7 сем / Vse_lektsii_TAU
.pdfWк* (p) согласно выражению (1) (т.к. при наличии неточности равенства сокращаемых множителей появляется неустойчивость).
Следовательно, условие грубости требует, чтобы передаточная функция Wк* (p) звена
коррекции не содержала нулей и полюсов, близких к правым полюсам и нулям |
||||||||||||||||||||||||
передаточной функции W * (p) приведенной части системы. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wп* (p) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
А для этого, как следует из (2) |
(W * (p) |
Q* (p) |
|
|
|
Kз* (p) |
|
), необходимо и достаточно, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
P* (p) |
1 |
K* (p) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
||
чтобы |
заданная передаточная функция |
Kз* (p) |
|
содержала |
правые нули полинома |
P* (p) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(т.е. правые нули W * (p) ), а 1 K* (p) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
содержала бы правые нули полинома Q* (p) (т.е. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
п |
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
правые полюсы W * (p) ) (чтобы они сократились. Надо так задавать K* (p) !) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
||
В лабораторной работе W * (p) W * (p) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
п |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4.3. Основные уравнения синтеза. |
|
||||||||||||||||||
Уравнения синтеза должны |
обеспечить |
синтез осуществимого КЗ и |
грубой |
(работоспособной) ИСАУ. Для составления этих уравнений представим числитель P* (p)
и знаменатель |
Q* (p) передаточной функции W* (p) |
P* (p) |
приведенной части системы |
||
|
|||||
|
|
|
п |
Q* (p) |
|
(= неизменяемой части) в виде: |
|
|
|||
P* (p) P* |
(p) P* (p) , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Q* (p) Q* |
(p) Q* (p) , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
где P* (p) и Q* |
(p) – многочлены переменной e pT , содержащие левые («хорошие») корни |
||||
|
|
|
|
|
|
полиномов P* (p) и Q* (p) , |
|
|
|||
P* (p) |
и Q* (p) |
– --//-- правые и нулевые корни полиномов P* (p) и Q* (p) |
|||
|
|
|
|
|
(при наличии запаздывания в приведенной части системы – P* (p) P* (p) P* (p) e ps0T ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Такое разбиение полиномов P* (p) и Q* (p) называется факторизацией. |
|
|
||||
Согласно условиям осуществимости и грубости, задаваемая передаточная функция |
K* (p) |
|||||
|
|
|
|
|
|
з |
синтезируемой системы, а также многочлен 1 K* (p) должны иметь вид: |
|
|
||||
|
|
|
з |
|
|
|
только когда есть запаздывание в привед. части ИСАУ |
|
|
||||
* |
* |
ps T |
|
M * (p) |
|
(4) |
Kз |
(p) P (p) e |
0 |
G* (p) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 K* (p) Q* |
(p) |
N* (p) |
, |
(5) |
||
G* (p) |
||||||
з |
|
|
|
|
||
где M * (p) , N* (p) , и G* (p) – многочлены по e pT |
степеней nM , nN |
и n соответственно, |
||||
которые при синтезе подлежат |
определению. Очевидно, полином G* (p) является |
|||||
знаменателем передаточной функции K* |
(p) . |
|
|
|||
|
з |
|
|
|
|
Сложив правые и левые части выражений (4) и (5), получаем первое полиномиальное уравнение синтеза:
P* (p) M * (p) Q* (p) e ps0T N* (p) G* (p) e ps0T ,
которое позволяет определить неизвестные многочлены M * (p) и N* (p) .
Если наряду с осуществимостью КЗ и грубостью ИСАУ (должны обеспечиваться всегда) требуется улучшить переходный процесс по управляющему воздействию (сигнал U на входе непрерывной части) ( hU [ mT ] ), то задаваемая передаточная функция Kз* (p) должна
содержать весь полином P* (p) , а 1 Kз* (p) – весь полином Q* (p) . При выполнении
этого условия и отсутствии запаздывания в исходной системе (для простоты предполагаем это) имеем второе полиномиальное уравнение синтеза:
P* (p) M * (p) Q* (p) N* (p) G* (p)
Если к ИСАУ предъявляется еще и требование астатизма -го порядка (нулевой ошибки в установившемся режиме), то полином Q* (p) должен содержать в качестве сомножителя двучлен (e pT 1) , где – порядок астатизма:
Q* (p) Q* (p)(e pT 1)
получаем третье полиномиальное уравнение синтеза:
P* (p) M * (p) Q* (p)(e pT 1) N* (p) G* (p)
Все три уравнения синтеза или их комбинации могут служить для синтеза системы с конечной длительностью переходного процесса, если положить G* (p) e pnT (условие получения процесса конечной длительности: знаменатель Kз* (p) состоит только из
одного слагаемого). Для этого случая сформируем четвертое полиномиальное уравнение синтеза:
P* (p) M * (p) Q* (p) N* (p) e pnT ,
7
где n – степень ХУ заданной системы – не должна быть меньше, чем степень ХУ исходной (Wп* (p) Wр* (p) ).
