10546
.pdf
Доказательство. В случае, когда |
угол |
ϕ острый, утверждение оче- |
|
видно. В случае тупого угла имеем (см. рис. 5.10) |
|||
|
|
|
|
ПрL AB = − | A1B1 | = − | AB | cos(π − ϕ) =| AB | cosϕ |
|||
|
B |
B |
|
A |
ϕ |
|
ϕ |
|
|
||
|
|
|
A |
|
|
L |
L |
|
|
|
|
A1 |
B1 |
B |
A |
|
|
1 |
1 |
Рис. 5.10
Отметим следующие важные свойства проекции векторов.
Свойство 1. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось (см. рис. 5.11 и 5.12). Точки A1, B1 и C1 – проекции точек A, B и C на осьL.
C L
C1
A
A1 B
Рис. 5.11
AC = AB + BC
|
|
|
= AC |
= A B |
+ B C |
= Пр |
|
|
+ Пр |
|
|
Пр |
L |
AC |
L |
AB |
L |
BC |
|||||
|
|
1 1 |
1 1 |
1 1 |
|
|
|
|
41
C |
L |
|
|
|
C1 |
B1 |
|
A |
|
B |
|
A1 |
|
Рис. 5.12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
= AC |
+ CB |
|
|
|
|
||
|
|
|
= A B |
= AC |
− C B |
= Пр |
|
|
+ Пр |
|
||
Пр |
L |
AB |
L |
AC |
CB . |
|||||||
|
|
1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
L |
|
||
Свойство 2. Если вектор умножается на число, то его проекция умножается на это же число
ПрL (ka) = k ПрLa .
42
Лекция 6.Системы координат
6.1. Линейная комбинация векторов. Выше вектор был определен как геометрический объект – направленный отрезок. Перейдем теперь к эквивалентному его описанию в виде упорядоченного набора чисел. Для этого дадим следующие определения.
Линейной комбинацией векторовa1, a1,…, am с коэффициентами k1, k2 ,…,km называется вектор вида
m
k1a1 + k2a2 +…+ kmam = ∑kiai .
i=1
Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффи-
циенты равны нулю. Будем говорить, что вектор b выражается в виде ли-
нейной комбинации векторов a1, a1,…, am , если он представим в виде
m
bkiai .
i=1= ∑
Теорема. Любой вектор a на плоскости единственным образом представим в виде линейной комбинации двух данных неколлинеарных векто-
ров e1 и e2 этой плоскости.
Доказательство. Поместим начала всех трех векторов в некоторую точку O (см. рис. 6.1). Из конца вектора a проведем прямые, параллель-
ные векторам e1 и e2 , и обозначим через P и Q точки их пересечения с
осями, «проходящими» через векторы e1 и e2 , соответственно. По прави-
|
|
|
лу сложения векторов имеем |
a |
= OP + OQ . |
Qa
e2
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.6.1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как OP || e1 |
и OQ || e2 |
, то существуют такие числа a1 и a2 , что |
|||||||
|
|
|
|
|
= a e |
|
= a e . |
||
|
|
|
|
OP |
,OQ |
||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
Таким образом, получим a = a e |
+ a e . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
Покажем теперь, что такое представление единственно. Пусть это не |
|||||||||||
так, т.е. a = a′e |
+ a′e |
.Тогда после вычитания получим |
|||||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a − a′)e |
+ (a |
2 |
− a′ )e = 0 . |
||||
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
Если хотя бы один из коэффициентов при векторах e1 и e2 , не равен нулю, то отсюда будет следовать их коллинеарность, что противоречит предположению. Таким образом, указанное представление единственно.
Теорема. Любой вектор a в пространстве единственным образом представим в виде линейной комбинации трех данных некомпланарных
векторов e1 , e2 и e3 .
