Лема про добуток функціональних відношень
Добуток функціональних відношень є функціональним відношенням,
Якщо F A B та G B C – функц. відношення, то F◦G A C – також функц. відношення
F:A→B, G:B→C »»» F◦G:A→C
11
Доведення леми
F A B, G B C, F◦G A C (x,z) F◦G y B (x,y) F, (y,z) G
(x,z1),(x,z2) F◦G
y1 (x,y1) F, (y1,z1) G; y2 (x,y2) F, (y2,z2) G (x,y1) F, (x,y2) F; (y1,z1) G, (y2,z2) G
в силу функціональності F |
|
y1=y2, (y1,z1) G, (y2,z2) G |
|
(y1,z1) G, (y1,z2) G |
|
z1=z2 в силу функціональності G |
12 |
Добуток функціональних відношень і суперпозиція функцій
F A B, G B C, F◦G A C – функц. відношення, F:A→B, G:B→C, F◦G:A→C
F:x A→y B, G:y B→z C, F◦G:x A→z C y=F(x), z=G(y)
z=G(F(x))
F◦G:A→C »»» z=G(F(x))
Функцію, що відповідає добутку функціональних відношень F◦G, будемо називати суперпозицією відповідних функцій z=G(F(x))
13
Класифікація відображень F:A B
Ін’єкція «відображення в»
Сюр’єкція «відображення на»
F (a) F (a' ) a a'
F ( A) B
Бієкція |
δF=A та |
|
«взаємно однозначне |
||
ін’єкція і сюр’єкція одночасно |
||
відображення» |
||
|
14
Співвідношення для відображень
f: X Y, A,B X, C,D Y
Обернена функція f 1 :Y X існує
1.f (A B) f (A) f (B)
2.f (A B) f (A) f (B)
3.f 1(C D) f 1(C) f 1(D)
4.f 1(C D) f 1(C) f 1(D)
5.f 1(C) f 1(C) 6. A B f (A) f (B)
15
Доведення 1
y f (A B) y f (x),x A B y f (x),x A,x B
y f (A),y f (B) y f (A) f (B)
16
Чи можна обернути доведення 1
y f(A B) y f(x),x A B y f(x),x A,x Bне можна
y f(A),y f(B) y f(A) f(B)
17
Приклад до п.1
x2 : D D, A (0;1), B ( 1;0)
A B , f ( A B)
f( A) (0;1), f (B) (0;1)
f( A) f (B) (0;1)
f ( A B) f ( A) f (B) (0;1)
18
Доведення 3
x f 1(C D) y f(x),y C D 
y f(x),y C x f 1(C)
y f (x),y D x f 1(D) x f 1(C) f 1(D)
x f 1(C) f 1(D)
19
Доведення 3
x f 1 (C) f 1 (D)
x f 
x f
1
1
(C) y f (x), y C (D) y f (x), y D
y f (x), y C D x f 1 (C D) y f (x), y C D x f 1 (C D)
20