Во всех уравнениях синтеза неизвестными являются коэффициенты полиномов M * (p) и
N* (p) :
* |
(p) m0 |
m1e |
pT |
|
mnM e |
pnM T |
||
M |
|
|
||||||
|
* |
(p) n0 |
n1e |
pT |
|
nnN e |
pnNT |
|
N |
|
|
|
Эти коэффициенты определяются из системы алгебраических уравнений, которую можно составить на основании выбранного уравнения синтеза, приравнивая сумму
коэффициентов правой и левой части его при одинаковых степенях e pT . При этом степени ( nM и nN ) этих многочленов должны выбираться из условия разрешимости
полученной системы алгебраических уравнений и условия физической реализуемости передаточных функций.
Для разрешимости уравнения синтеза нужно, чтобы число получаемых из него уравнений
для определения коэффициентов mi |
и nj |
(этих уравнения на 1 больше степени полинома |
|||||||
* |
ps0T |
, т.е. имеем |
n 1 s |
уравнение) было |
бы не |
больше числа этих |
|||
G (p) e |
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
коэффициентов, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
должно быть |
|
|
||||
|
|
|
n 1 |
|
|
(nM 1) (nN 1) |
|
||
(для простоты считаем, что запаздывания нет; |
|
|
|||||||
(n 1) |
– число неизвестных коэффициентов полинома |
M * (p) |
с учетом свободного |
||||||
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
члена; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1) – --//-- N* (p) --//--) |
|
|
|
|
|
|
|||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n nM nN 1 |
|
|
(6) |
– условие разрешимости четвертого уравнение синтеза:
Из условия осуществимости Kз* (p) для четвёртого уравнения синтеза (в 4-м уравнении
синтеза предполагается, что |
* |
(p) |
P* (p) M * (p) |
(см. (4)), состоящего в том, |
что |
|||
Kз |
|
|
||||||
* |
|
|||||||
|
|
|
|
|
G (p) |
|
|
|
порядок знаменателя |
K* (p) должен быть порядка числителя, имеем: |
|
||||||
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nР nM n |
. |
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
* |
|
|
* |
|
|
|
N* (p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Кроме того, т.к. (см. (5)) |
1 K |
(p) Q |
(p) |
|
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
||||||
G* (p) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
N |
n |
|
|
|
|
|
(8) |
|||
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(Действительно, если K* (p) |
B* (p) |
, то |
1 K* (p) |
A* (p) B* (p) |
|
Q* |
(p) N* (p) |
|||||||||||||
A* (p) |
|
A* (p) |
||||||||||||||||||
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
||||
порядок равен n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив в соотношения (7) и (8) n из (6), получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
нетрудно определить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n n |
|
1; n |
N |
n |
P |
1 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
M |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
допустимые степени многочленов M * (p) и N* (p) .
Для четвёртого уравнения синтеза корректирующее звено имеет передаточную функцию
Wк ( p ) Q* (p) Q* (p)
P* (p)
P* (p) M * (p)
G* (p)N* (p) G* (p)
|
|
Q* |
(p) M * (p) |
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
|
N* (p) |
|
|||
|
|
|
|
|
Пример. Рассмотрим синтез процесса конечной длительности. Задана передаточная функция разомкнутой ИСАУ:
W ( p) |
P ( p) |
|
1,84(e pT 0,718) |
. |
|
|
|||
|
Q ( p) |
(e pT 1)(e pT 0,368) |
Q* (p) Q* (p)
Принимаем показатель степени характеристического уравнения Kз ( p) синтезируемой системы n nQ 2 . Составляем уравнение синтеза на основании четвёртого уравнения:
1,84(e pT 0,718)M ( p) (e pT 1)N ( p) e2 pT .
