10546
.pdf
|
|
|
|
Рис. 26.5 |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично рассмотренному примеру для приведения |
уравнения |
||||||
|
y2 |
|
x2 |
1 к каноническому виду тоже выполним поворот на угол 900 |
|||||
|
b2 |
|
a2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
В новой системе координат уравнение приобретѐт вид |
x 2 |
|
y 2 |
1. Оно |
|||||
b2 |
a2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
определяет гиперболу, вершины и фокусы которой лежат на оси Oy . Эта
гипербола называется сопряжѐнной по отношению к гиперболе (25.3). Они имеют одинаковые асимптоты (рис. 26.6).
Рис. 26.6
191
Для знакомого по школьной программе уравнения параболы y x2 выполним тот же поворот на угол 900 (рис.26.7) и получим в новых координатах каноническое уравнение x y 2 .
Рис. 26.7
Для приведения уравнения xy 3 к каноническому виду рассмотрим
поворот на угол 450 . Подставив в формулы (26.5) cos 450 sin 450 2 2
и проделав соответствующие преобразования, получим в новой системе ко-
|
x 2 |
|
y 2 |
||
ординат каноническое уравнение равносторонней гиперболы |
|
|
|
1. |
|
6 |
6 |
||||
|
|
|
Еѐ асимптотами являются исходные оси координат O x и Oy (рис. 26.8).
Итак, преобразования поворота и (или) параллельного переноса осей координат используются для того, чтобы уравнение (26.2) в новой системе координат приобрело канонический вид. Проанализируем возникающие ситуации. Для этого рассмотрим коэффициенты A и C при квадратах переменных в канонических уравнениях основных линий и найдѐм их произве-
дение. Для канонического уравнения эллипса A |
|
1 |
, C |
1 |
, т.е. произве- |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
||
дение |
AC 0 ; для гиперболы A |
1 |
, C |
1 |
, |
т.е. AC |
0; для параболы |
|||
|
|
|||||||||
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
||
A 0 , |
C 1, т.е. AC 0 . Остальные виды канонических уравнений можно |
распределить по типам таким образом, чтобы для каждого из уравнений первого типа число AC было положительно, отрицательно для второго и равно нулю для уравнений третьего типа.
192
Рис. 27.4
Пусть M (x, y, z) – произвольная точка поверхности вращения, лежащая в плоскости сечения. Рассмотрим в плоскости yOz точку поверхности M (0, y , z) . Еѐ ордината по абсолютной величине равна радиусу окружно-
сти, |
на |
которой лежит точка M (x, y, z) , |
т.е. O M O M , поэтому |
x2 |
y2 |
y 2 . Находящаяся в плоскости yOz |
точка M (0, y , z) принадле- |
жит и плоскости сечения, и исходному эллипсу. Это означает, что еѐ коор-
динаты удовлетворяют уравнению |
y 2 |
|
|
z2 |
|
1.Подставляя в это уравне- |
||||
b2 |
|
c2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
ние выражение y через x и y , получим |
x2 |
|
|
y2 |
|
z2 |
1. Это и есть иско- |
|||
b2 |
|
b2 |
|
c2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
мое уравнение поверхности вращения, называемой эллипсоидом враще-
ния.
Рис. 27.5
198