10546

z

y

x

Рис. 11.5

Из общего уравнения плоскости легко получить так называемое

уравнение плоскости в отрезках

ными осями. Действительно, из (11.2) следует Ax + By + Cz = −Dи далее, предполагая, что D ≠ 0 (т.е. плоскость не проходит через начало координат) и разделив обе части этого уравнения на −D , получим уравнение

плоскость «отрезает» от осей координат(см. рис. 11.6).

z

c

b

y

Рис. 11.6

81

Получим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точкиM1(x1, y1,z1) , M2 (x2, y2,z2 ) , M3(x3, y3, z3) . Пусть M(x, y,z) – произвольная точка плоскости П .

M2

M

M1

M3

Рис. 11.7

Тогда три вектораM1M , M1M2 , M1M3 будут компланарными и, следовательно, их смешанное произведение равно нулю

Раскладывая этот определитель по элементам первой строки, приведем его

клинейному уравнению относительно x, y,z вида (11.2).

11.2.Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть заданы две плоскости П1 и П2 уравнениями(см. рис. 11.8).

A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 , A2x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .

82

Найдем угол между ними в предположении, что они пересекаются. Пересекаясь, плоскости образуют две пары равных двугранных углов. Уг-

В частности, условие перпендикулярности и условие параллельности двух плоскостей имеют вид

П1 П2 A1A2 + B1B2 + С1С2 = 0 ;

П1 П2 A1 = B1 = С1 . A2 B2 С2

В последнем случае, если дополнительно выполняется равенство

то эти плоскости совпадают.

Аналогично понятию пучка прямых на плоскости существует понятие

пучка плоскостей, проходящих через линию пересечения двух заданных плоскостей. В частности, им удобно пользоваться, когда нужно найти плоскость, проходящую через линию пересечения данных плоскостей и удовлетворяющую некоторому дополнительному условию. Уравнение пучка плоскостей имеет вид

(A1x + B1 y + C1z + D1) + λ(A2x + B2 y + C2z + D2 ) = 0 . (11.5)

Действительно, уравнение (11.5) – уравнение плоскости. Так как координаты любой точки, принадлежащей линии пересечения П1 и П2 , обращают в ноль обе скобки в (11.5), то при любом λ эта плоскость проходит через линию пересечения этих плоскостей.

83

11.3. Расстояние от точки до плоскости. Пусть требуется вычислить расстояние отточкиM0 (x0, y0,z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

d

N

M0

d

OM

Рис. 11.9

ПустьM1(x1, y1,z1) – проекция точкиM0 на данную плоскость (см. рис. 11.9). Искомое расстояние равно абсолютной величине проекции вектора M1M0 на направление нормального вектора N = { A,B} :

84

Из формулы (11.6) видно, что знак проекции вектора M1M0 определяетсязнаком выражения Ax0 + By0 + Cz0 + D , т.е., если Ax0 + By0 + Cz0 + D > 0,

Отсюда следует, что M1O ={−x1,−y1,−z1} ↑↑ N = {3,−2,−1}

z

N

M1

d

y

xO

Рис. 11.10

Из равенства (11.7), взятого со знаком плюс, имеем

Отсюда находим M1(−1.5,1,0.5) .

85

Лекция 12. Прямая линия в пространстве

12.1. Различные виды уравнений прямой. Пусть в трехмерном пространстве с декартовой прямоугольной системой координат имеем прямую L, и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой её точки. Пусть M0 (x0 , y0 ,z0 ) – некоторая фиксированная точка этой прямой

Рис. 12.1

Возьмем на прямой L произвольную точку M(x, y,z). Рассмотрим

следующие векторы M0M = {x − x0, y − y0,z − z0}, r = {x0 , y0, z0}иr = {x, y, z}.

Записывая равенство (12.1) в координатах, получим так называемые параметрические уравнения прямой в пространстве

Ясно, что при изменении значения параметра t в пределах от −∞ до +∞ точка M(x, y,z)«пробегает»всю прямую L. В частности, при t = 0 уравнения (12.2) дают координаты точки M0 (x0 , y0 ,z0 ).

86

Выразим параметрt из каждого уравнения (12.2), приравняем друг другу полученные выражения и придем к так называемым каноническим уравнениям прямой в пространстве

Заметим, что на плоскости xOy каноническое уравнение прямой, прохо-

дящей через точку M0 (x0 , y0 ) с направляющим вектором S ={m,n}, имеет вид

x − x0 = y − y0 .(12.4)

mn

Обратим внимание, что уравнения (12.3) представляют собой краткую запись трёх равенств. Рассмотрим, например, одно из них(12.4). Это уравнение плоскости, параллельной оси Oz . Так как координаты любой точки прямой (12.3) удовлетворяют уравнению (12.4), то прямая L лежит в этой плоскости

z

L

y O

x

Рис.12.2

Линия пересечения плоскости (12.4) с плоскостью xOy является проекцией прямой L на эту координатную плоскость.

Рассматривая совместно пару равенств из (12.3) , например,

получим уравнение прямой L в виде линии пересечения двух плоскостей.

87

В общем случае уравнения прямой как линии пересечения двух

Приведём конкретный пример задания прямой в таком виде (см.рис. 2.3).

y

x

Рис. 12.3

Выше был показан переход от канонических уравнений прямой к уравнениям вида (12.5). Покажем, как из уравнений (12.5) получить канонические уравнения этой прямой. Для этого надо найти какую-нибудь одну точку прямой L и её направляющий вектор. Для нахождения координат точки решим систему двух уравнений (12.5) относительно двух переменных, коэффициенты перед которыми образуют базисный минор, фиксируя при этом третью переменную. Совместность этой системы уравнений, а значит, и наличие такого минора, гарантируется предположением о том, что плоскости П1 и П2 не параллельны. Пусть, например,

Раскрывая определители в этих выражениях, представим решения системы

(12.5) в виде

x = αz + β, y = γz + δ.

88

12.2. Проекция точки на прямую и расстояние от точки до прямой в пространстве. Пусть прямая задана каноническими уравнениями

x − x1 = y − y1 = z − z1 . m n p

Обозначим через M2 (x2, y2,z2 ) проекцию точки M0 на данную прямую (см. рис. 12.5). Напомним, что проекцией точки M на ось L в пространстве называется точка M1 пересечения оси L и плоскости, проходящей через точку M0 перпендикулярно этой оси.

M1

M0

Рис.12.5

Требуется найти координаты точки M2 и расстояние от точки M0 (x0 , y0 ,z0 ) до этой прямой. Искомая точка будет найдена, если мы найдем вектор

90