Используя соотношения (7) |
и (8), задаём nM 0, nN 1 (из (7) -> |
n |
n n |
1 , из |
||
|
|
|
|
M |
Р |
|
(8) -> n |
n |
n 1; |
при этом смотрим, чтобы W * (p) была |
осуществима: в |
||
N |
|
Q |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражении (10) степень числителя не должна превышать степень знаменателя). Тогда M ( p ) m0
N ( p ) n1e pT n0
9
Подставляем многочлены M ( p) и N ( p) в уравнение синтеза, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях e pT и определяем неизвестные коэффициенты
m0,n0 |
и n1: |
|
|
|
|
|
e0 pT |
1,84 0,718m |
|
n |
0; |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
e pT |
1,84m n n 0; |
|
|
|||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
e2 pT |
n 1. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Из данной системы находим: m0 0,316, |
n0 0,418. |
Теперь на основании (10) можно записать передаточную функцию корректирующего звена:
|
Q* (p) M * (p) |
|
0,316( e pT 0,368 ) |
|
|
W ( p ) |
|
|
|
|
. |
|
e pT 0,418 |
||||
к |
N* (p) |
|
|
Оптимальная передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
Kз |
( p ) P ( p ) M |
( p ) |
|
0,582( e pT 0,718 ) |
0,582e pT |
0,582 0,718e 2 pT |
||
|
|
|
||||||
|
опт |
G ( p ) |
|
e2 pT |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражения для Kз |
|
( p) следует, что переходная функция h lT имеет |
||||||
|
|
опт |
|
|
|
|
|
|
конечное время установления, равное 2T nT : |
|
|||||||
h 0 0; |
h T 0,582; |
|
h 2T 1. |
|
||||
(Т.е. переходная функция h lT обращается в 1 за 2 такта.) |
|
10
Лекция № 11 (15 ноября 2021)
Продолжение п. 3.3. Частотные критерии устойчивости.
Было ранее:
В основе частотных критериев устойчивости лежит принцип аргумента. Принцип
аргумента |
позволяет |
|
выяснить, |
|
каким будет |
приращение аргумента |
|||||||||||
характеристического вектора A* j |
исследуемой (замкнутой или разомк.) ИСАУ |
||||||||||||||||
при изменении частоты от 0 до |
0 |
. Его формулировка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2n |
2 |
|
если все |
|
z |
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
arg A* |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
если есть k корней |
z |
1, |
а (n k) : |
z |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 0 |
2(n k) |
2 |
(n k) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерий Найквиста
Этот частотный критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой ИСАУ по виду АФХ разомкнутой ИСАУ Wр* (j ) .
Пусть ККУ разомкнутой ИСАУ имеет вид:
W * (j ) |
B* (j ) |
|
|
||
A* (j ) |
|
||||
р |
|
||||
W * (j ) |
Y* (j ) |
– это коэффициент пропорциональности, показывающий связь |
|||
X * (j ) |
|||||
р |
|
|
между спектрами Y* (j ) и X * (j ) .
Как и для непрерывных систем, рассматривается 3 случая:
а) разомкнутая ИСАУ устойчива; б) разомкнутая ИСАУ неустойчива;
в) разомкнутая ИСАУ находится на границе устойчивости (нейтрально-устойчива).
а) ИСАУ в разомкнутом состоянии устойчива (~ все n корней характеристического уравнения A* (z) 0 расположены внутри единичной окружности)
По аналогии с критерием Найквиста для непрерывных систем сформируем функцию
F* (j ) 1 W* (j )= |
B* (j )+A* (j ) |
|
D* (j ) |
, |
||
A* (j ) |
A* (j ) |
|||||
р |
|
|
|
|||
где A* (j ) |
– характеристический вектор разомкнутой ИСАУ, D* (j ) – |
характеристический вектор замкнутой ИСАУ.
1
Определим, чему должно равняться argF* (j ) |
|
0 |
|
|
при 0 |
, чтобы гарантировать |
|||
2 |
||||
|
|
|
устойчивость замкнутой ИСАУ (в смысле необходимого и достаточного условия).
Из принципа аргумента следует, что приращение аргумента характеристического вектора
разомкнутой ИСАУ при изменении частоты от 0 до 20 равно:
arg A* j n
|
|
|
0 0 |
|
|
2 |
|
|
(т.к. все n корней характеристического уравнения |
|
A* (z) 0 расположены внутри |
единичной окружности на Z-плоскости корней, т.е. все |
z |
1 , 1,n ). |
Если потребовать, чтобы замкнутая система была устойчива, то должно выполняться
arg D* (j ) n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 ) |
||||
(т.к. необходимое и достаточное условие устойчивости ИСАУ – все корни ХУ: |
z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Тогда приращение аргумента функции F* (j ) при 0 |
равняется: |
|
|||||||||
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg F * (j ) arg D* (j ) arg A* j n n 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что для устойчивости замкнутой ИСАУ необходимо и достаточно, чтобы
приращение аргумента вектора F |
* |
(j ) при изменении частоты от 0 до |
0 |
равнялось |
2
нулю.
Рассмотрим плоскость F:
Суммарный поворот вокруг начала координат конца вектора |
F* (j ) |
при изменении |
|||
|
|
|
1 |
|
|
частоты от 0 до |
0 |
|
* |
(j ) равен 2 . |
|
2 |
равен нулю. Суммарный поворот конца вектора F2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Для устойчивости замкнутой ИСАУ годограф F* (j ) не должен охватывать начало
координат (точку (0, j0) ).
Поскольку F* (j ) 1 Wр* (j ) , то годограф разомкнутой ИСАУ получается смещением годографа F* (j ) на единицу влево:
Следовательно, формулировка критерия Найквиста для случая устойчивой разомкнутой ИСАУ такова:
Если разомкнутая ИСАУ устойчива, то для устойчивости замкнутой ИСАУ необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала точку ( 1, j0) .
б) Разомкнутая ИСАУ неустойчива (~ ее характеристическое уравнение A* (z) 0 имеет k
корней: |
|
z |
|
1 , остальные (n k ) корней: |
|
z |
|
1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
Определим, чему должно равняться argF* (j ) при 0 |
, чтобы замкнутая ИСАУ |
||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
была устойчива. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
arg F* (j ) arg D* (j ) arg A* j |
n |
(n k ) k 2 |
k |
|
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
требуем |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
по принципу |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
аргумента |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для |
|
устойчивости замкнутой ИСАУ годограф |
|
F* (j ) |
|
должен охватывать начало |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координат k раз в положительном направлении.
2
переходим к Wр* (j ) смещением годографа F* (j ) на единицу влево.
Критерий Найквиста для случая неустойчивой разомкнутой ИСАУ такова:
3
Для того чтобы замкнутая ИСАУ была устойчива, если она неустойчива в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала точку
( 1, j0) |
k |
раз в положительном направлении (против часовой стрелки), |
где k – число |
||||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
корней ХУ, лежащих вне окружности единичного радиуса. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 (остальные корни: |
||||||
Пример. |
Пусть ХУ разомкнутой системы имеет k 2 корня: |
z |
|||||||||
|
z |
|
1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
замкнутая ИСАУ устойчива, т.к. АФХ разомкнутой |
||||||
|
|
|
|
|
системы охватывает точку |
( 1, j0) |
1 раз (= |
k |
) в |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
положительном направлении
2)
замкнутая ИСАУ неустойчива, т.к. АФХ разомкнутой системы охватывает точку ( 1, j0) в отрицательном направлении
в) Разомкнутая ИСАУ нейтрально-устойчива (т.е. ее |
ХУ A* (z) 0 |
имеет ν корней, |
|
|
|
|
Rep 0 ) (пусть |
расположенных на единичной окружности / A* (p) 0 |
имеет ν корней |
||
|
|
|
i |
для простоты они вещественны, т.е. pi 0 ). |
|
|
|
В этом случае ККУ разомкнутой системы имеет вид: |
|
|
Wр* (j ) |
|
B* (j ) |
|
|
|
|
(e j T -1) (e j T - e p1T ) |
(e j T - e pn T ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Амплитудно-фазовая характеристика W * (j ) |
при малых начинается в бесконечности, |
||||
|
|
|
р |
|
|
поэтому |
неясно, охватывает |
ли она точку ( 1, j0) |
или нет воспользоваться |
приведенными в п. а) и б) формулировками критерия Найквиста нельзя. В рассматриваемом случае нулевые корни искусственно сдвигают в левую (правую) полуплоскость на малую величину, что позволяет получить устойчивую (неустойчивую) разомкнутую систему и применить критерий Найквиста для устойчивой (неустойчивой) разомкнутой системы.
Так, в случае сдвига влево будем иметь:
Wр* (j ) |
B* (j ) |
, где 0 , 0 |
|
(e j T -1 ) A* (j ) |
|||
|
|
||
|
1 |
|
4
Например, для ν = 1:
Годографы Wр* (j )
Wр* (j ) |
1 |
|
|
|
B* (j ) |
|||
|
|
e j T -1 |
|
* |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
( |
|
|
|
1) |
A (j ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и Wр* (j ) близки на высоких частотах и отличаются на низких: у
годографа Wр* (j ) имеется дуга бесконечно большого радиуса, начинающаяся при 0 на действительной положительной полуоси и с увеличением частоты описывающая угол
|
|
(по часовой стрелке) вокруг начала координат. Данная дуга называется |
2 |
«дополнением в бесконечности».
Формулировка критерия устойчивости Найквиста для данного случая следующая:
Если разомкнутая ИСАУ нейтральна, то для того чтобы замкнутая ИСАУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой ИСАУ с «дополнением в бесконечности» не охватывала точку ( 1, j0) .
Следствие из критерия Найквиста.
В сложных случаях, когда неясно, охватывает ли АФХ Wр* (j ) точку ( 1, j0) , удобно пользоваться еще одной формулировкой критерия Найквиста.
Если АФХ Wр* (j ) охватывает точку ( 1, j0) , то она пересекает луч действительной оси ( , 1) . Будем считать такой переход положительным, если при возрастании частоты АФХ пересекает луч ( , 1) сверху вниз и отрицательным – если снизу вверх.
5