7 сем / Vse_lektsii_TAU
.pdfПример 2:
Найдем передаточную функцию формирующего звена, вырабатывающего импульс треугольной формы (с единичной амплитудой):
Аналитическое выражение импульса:
s(t)=s1 (t) s2 (t) s3 (t) ,
где |
s (t)=kt1 (t) , s (t)=-2k(t |
T |
)1 |
|
(t |
T |
) , |
|
s (t)=k(t T )1 (t T ) , k tg = |
1 |
|
|
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
T |
|
|
T |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
В этом случае передаточная функция формирователя будет равна |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
L s(t) L |
2 |
t10 (t) |
4 |
(t |
T |
)10 |
(t |
T |
)+ |
|
2 |
(t T )10 (t T ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Wф (p) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
T |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
T |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pT |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
T |
|
|
|
|
pT |
|
|
2 |
|
1 e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
e |
2 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
T |
|
|
2 |
p |
2 |
|
p |
2 |
|
|
T |
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При проведении исследований обычно два непрерывных звена системы Wф (p) и Wн (p)
заменяют одним Wп (p) и называют его приведённой непрерывной частью:
Wп (p)=Wф (p) Wн (p)
3
В действительности элемента, преобразующего входной сигнал в последовательность δ– функций, не существует. Поэтому представление импульсного элемента в виде ИИЭ и формирующего звена является просто математическим приемом.
Наличие ИИЭ отличает структурные схемы ИСАУ от структурных схем непрерывных систем. ИЭ нельзя перемещать через непрерывное звено (исключение – безынерционное звено), т.к. изменятся свойства цепи.
Учитывая, что x(t) 0 при t 0 , выходной сигнал ИИЭ x* (t) представляет собой последовательность модулированных сигналом x(t) и смещенных δ–функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x* (t)=x(t) |
(t lT ) x[lT ] (t |
lT ) x(t) T (t) |
|
(1) |
||
l 0 |
l 0 |
|
|
|
|
|
– уравнение ИИЭ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где T (t)= (t lT ) , (t lT ) – смещенная δ–функция , T – период квантования. |
|
|||||
l 0 |
|
|
|
|
|
|
В теории ИСАУ условно принимают T |
(t)= 1, |
t lT |
|
|||
|
|
|
0, |
t lT |
|
Глава 2. Способы математического описания ИСАУ
2.1.Решетчатая функция, дискретное преобразование Лапласа.
ВИСАУ сигнал x* (t) (управляющее воздействие), как следует из (1), содержит только дискретные значения сигнала рассогласования x(t) , взятые в моменты времени,
отдаленные друг от друга на время квантования T , и представляющие собой модулированную сигналом x(t) последовательность (t lT ) функций.
x* (t) x(t) T (t)
4
где T |
(t)= 1, |
t lT . |
|
0, |
t lT |
Т.е. сигнал x* (t) отличен от нуля только в моменты времени t lT .
Опр. 1. Функции, которые определены только в дискретные равноотстоящие моменты времени, называют решетчатыми.
Решетчатые функции (РФ) обозначают: x lT |
x l , |
|
|
|
|
где l – любое целое число.
Следовательно, сигнал x* (t) на выходе ИИЭ представляет собой решетчатую функцию:
x* (t)=x lT
График решетчатой функции может иметь, например, следующий вид.
Одной и той же решетчатой функции могут соответствовать различные непрерывные или разрывные функции, если только их ординаты в дискретные моменты времени равны дискретам решетчатой функции:
Для того чтобы получить решетчатую функцию по заданной непрерывной, нужно в ней заменить t на lT .
Например: |
|
|
|
|
|
|
Если x(t) e t , то |
x lT e lT |
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
если x(t) a1 (t) , то |
x lT |
a1 |
lT . |
|||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
Решетчатые функции (РФ) необязательно образуются из соответствующих непрерывных функций времени. В общем случае:
5
Опр. 2. РФ – это числовая последовательность, полученная в результате измерительной или вычислительной процедуры, в которой аргумент (необязательно время) изменяется через равные интервалы.
Смещенная РФ – это такая РФ, которая рассматривается в моменты времени t lT t ,
(обозначается: x lT , t ).
6
Лекция № 3 (20 сентября 2021)
Было на прошлой лекции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t lT ) |
|
|
|
|
|
x* (t)=x(t) |
|
x[lT ] (t lT ) x(t) (t) |
, |
(1) |
|||
|
l 0 |
l 0 |
T |
|
|
||
|
|
|
|
||||
(где T |
|
(t lT ) , T |
– период квантования, (t lT ) – смещенная δ–функция) |
||||
(t)= |
|||||||
|
l 0 |
|
|
|
|
|
|
– сигнал на выходе ИИЭ (~ уравнение ИИЭ) – представляет собой решетчатую функцию (функции, которые определены только в дискретные равноотстоящие моменты времени, называют решетчатыми).
Продолжение п. 2.1 Решетчатая функция, дискретное преобразование Лапласа.
