированных коэффициентов детерминации для различ-

ных форм трендов.

Трендовая составляющая выделяется методом наименьших квадратов. Пред-

ставление о характере тренда можно получить из графика временного ряда.

Распространены следующие модели трендов:

• линейная – Tt = β 0 + βt

• полиномиальная –Tt = β0 + β1 t + β2 t2 + ... + βk tk

70

• логарифмическая – Tt=β1*ln(t)+β0

При наличии у временного ряда тренда,

циклической и сезонной компонент, на-

блюдается корреляция между уровнями временного ряда – автокорреляция.

Автокорреляция первого порядка оценивает степень зависимости между по-

следовательными значениями временного ряда. Количественно она устанавли-

вается с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями этого ряда с некоторым лагом (сдвигом).

71

Замечание:

1) коэффициенты автокорреляции характеризуют тесноту только линейной свя-

зи текущего и предыдущих уровней ряда.

2) точность приближения заметно снижается с ростом лага k, как в силу ухуд-

шения точности использованных замен, так и в силу уменьшения числа наблю-

дений, используемых для вычисления оценки rk. Поэтому на практике обычно ограничиваются изучением небольшого числа первых членов автокорреляци-

онной функции. Вряд ли имеет смысл рассматривать оценки rk при k < n/4.

Последовательность , расположенных по возрастанию их порядка, называет-

ся коррелограммой временного ряда. Анализируя коррелограмму можно опре-

делить структуру временного ряда:

если наиболее высоким оказался первый, то ряд содержит только тренд;

если наиболее высоким оказался , то ряд содержит циклические коле-

бания с периодом τ;

если наиболее высоким оказался 4, то говорят о наличии сезонной со-

ставляющей.

Моделирование тренда временного ряда является важнейшей классической за-

дачей анализа временных рядов.

Решение этой задачи начинается, как правило, с проверки наличия тенденции и формулирования предложений о характере долговременной тенденции, после

72

чего уже строится модель, как функции времени. Для построения аддитивной модели необходимо определить сезонную компоненту и интенсивность, а затем устранить ее с помощью аналитического выравнивания.

Для этого применяется метод Сглаживания. Цель сглаживания временного ряда заключается в получении ряда с меньшим разбросом уровней, что в ряде случаев позволяет на основе визуального анализа сделать вывод о наличии тен-

денции и ее характерных особенностях.

Метод скользящих средних —один из самых старых и широко известных спо-

собов сглаживания временного ряда. Он основан на переходе от начальных значений ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого выбрана заранее (Шаг). Так, если Шаг равен 2, первая точка сглаживающей кривой определяется как среднее значение первых двух элементов данных, вто-

рая точка — как среднее следующих двух элементов и так далее. При выборе шага, следует руководствоваться следующим правилом:

если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал скольжения следует брать по возможности большим, и наоборот, интер-

вал скольжения должен быть как можно меньше, если нужно сохранить более мелкие колебания, и освободиться от периодически повторяющих-

ся;

если колебания уровней ряда имеют периодический характер, например,

при наличии сезонных колебаний, то интервал, по которому вычисляется скользящее среднее, должен быть равен периоду колебаний (длине цик-

лической волны или же кратный ей величине).

При этом сам выбранный интервал времени скользит вдоль ряда. Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя гораздо более гладко, чем исходный ряд, за счет усреднения отклонений исходного ряда.

73

Замечание

1.Если скользящие средние подсчиты-

ваются на нечетном уровне, то рас-

сматривают только сглаженные со-

ставляющие.

2.Если при подсчете использовались четное число уровней, то методику следует дополнить центрированием ряда.

74

Удобно проследить результат сглаживания на диаграмме

Экспоненциальное сглаживание Для выявления долговременных тенденций,

характеризующих изменения данных, кроме скользящих средних, применяется метод экспоненциального сглаживания. Этот метод позволяет также делать краткосрочные прогнозы (в рамках одного периода), когда наличие долговре-

менных тенденций остается под вопросом. Благодаря этому метод экспоненци-

ального сглаживания обладает значительным преимуществом над методом скользящих средних. Метод экспоненциального сглаживания получил свое на-

звание от последовательности экспоненциально взвешенных скользящих сред-

них. Каждое значение в этой последовательности зависит от всех предыдущих наблюдаемых значений. Еще одно преимущество метода экспоненциального сглаживания над методом скользящего среднего заключается в том, что при ис-

пользовании последнего некоторые значения отбрасываются. При экспоненци-

альном сглаживании веса, присвоенные наблюдаемым значениям, убывают со временем, поэтому после выполнения вычислений наиболее часто встречаю-

щиеся значения получат наибольший вес, а редкие величины — наименьший.

75

Выбор сглаживающего коэффициента, или фактора затухания (0<W<1), при-

своенного членам ряда, является принципиально важным, поскольку он непо-

средственно влияет на результат. К сожалению, этот выбор до некоторой сте-

пени субъективен. Если исследователь хочет просто исключить из временного ряда нежелательные циклические или случайные колебания, следует выбирать небольшие величины (близкие к нулю). С другой стороны, если временной ряд используется для прогнозирования, необходимо выбрать большой фактор зату-

хания (близкий к единице). В первом случае четко проявляются долговремен-

ные тенденции временного ряда. Во втором случае повышается точность крат-

косрочного прогнозирования.

76

Из трех представленных сглаживаний в нашем случае наилучшим является

скользящее среднее.

Определим оценку сезонной компоненты

77

Расчет значений сезонной составляющей Si, i=1;L , где L– число сезонов в году.

Определяем параметры: среднее сезонное отклонение; сумма средних сезонных отклонений; корректирующий коэффициент k; сезонная составляющая.

78

Замечание Сумма значений сезонной компоненты должна быть равна нулю.

Для вычленения сезонной составляющей из исходного ряда Y необходимо вы-

честь из каждой точки этого ряда соответствующую сезонную компоненту, т.е.

найти разность − , которая будет представлять собой сумму тенденции и свободного члена + . Полученный таким образом временной ряд без се-

зонных колебаний используется для определения уравнения описывающего

тенденцию.

Среди компонентов временного ряда чаще других исследуется тренд. Именно тренд позволяет делать краткосрочные и долгосрочные прогнозы.

79