Добавил:

Vor_fleshek Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Теория автоматического управления

Файл:

7 сем / Vse_lektsii_TAU

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.01.2024

Размер:

13.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

30. Смещение в области изображений.

Если решетчатая функция f lT имеет изображение

F* (p) , то справедливо равенство

F* (p ) D{e lT f lT }

(Для доказательства достаточно найти D-преобразование в правой части равенства и

учесть свойства 20).

40. Теорема о свертке [решетчатых функций] во временной области.

Изображение свертки двух решетчатых функций f1 lT

f2 lT равно произведению D-

преобразований этих функций:

D{ f1 ( l m)T f2 mT } F1* (p) F2* (p)

m 0

, т.к. при m l f1 ( l m)T 0 ),

(иногда пишут

m 0

f1 lT

и f2 lT

где

f1 ( l m)T f2

mT – свертка двух РФ

m 0

f1 ( t ) f2 ( )d – интеграл свертки (напр., позволяет определить сигнал на выходе

звена: y( t ) w( )x( t )d )

Доказательство:

f1[0]f2[0]+e pT f1[0]f2[T ] f1[T ]f2[0]

F1* (p) F2* (p)= f1[lT ]e plT f2[mT ]e pmT e0

l 0

m 0

2 pT

f1[0]f2[2T ]

f1[T ]f2[T ]+f1[2T ]f2[0]

plT

f1 ( l m)T

f2 mT D{ }

l 0

m 0

ч.т.д.

50. Изображение разностей.

Первая разность (или [прямая] разность 1-го порядка) решетчатой функции равна

f lT		f (l 1)T		f lT

Применяем D-преобразование и на основании теоремы о сдвиге во временной области и свойства линейности получаем:

epT

f lT

F* (p) f [0]

F* (p)

epT 1

F* (p) epT f [0]

60. Изображение суммы РФ-ии.

n 1

Определим сумму решетчатой функции в виде суммы её ординат: f l T

l 0

	*	(p)
D{ f l T } F
n 1
l 0	e pT 1


– суммированию в области оригиналов соответствует деление на					e pT 1		в области
изображений.
Доказательство:
Составим первую разность суммы РФ-ии:
n 1	n	n 1		lT 0		при l 0 )
f l T f		l T f l T f nT	(предполагается, что f	lT 0		при l 0 )
l 0	l 1	l 0

Согласно свойству 50 изображение этой разности равняется

l 0		l 0		при f [0] 0			epT
n 1		n 1		при f [0] 0
D f l T		epT 1 D f l T epT f [0]		=
с другой стороны, оно равно D f nT F* (p) .
	l 0
	n 1
Т.о., epT 1 D f l T F* (p)
			n 1	*
			n 1		F (p)
Из последнего выражения следует , что D{ f l T }					F (p)
Из последнего выражения следует , что D{ f l T }
			l 0		e pT	1

n 1

1 D f l T ,

l 0

ч.т.д.

70. Предельные значения решетчатых функций.

lim	f l T lim	e pT 1	F* (p)= lim e pT 1 F* (p)
lim	f l T lim	e pT	F* (p)= lim e pT 1 F* (p)
l	p 0	e pT	p 0
( lT )

Начальное значение решетчатой функции определяется соотношением

f	0	lim	e pT 1	F* (p)= lim 1 e pT	F* (p)
			e pT
		p		p

80. Сумма ординат решетчатой функции.

f l T F* (0)

–сумма ординат решетчатой функции во всем диапазоне существования равна начальному значению функции дискретного преобразования Лапласа.

(для доказательства в	соотношении (2)		для дискретного преобразования	Лапласа (

X * (p)= x lT e plT )	нужно положить		p 0 . Это можно сделать, если	абсцисса

l 0
сходимости f l T отрицательна: 0 0 .)
90. Формула обратного преобразования.
а) Если дискретное изображение		F* (p)	представляет собой дробно-рациональную
функцию, знаменатель которой		имеет	простые и действительные корни p , то

существует достаточно простая формула для определения оригинала – временной решетчатой функции f l T :

(p )

f l T D1{F* (p)}

ep (l 1)T

(5)

A (p )

где F* (p)

B* (p)

A* (p)

A* (epT ) , n – степень полинома A* (p) .