Для математического описания ИСАУ вводится функциональное преобразование решетчатой функции. Оно называется дискретным преобразованием Лапласа или D- преобразованием. Это преобразование позволяет получить изображение решетчатой функции.
Обозначается: D x lT X * (p)
Для непрерывных линейных систем преобразование Лапласа существенно упрощает как процедуры структурного анализа, так и определение временных и частотных характеристик, поскольку позволяет заменить решение дифференциальных уравнений решением алгебраических.
D-преобразование вводится на основе преобразования Лапласа для непрерывных функций
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( X (p) L x(t) x(t)e pt dt ): |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с _ учетом _ (1) _и |
|
|
|
|
|
|
|
x* (t)e pt dt |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
X * (p) D x lT L x* (t) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
при _ усл и _что_ x(t) 0 _при_t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
помен _ местами |
|
|
|
||||
|
(t lT )e pt dt |
x(t) (t lT )e pt dt |
|
|||||||||
x(t) |
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
l 0 |
|
|
|
и |
|
l 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
теорема : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= x lT e plT |
|
|
||||
|
(t) |
(t )dt ( ) |
l 0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
0 непрер .функ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e plT |
|
|
|
|
|
|
|
|
X * (p)= x lT |
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
l 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
–это выражение называется дискретным преобразованием Лапласа или D-
преобразованием ( X * (p)=D x lT ).
D-преобразование является функцией epT , а не p.
Для того чтобы изображение решетчатой функции существовало, ряд должен сходиться. Для этого необходимо, чтобы были выполнены условия:
|
|
x lT e plT |
|
|
|
l 0 |
|
1)x lT 0 при l 0 ,
2)| e ( 0 j T )l x lT | M l , где M – ограниченное число
|
|
e 0l |
|
x lT |
|
M l |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина 0 Re p , при которой ряд сходится, называется абсциссой сходимости. |
|||||||||||||
|
|
|
x lT |
|
0 |
, то |
x lT |
|
|||||
Если для данной функции |
абсцисса сходимости |
называется |
|||||||||||
преобразуемой или оригиналом (обознач. строчной буквой), |
а X * (p) – ее изображением |
||||||||||||
(обознач. прописной буквой со звездочкой). |
|
|
|
|
|||||||||
Представление |
X ( p) |
|
в |
виде |
бесконечного ряда |
неудобно |
для |
проведения |
вычислительных процедур. Однако здесь можно воспользоваться формулой представления ряда экспоненциальной функции:
|
1 |
|
e |
pT |
|
||
e plT |
|
|
|
(*) |
|||
1 e pT |
epT 1 |
||||||
l 0 |
|
|
Рассмотрим примеры определения D-преобразования (дискретного изображения по Лапласу).
Пример 1. Пусть имеем непрерывный сигнал x(t) e t . Найдем изображение X * (p)
соответствующей решетчатой функции x[lT ] e lT .
Решение. Применяем дискретное преобразование Лапласа:
X * (p) D{e lT } e lT e plT e lT ( +p ) |
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
см .(*) |
|
|
||
l 0 |
l 0 |
|
|
|
|
1 e T ( +p ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй способ (не по (*), а с выводом): |
X * (p) |
... e lT ( +p) |
|||||
|
|
|
|
|
|
l 0 |
|
|
|
|
|
|
|
e pT |
e |
pT |
|
|
|
. |
|
epT e T |
1 e T ( +p) e 2T ( +p ) ...
по формуле геом.прогрессии |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
e |
pT |
|
||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
= |
|
|
|
|||||||
(a aq aq2 ...) |
S |
|
|
1 e T ( +p) |
epT e T |
|
|
|||||||||
|
q |
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При 0 |
x(t) 10 (t) (экспоненциальная функция стремится к единичной функции), |
|||||||||||||||
тогда X * (p) D{1 |
(t)} |
|
epT |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
epT 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
Можно показать это по-другому:
для x(t) 10 (t) и соответствующей РФ x[lT ] 10[lT ]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по _ форм. |
1 |
|
e pT |
e |
pT |
|
|
|
|
||||
X * (p) 10[lT ]e plT |
1 |
e pT e 2 pT ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 e pT |
|
epT 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
l 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
геом.прогр. |
|
|
|
|
|||||||||
Пример |
2. |
|
Непрерывный |
|
сигнал |
x(t) t . |
Найти |
изображение |
|
X * (p) |
|||||||||||||||||||
соответствующей решетчатой функции x[lT ] lT . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T (e pT 2e 2 pT |
3e 3 pT |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X * (p) D{x[lT ]} lTe plT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выносим |
e pT |
|||||
|
(1 e pT e 2 pT |
) |
e 2 pT (1 e pT e 2 pT |
|
) |
|
|
||||||||||||||||||||||
T e pT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
общий _ множитель( см.выше _ сумму _ ряда ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
epT |
|
|
TepT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Te pT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
pT |
|
|
epT 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
e |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если в (2) |
заменить |
epT на z, то |
получим так называемое |
z-преобразование для |
|||||||||||||||||||||||||
дискретных значений сигнала x : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X * (z)= x lT z l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2*) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часто в ИСАУ решетчатая функция получается из непрерывной (для которой, как правило, известно изображение Лапласа). Поэтому желательно иметь соотношение, позволяющее получать изображение дискретного сигнала X ( p) по изображению непрерывного сигнала X ( p) .