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы (см. рис.6.2)
|
a |
R |
|
|
Q |
e2 |
|
e3 |
|
O |
|
e1 |
P |
|
|
|
Рис. 6.2 |
Введем свойство линейной зависимости векторов, обобщающее свойства коллинеарности и компланарности на случай произвольного чис-
ла векторов. Векторы a1, a1,…, am называются линейно зависимыми, если хотя бы один из них выражается в виде линейной комбинации остальных, то есть
m |
|
aj = ∑ kiai |
(6.1) |
i=1(i≠ j)
В противном случае эти векторы называются линейно независимыми. Из этих определений следует, что любые два коллинеарных вектора
линейно зависимы, так как из условия a |
|| a |
следует, что a |
= ka |
, и что |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
любые три вектора на плоскости также линейно зависимы. Таким образом, приведенные выше теоремы можно переформулировать следующим образом: любой вектор на плоскости единственным образом представим в виде линейной комбинации двух заданных линейно независимых векторов, а
44
любой вектор в пространстве – в виде линейной комбинации трех заданных линейно независимых векторов.
Возможность такого представления любого вектора приводит к мысли определять вектор и его положение набором коэффициентов его линейной комбинации. Естественно возникают задачи определения положения вектора и его длины через этот набор коэффициентов. Эти задачи решаются с помощью операции скалярного умножения векторов.
6.2. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Базисом
{e1,e2,e3} называются взятые в определенном порядке линейно независимые векторы. Термин базис (гр. basis – основание) отражает тот факт, что через эти векторы можно выразить любой вектор. Если базисные векторы взаимно перпендикулярны, то базис называется ортогональным, а если плюс к этому базисные векторы имеют единичную длину, то – ортонормированным.
Выражение данного вектора a в виде линейной комбинации базисных векторов называется его разложением в данном базисе (или по базису):
a = a e + a e |
+ a e . |
||||
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
Коэффициенты разложения {a1,a2 ,a3} |
называются координатами векто- |
||||
ра a в данном базисе, и записывается это так: |
|
||||
a = { a1,a2 ,a3} .
Таким образом, теперь вектор – это упорядоченная тройка чисел (на плоскости – пара чисел).
Операции над векторами в координатной форме
• |
|
|
= b , i; |
a = b |
тогда и только тогда, когда a |
||
|
|
i |
i |
•a + b = { a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3};
•λ a = { λa1, λa2, λa3,}
непосредственно следуют из определения. Например,
a + b = (a e |
+ a e |
+ a e |
) + (b e |
+ b e |
+ b e |
) = |
||||||
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
|
= (a + b )e |
+ (a |
2 |
+ b )e |
+ (a |
3 |
+ b )e |
) ={a + b , a |
2 |
+ b , a |
3 |
+ b }. |
|||||
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
3 |
3 |
1 |
1 |
2 |
3 |
||||
45
Условие коллинеарности двух векторов «в координатах» получается
следующим образом: a |
|
|
= λ a или |
||b тогда и только тогда, когда |
b |
bi = λ ai i, т.е. их соответствующие координаты пропорциональны:
b1 = b2 = b3 . a1 a1 a3
6.3. Декартова система координат. Декартовой системой координат называется совокупность фиксированной точки O (начала координат)
ибазиса векторов {e1,e2,e3}, исходящих из точки O . Оси, проходящие че-
рез базисные векторы, называют соответственно осью абсцисс (ось Ox), осью ординат (ось Oy ) и осью аппликат (ось Oz ). Плоскости, проходящие через две какие-либо оси, называют координатными плоскостями.
Если базис ортогональный, то такая система координат называется
декартовой прямоугольной системой координат. В ортонормированном
базисе единичные базисные векторы принято обозначать через i , j, k .
Очевидно, что «в координатах» эти векторы |
|
записываются следующим |
|||
образом: |
|
|
|
|
|
|
= {1, 0, 0}, |
|
= {0, 1, 0}, |
= {0, 0, 1} . |
|
i |
j |
k |
|||
Радиус-вектором произвольной точки M называют вектор OM , а его координаты называют координатами этой точки. Если даны координа-
|
|
|
|
ты точек A(x1, y1,z1) и B(x2 , y2 ,z2 ), то в силу того, что AB |
= OB |
− OA |
|
|
|
|
|
,координаты вектора AB равны |
|
|
|
|
|
|
|
AB = {x2 − x1, y2 − y1, z2 |
− z1}. |
|
|
Для произвольной точки M в декартовой системе координат с ортонормированным базисом в разложении вектора
|
|
|
|
OM |
= x i |
+ y j |
+ z k |
|
|
|
|
его координаты x, y, z являются |
проекциями вектора OM на оси |
||
Ox, Oy, Oz , соответственно (см. рис. 6.3).
46
|
|
|
|
|
OM = xi |
+ y j |
+ zk |
||
k γ
β y
x |
|
|
|
α |
j |
||
|
|||
|
|
i
P
Q
Рис.6.3
Обозначим через α, β, γ углы между положительными направле-
|
|
|
ниями осей координат и вектором OM . Тогда проекции вектораOM вы- |
||
ражаются следующим образом: |
|
|
|
|
|
x = PrOX OM |
=|OM | cosα , |
|
|
|
|
y = PrOY OM |
=|OM | cosβ , |
|
|
|
|
z = PrOZ OM |
=| OM | cosγ . |
|
|
= e единичной длины, то его координаты яв- |
В частности, если вектор OM |
ляются косинусами углов, которые этот вектор образует с осями коорди-
нат, то есть
e ={cosα, cosβ, cosγ}.
В связи с этим координаты единичного вектора называют направляющими косинусами этого вектора.
Длина вектора может быть найдена по теореме Пифагора: из двух прямоугольных треугольников OMQ и OPQ следует, что
|OM |= x2 + y2 + z2 .
Таким образом, углы, которые вектор образует с осями координат, связаны следующим соотношением
e 2 = cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.
6.4.Полярная система координат. Кроме декартовой, возможны и другие системы координат. Рассмотрим полярную систему координат.
47
Пусть на плоскости зафиксирована точка |
O (полюс) и выбран луч (поляр- |
||
|
|
|
|
ная ось OP) с началом в полюсе (см.рис.6.4) |
|
||
|
,φ |
|
, |
|
|
||
|
r |
|
,φ |
|
|
r |
|
|
φ |
|
φ |
|
|
|
|
Рис. 6.4
Тогда положение произвольной точки M на плоскости можно однозначно
охарактеризовать двумя числами (r,ϕ), где r =|OM | – расстояние этой
точки от полюса и ϕ – угол между полярной осью и вектором OM , отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки (см. рис. 6.4).
Выберем на плоскости две системы координат – декартову прямоугольную и полярную – так, что полюс находится в начале декартовой системы координат, а полярная ось направлена вдоль положительного направления оси абсцисс. Тогда любая точка M будет иметь декартовы координаты (x, y) и полярные (r,ϕ). Из рис. 6.4 непосредственно следуют соотношения между полярными и декартовыми координатами (предполагается, что линейный масштаб одинаковый в обеих системах координат)
x = rcosϕ |
r = x |
|
+ y |
|
||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
y = rsinϕ , |
|
|
|
y . |
||
|
tgϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
В полярной системе координат удобнее изображать кривую, расстояние точки которой от начала координат (полюса) определяется как функция направления (полярного угла). Например, так называемая «спираль Архимеда» определяется следующим образом: расстояние её точки до полюса пропорционально величине угла между полярной осью и радиу- сом-вектором этой точки. В соответствии с этим запишем уравнение этой кривой в полярной системе координат
r = a ϕ, a > 0
и построим ее график Спираль Архимеда можно рассматривать как траекторию движения точки, равномерно перемещающейся вдоль прямой, в
48
то время как эта прямая равномерно вращается против часовой стрелки относительно полюса. На рис. 6.5 приведена часть этой спирали, соответствующая изменению полярного угла в пределах одного оборота.
Рис. 6.5
49
Лекция 7. Скалярное произведение
7.1. Скалярное произведение двух векторов. Скалярным произве-
дением векторов a и b называется число, равное произведению модулей
этих векторов на косинус угла между ними< a,b > =| a | | b | cosϕ
b
ϕ
a
Рис. 7.1
Под углом между двумя векторами будем понимать наименьший из двух углов между ними.
|
|
Скалярное произведение обозначается символом a b |
или <a,b > . |
Обратим внимание на то, что результат этой операции может быть выражен через проекцию одного из векторов на другой. Действительно, так как
Прab =|b|cosϕ , Прb a =| a|cosϕ ,
то (см. рис. 7.2)< a,b > =|a| Прa b =|b | Прb a
Прba b
ϕ
Праb a
Рис. 7.2
С этой операцией в физике связано вычисление работы силы F при пе-
ремещении материальной точки по направлению вектора S , когда угол между этими векторами равен ϕ . Тогда работа вычисляется по формуле
50