A (p)

(Для кратных корней формула имеет более сложный вид.)

Пример.

Найти решетчатую функцию f l T , если ее изображение имеет вид:

1 e T T1

e pT

F* (p)

B (p)

T T

A* (p)

1 e

Решение:

Знаменатель F* (p)

имеет корни: p 0

, p

T T

производная по e

от A (p) :

A (p) e

Отсюда на основании формулы (5) имеем:

1 e

T1 e

e (l 1)

f lT

1 e

T1 1

б) Формула обратного дискретного преобразования Лапласа (обратного D-

преобразования) в общем виде:

c j

f l T D1{F* (p)}

F* (p)ep l T dp

2 j

c j

где c – координата прямой, параллельной мнимой оси, относительно которой все особые

точки F* (p) лежат левее; значение		c больше значения абсциссы сходимости						0	.
								0
F* (p) представляет собой периодическую функцию с периодом							j .
							0
Действительно,
	lT e p jk 0
F* (p jk )= f	lT e p jk 0	lT f lT e plT e jk 2 l F* (p)
0		l 0
l 0		l 0
						1
Следовательно, изображение F* (p) решетчатой функции полностью определяется
				,
своими значениями в основной полосе			0	,	0	.
			2		2
									4

Если изображение F (p) имеет полюсы

в основной полосе

, то

(p)

будет иметь соответствующие полюсы pk jm 0 ( m ) во всех полосах

(это следует из определения F (p)

F (p j 0l)

f 0

2 l

Свойства D -преобразования:

1) Линейность:

	k	k
D{ C F (p)} C F* (p)

	1	1

где C – произвольные const.

2) D -преобразование произведения двух изображений

D{F1 (p)F2* (p)} D{F1 (p)}F2* (p) F1* (p)F2* (p)

т.е. преобразование произведения изображений непрерывной и решетчатой функций равно произведению изображений решетчатых функций.

D{F1 (p)F2 (p)} F1 (p)F2 (p) * F* (p)

3) Умножение преобразуемой функции на экспоненту:

D{e psT F (p)} D{e psT }F* (p) e psT F* (p)

где s – целое число.

Как следует из данного соотношения, экспонента, степень которой содержит оператор p и множитель в виде периода квантования, умноженного на целое число, может быть вынесена за знак преобразования.

Множители вида e pT , e 2 pT , 1 e pT , ... выносятся за знак D -преобразования

4) Использование таблиц.

При решении практических задач для нахождения D - преобразования функции F (p) можно воспользоваться таблицами. Если F (p) имеет сложный вид, то ее следует разложить на простые дроби, а затем использовать таблицы.

Пример (для подготовки к л.р. № 2 и контрольной работе).

Дана структурная схема замкнутой ИСАУ:

Выражение для передаточной функции приведенной непрерывной части имеет вид:

Wп (p)=Wф (p) Wн (p)=

1 e pT

1 pT1

Найти Wр* (p)

(дискретную

передаточную функцию разомкнутой ИСАУ)

и Wз* (p)

(дискретную передаточную функцию замкнутой ИСАУ).

Решение:

будет

1 e pT

вынос.множ.

(p)

W* (p) D{W (p)}=D{

}

(1 e pT ) K D{

пок но

1 pT

( 1 e pT )и

const

1 pT

представили

p 1 pT1

в _ виде _ прост _ дробей

Находим неизвестные A и B:

А 1 pT1 Вp

АT1 В p А

1 pT

p 1 pT

1 pT

p 1 pT

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

p в левой и правой частях

(в числителях):

при p1 : 0 АT В

находим

А 1

при p0 : 1 А

В T

по _ табл.

(1 e pT )

K (1 e pT )D

{

} =

см _ ниже

epT		вынос.
epT		вынос.

	T
	T	e pT
epT e	T1

K (e pT 1)

epT e

T1 epT 1

1 e T1

(

B* (p)

)

A* (p)

e pT e

По таблицам D -преобразований:

F (p)=

F* (p)=

e pT

e pT 1

e pT

e pT e T

1 e T1

W * (p)=

K* (p)

Wр (p)

B (p)

1 Wр* (p) A* (p)+B* (p)

так _ принято _ обоз ть

e pT e T1 K

Если W (p)

содержит в знаменателе p2 , то при разложении ее на простые дроби

будет, например, следующее:

p2 1 pT

1 pT

Лекция № 5 (4 октября 2021)

2.3. Описание ИСАУ в области изображений. Дискретная передаточная функция.

Рассмотрим описание импульсной системы в области изображений на примере типовой структуры:

g(t)	x(t)	x* (t)	u(t)	y(t)
			WФ(p)	WН(p)

Для всех сигналов, действующих в системе, можно получить изображение по Лапласу (непрерывное или дискретное).

Описание замкнутой ИСАУ в области изображений:

Y (p) W (p) X * (p)

п (*)

X (p) G(p) Y (p)

Данная система уравнений содержит одновременно изображения непрерывных и дискретных сигналов (т.е. она неоднородна) → нельзя разрешить ее относительно одного из изображений. Для того чтобы избавиться от этой трудности, подвергнем эту систему D преобразованию:

По свойству 2) D -преобразования:

преобразование произведения изображений непрерывной и решетчатой функций равно произведению изображений решетчатых функций: D{F1 (p)F2* (p)} F1* (p)F2* (p)

Y* (p) W* (p) X * (p)
	п			(**)
X * (p) G* (p) Y* (p)				(**)
X * (p) G* (p) Y* (p)


Формальная математическая	операция	D	-преобразования означает, что при описании

системы используются только дискретные значения непрерывных сигналов g(t) и y(t) .

Теоретически это соответствует наличию ИИЭ на входе и выходе системы (показаны на рисунке пунктиром):

По системе (**) можно определить дискретные1 передаточные функции:

Опр. Дискретная передаточная функция замкнутой ИСАУ – это отношение изображения дискретного выходного сигнала Y* (p) к изображению дискретного входного сигнала G* (p) при нулевых начальных условиях:

W* (p)=	Y* (p)			W* (p)
				п	– дискретная передаточная функция замкнутой ИСАУ
	G* (p)			W* (p)	– дискретная передаточная функция замкнутой ИСАУ
з	G* (p)	ННУ	1	W* (p)
				п
					(часто обозначается как K* (p) )

Из (**) Y * (p) Wп* (p) (G* (p) Y * (p))

Y* (p) 1 Wп* (p) Wп* (p) G* (p)

Дискретная передаточная функция разомкнутой ИСАУ (которая состоит только из ИИЭ и ПНЧ):

Y* (p)

W * (p)=

W * (p)=D

{W (p)}=D{W (p) W (p)}

G (p)

ННУ

нет ОС

P* (p)

– в общем случае это дробь

, где P (p)

и Q (p) – многочлены e

Q* (p)

Дискретная передаточная ошибки по задающему воздействию:


W * (p)=	X * (p)			1
W * (p)=	G* (p)			W* (p)
x	G* (p)	ННУ	1	W* (p)
				п

Если ИСАУ имеет более сложную структуру, то для получения передаточных функций W * (p) используются правила структурных преобразований (те же, что и для непрерывных систем).

Т.о., в отличие от непрерывных систем, для которых передаточные функции составляются непосредственно по уравнениям элементов, в ИСАУ дискретные передаточные функции определяются по передаточным функциям непрерывной части или по временным характеристикам.

Способы нахождения W * (p)

Для определенности рассмотрим нахождение дискретной передаточной функции

разомкнутой ИСАУ.
I способ:
						, где T 2
	Wр* (p)=D{Wп (p)} 1		Wп (p j 0l)		wп (0)	, где T 2
						0
		Т l		2		0
				если wп (0) 0

1 Слово «дискретный» далее иногда будем опускать
						2

wп (0)=0 , если степень числителя Wн (p) меньше степени знаменателя и импульс s(t)

на входе непрерывной части ИСАУ конечной высоты (оба условия практически всегда имеют место).

II способ:

L 1		t lT	D
W (p) w (t) w [ lT ] W * (p)
п	п	п	р


W* (p)= w [ lT ]e plT
р	0	п
l	0
III способ:
Если W (p) представляет собой дробно-рациональную функцию: W (p)					B(p)	, то
						, то
н				н	A(p)
					A(p)
			A(p) 0
1) в случае, когда ХУ			A(p) 0	имеет простые действительные корни pi , i 1,n			, среди

которых нет нулевого, и

а) на выходе импульсного элемента имеет место сигнал типа δ-функции ( Wф (p)=1), можно воспользоваться формулой разложения:

	n	B(p )	epT
W * (p)		i		,	(4)
W * (p)			epT epiT	,	(4)
р	i 1	A(p )	epT epiT
		i

где A(p ) dA		p pi
i	dp

б) на выходе импульсного элемента – прямоугольные импульсы ( W (p)=1 e pT

B(pi )

piT

W* (p)

epT epiT

i 1

p A(p )

Легко запомнить, т.к.

1 e pT

epT

pepT

2) в случае, когда один из полюсов Wн (p) равен нулю ( A(p) pA1 (p) ) и

а) Wф (p)=1 ,

W * (p) B(0)

B(pi )

A (0)

epT 1

i 2

p A (p )

epT epiT

i 1 i

см. (4): A(p) pA1 (p)+pA1 (p)

=A1 (0) , A(pi 0) pi A1 (pi )

A(p1

0) pA1 (p)

p 0

Wп (p)

б) W (p)=1 e pT

W * (p) T

B(0)

B(pi )

piT

A(0)

epT 1

i 2

p A(p )

epT epiT

i i

IV способ:

представляют в виде суммы простых дробей (если она дробно-рациональная)

находят Wр* (p) по таблицам, где представлены соотношения между W * (p) и W (p) (см. пример на предыдущей лекции).

Дискретная передаточная функция является периодической функцией вдоль мнимой оси

комплексной плоскости Р с периодом				j 0 :
W* (p jk )=		w lT e p jk 0 lT		w lT e plT	e j 2	kl W* (p)
0
	l 0		l 0
					1

Полоса	0	Im p	0	называется основной.
	2		2

Задание W * (p) в основной полосе в силу ее периодичности полностью определяет W * (p).

Полюсы и нули дискретной передаточной функции, лежащие в основной полосе, называют основными.

Если полюсы p1 ,			..., pn	передаточной функции непрерывной части системы таковы, что
0	Im p	0	(т.е.	лежат в основной полосе), то они совпадают с основными
2		2
2		2

полюсами Wр* (p) .

2.4. Описание ИСАУ во временной области. Определение значений временных сигналов.

Пусть имеется импульсная система, заданная структурной схемой:

Т.к. сигнал на выходе линейного звена с известной весовой функцией определяется на основании интеграла свертки


	y( t ) w( )x( t )d ,
	0
можно получить описание замкнутой ИСАУ:


y( t ) wп ( t )x*		( )d		(*)
	0			(*)
	0

x( t ) g( t ) y( t )
Подставим в первое уравнение системы (*)			выражение для сигнала на выходе ИИЭ

( x* (t)=x(t) (t sT ) ), поменяв порядок операций интегрирования и суммирования: s 0

y( t ) wп ( t )x( ) ( sT )d

s 0 0

	теорема :
=	теорема :

	(t) (t )dt ( )	wп ( t sT )x[sT ]
	(t) (t )dt ( )	s 0

0непрер .функ .

–формула свертки для дискретных сигналов.

По (**) находим y( t ) в дискретные моменты времени t lT , l 0,1,2... :

	l
y[lT ] w (l s)T x[sT ]
	п
	s 0
x[lT ] g[lT ] y[lT ]
– описание замкнутой ИСАУ во временной области.
(Пишем, что верхний предел сумы равен l , а не , т.к. при s l		wп (l s)T 0 )

(**)

(***)

Применяя к уравнениям (***) D -преобразование, получим описание ИСАУ в области изображений:

(p) Wп

(p) X

(p)

W* (p)=

G* (p)

W* (p)

(p)

ННУ

G (p)

Использование дискретных значений непрерывных сигналов g(t) и y(t) эквивалентно тому, что мы ставим ИИЭ на входе и выходе системы (показаны на рисунке пунктиром):

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 7 сем

#
26.01.202413.15 Mб0Vse_lektsii_TAU.pdf
#
26.01.202470.66 Кб1Вопросы к экзамену по ТАУ2 (2023).doc