Опр. Операция нахождения (или само соотношение) X (p) по |
|
|
|
|
|
|||||||
X ( p) называется D - |
||||||||||||
преобразованием и имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (p) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (p) D |
X (p j 0l) |
|
(3) |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 l |
|
|
|
|
|
|
где 0 2T – частота квантования (дискретизации), X ( p) L x(t) .
Выражение (3) устанавливает связь между X (p) и X ( p) .
В (3) предполагается, что x( t ) 0 при t 0 .
3
Если x(0) 0 , то X (p) D X (p) |
0 |
X (p j 0l) x(0) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
l |
|
2 |
|
Доказательство:
Для получения выражения (3) представим периодическую функцию T t рядом Фурье:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T t |
|
e j 0lt |
|
|
|
(**) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 l |
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда с учётом того, |
|
что |
x* (t) x(t) (t) , |
преобразование Лапласа функции x* (t) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно получить следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
L x* (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j lt |
|
|
|
|
|
|
t p j 0l |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x* (t) e pt dt |
|
0 |
|
|
|
x(t)e |
|
0 |
|
e pt dt |
0 |
|
|
x(t)e |
|
dt |
0 |
X (p j 0l) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 l |
|
e |
t ( |
p |
j l ) |
|
2 l |
|
|
|
2 l |
||||||||
|
|
0 x(t ) T (t ) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е. X * (p) |
X (p j 0l) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч.т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (p) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 pT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X * (p) 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 l 1 (p j 0l)T
Способы определения F* (p)
Предполагается, что имеется сигнал f ( t ) F (p) B(p)
A(p)
1)Непосредственно по (3).
2)По таблицам D -преобразований.
3)Разложение F (p) на простые составляющие (например, сомножители или сумму),
далее – по таблицам.
4) По формуле разложения:
|
|
|
|
|
|
n |
B(p ) |
|
epT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (p) |
i |
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
A(p ) |
epT epiT |
||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
где |
p |
– корни характеристического уравнения A(p)=0 (простые, действительные), A |
dA |
|
|||||||||
|
|||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F (p) |
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p 1 pT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (p) ?
Воспользуемся формулой разложения.
4
A(p) p 1 pT1 |
||||
A |
dA |
1 2 pT |
||
|
||||
|
dp |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
по _ формуле _( 4 ) K |
||
F (p) |
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
Корни ХУ |
A(p)=0 : p 0 , |
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
e |
pT |
|
|
|
|
|
|
e |
pT |
|
|
KepT epT |
e T T1 epT |
1 |
|
|
K 1 e T T1 |
epT |
|
|||||||||
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
epT 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
e |
pT |
e |
T T1 |
e |
pT |
|
|
pT |
e |
T T1 |
|
|
e |
pT |
|
pT |
e |
T T1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e |
|
|
|
|
|
1 e |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Лекция № 4 (27 сентября 2021)
2.2. Свойства дискретного преобразования Лапласа. Свойства D -преобразования.
Было на прошлой лекции:
Дискретное преобразование Лапласа (или D-преобразование).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e plT |
|
|
|
|
|
|
|
X * (p)=D x lT = x lT |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D -преобразование: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (p) |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
X (p) D |
X (p j 0l) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 l |
||
Вначале рассмотрим свойства D-преобразования. |
(2)
(3)
10. Свойство линейности. |
|
Если решетчатые функции f1 lT , ..., |
fk lT – оригиналы, а F1* (p) , ..., Fk* (p) – их |
изображения, то дискретное преобразование Лапласа суммы РФ-ий равно:
D{ k |
C f |
|
lT } F* (p) k |
C F* (p) |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
где C – произвольные const.
Это утверждение легко обосновать, если подставить сумму решетчатых функций в формулу D-преобразования (2).
20. Сдвиг [аргумента РФ] во временной области.
Для смещенной во времени решетчатой функции D-преобразование определяется следующими соотношениями:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D{f l m T } e pmT F* (p) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T ]e plT |
|
f [kT ]e p ( k m )T |
e pmT |
|
f [kT ]e pkT e pmT F* (p) |
||||||||||
l m |
|
|
f [ |
l m |
|
|
||||||||||||||||||||
D{f |
|
|
T } |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l 0 |
|
k |
l k m |
|
|
|
k m |
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т .к . f [kT ] 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч.т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
T } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D{f |
l m |
|
f [ l m T ]e |
|
f [kT ]e |
|
e |
f [kT ]e |
|
f [kT ]e |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
plT |
p( k m)T |
pkT |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pmT |
|
|
|
|
pkT |
|||
|
|
|
|
|
|
|
l 0 |
|
k l k m |
|
|
k m |
|
|
|
k 0 |
|
|
|
k 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
epmT F* |
(p) epmT f [kT ]e pkT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |