6 сем / ТАУ_ТР_А-01-20_Дашин
.pdf
2.5. Самостоятельно проведём исследование автоколебаний в системе приближённым амплитудно-частотным методом (методом Гольдфарба).
В соответствии с методом Гольдфарба пересечение амплитуднофазовой характеристики линейной части модели лч( ) и инверсной характеристики эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента − ( ) свидетельствует о наличии решения уравнения автоколебаний:
лч( ) = − ( )
Полученная выше модель Гаммерштейна исходной системы представлена на рис. 23, а передаточные функции её звеньев – соотношениями:
Рис.23. Структурная схема исходной системы, приведённая к виду модели Гаммерштейна
12( ) = 1( ) 2 |
( ) = |
1 2 |
= |
15 |
|
2 + + |
2 + 1 + 0.64 |
||||
|
|
|
̃30( ) = 1 + 0 = 1 + 0.2
В соответствии с номером задания и методическими указаниями найдём эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента.
Для нелинейного элемента НЭ 3:
нэ( ) = ( ) + ( ), где ( ) = 4 2 (√2 − 2) = 202 (√2 − 52)
4 100( ) = − 2 = − 2
Инверсная характеристика комплексного коэффициента нелинейного элемента имеет вид:
−1 −( ) = нэ( )
−1 = ( ) + ( )
Определим комплексный коэффициент усиления линейной части системы с учётом отрицательной обратной связи:
лч( ) = 1( ) 2( )[−3( ) + 1] |
|
|
||
= 1 |
2 |
(−0 |
+ 1) = |
−3 + 15 |
( )2 + ( ) + |
( )2 + + 0.64 |
|||
Для построения АФХ линейной части системы и инверсной характеристики эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента самостоятельно воспользуемся
ППП Mathcad. После задания выражений линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента в рабочем поле Mathcad добавим объект «график X-Y», с помощью которого отобразим на комплексной плоскости АФХ линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента.
Перед объектом «график Х-У» укажем требуемый диапазон значений и шаг расчётов для частоты и амплитуды А.
Рис.24. АФХ лч( ) и [-z(A)] для п. 5 а) задания
Видим, что имеется пересечение двух характеристик – это свидетельствует о наличии автоколебаний.
Для определения параметров автоколебаний отсчитаем значения параметров и А на соответствующих характеристиках в точке их пересечения:
Рис.25. Определение параметров автоколебаний для п. 5 а) задания
Видно, что точка пересечения двух характеристик соответствует амплитуде колебаний А = 29 и частоте = 1.9 Гц, откуда период автоколебаний получается равным Т = 3.3 c. Поскольку при пересечении характеристика [− ( )] выходит из области, ограниченной лч( ), то автоколебания являются устойчивыми.
Рассмотрим следующий случай задания – п. 5 б): система с параметрами п. 3 при = = 0.26
В этом случае изменяется только параметр с = 5.9 нелинейного элемента. Найдём эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента:
нэ( ) = ( ) + ( ),
где ( ) = 2 2 (√ 2 − 2 + √ 2 − 2) = 102 (√ 2 − 8 + √ 2 − 5.92)
( ) = − |
2 ( − ) |
= − |
21 |
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|||
Инверсная характеристика комплексного коэффициента нелинейного элемента имеет вид:
−1 − ( ) = нэ( )
−1 = ( ) + ( )
АФХ линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента будет иметь вид:
Рис.26. АФХ лч( ) и [-z(A)] для п. 5 б) задания
Видим, что имеется пересечение двух характеристик, что свидетельствует о наличии автоколебаний.
Для определения параметров автоколебаний отсчитаем значения параметров и А на соответствующих характеристиках в точке их пересечения:
Рис.27. Определение параметров автоколебаний для п. 5 б) задания
Видно, что точка пересечения двух характеристик соответствует амплитуде колебаний А = 7.9 и частоте = 2.1 Гц, откуда период автоколебаний получается равным Т = 2.99 c. Поскольку при пересечении характеристика [− ( )] входит в область, ограниченную лч( ), то автоколебания являются неустойчивыми.
Рассмотрим последний случай задания – п. 5 в): система с параметрами п. 4 при 5 1 = 15, 2 = 0.52.
В этом случае изменяется параметр с = 3.84 нелинейного элемента и передаточная функция линейной части модели.
Найдём эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента:
нэ( ) = ( ) + ( ),
где ( ) = 2 2 (√ 2 − 2 + √ 2 − 2) = 202 (√ 2 − 82 + √ 2 − 3.842)
( ) = − |
2 ( − ) |
= − |
41.6 |
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|||
Инверсная характеристика комплексного коэффициента нелинейного элемента имеет вид:
−1 −( ) = нэ( )
−1 = ( ) + ( )
Определим комплексный коэффициент усиления линейной части системы:
|
( ) = |
− 51 2 0 + 51 2 |
= |
−15 + 75 |
|
|
|||
лч |
|
( )2 + ( ) + |
( )2 + + 0.64 |
|
|
|
|||
АФХ линейной части модели и инверсной характеристики комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента будет иметь вид:
Рис.28. АФХ лч( ) и [-z(A)] для п. 5 в) задания
Видим, что имеется пересечение двух характеристик, что свидетельствует о наличии автоколебаний. Согласно критерию Гольдфарба, они являются устойчивыми.
Для определения параметров автоколебаний отсчитаем значения параметров и А на соответствующих характеристиках в точке их пересечения:
Рис.29. Определение параметров автоколебаний для п. 5 в) задания
Видно, что точка пересечения двух характеристик соответствует амплитуде колебаний А = 100 и частоте = 2.4 Гц, откуда период автоколебаний получается равным Т = 2.61 c. Поскольку при пересечении характеристика [− ( )] выходит из области, ограниченной лч( ), то автоколебания являются устойчивыми.