6 сем / Метод_указания_к_расч_заданию-2023 (1)

Для задания в MATLAB/Simulink нелинейного элемента НЭ 1 (рис. 1.2 а) необходимо воспользоваться блоком «Relay». На рисунке 3.4 показан пример задания параметров этого нелинейного элемента, где параметр B 6.

Рис. 3.4. Реализации НЭ 1

Для задания нелинейного элемента НЭ 2 необходимо использовать подсистему, реализующую модель этого элемента, вида (рис. 3.5):

Рис. 3.5. Модель нелинейного элемента НЭ 2

11

Пример задания параметров модели отображен на рис. 3.6, где принято c 4 , B 6.

Рис.3.6. Задание параметров нелинейного элемента НЭ 2

Для задания нелинейного элемента вида НЭ 4 необходимо использовать подсистему, реализующую модель этого элемента, схема которой идентична рис. 3.5. Пример задания параметров модели представлен на рис. 3.7, где принято c 2 , h 4, B 6.

Рис. 3.7. Задание параметров нелинейного элемента НЭ 4

12

На рисунке 3.8 изображена модель системы вида рис. 3.2 в среде

MATLAB/Simulink для T0 1. В общем случае при T0 1 сигнал x T0 x с выхода блока «W3v» следует подавать на вход блоков «To

workspace 1» и «X X’ Graph1» через блок усиления с коэффициентом

K 0 1T0 .

Рис. 3.8. Модель нелинейной системы в MATLAB/Simulink

При построении модели нелинейной системы использованы следующие блоки:

«NE» – блок подсистемы, задающей нелинейный элемент; «W1» – блок усиления, реализующий звено W1 ( p ) ;

«X X’ Graph1» – блок для построения фазового портрета;

«To workspace 1», «To workspace» – блоки, позволяющие переда-

вать и хранить в переменных значения точек v и x соответственно для построения фазового портрета в рабочем пространстве MATLAB (для этих блоков в свойстве «Save format» следует указать «Array»);

«Scope x(t)» – блок для построения графика процесса x(t ).

Для отображения масштабной сетки на фазовом портрете необходимо провести реализацию модели системы, после чего в командном окне MATLAB ввести следующую программу:

plot(x,v,'b-'); grid on;

13

Для отображения нескольких фазовых траекторий на фазовом портрете необходимо получить несколько реализаций, при каждой из которых в блоках «To workspace», «To workspace 1» задавать имена переменных как: x1, v1 – для первой реализации, x2, v2 – для второй реализации и т.д. После чего в командном окне MATLAB следует ввести следующую программу (на примере трех реализаций):

plot(x1,v1,'b-',x2,v2,'b-',x3,v3,'b-'); grid on;

Примечание. Поскольку количественные результаты исследований в настоящем расчетном задании не зависят от масштаба представления производной на фазовом портрете, то возможно его построение в координатах ( x , x T0 x ).

3. Для исследования влияния ширины петли гистерезиса нелинейного элемента необходимо использовать НЭ типа 4. Если вариантом расчета задан НЭ другого типа, то необходимо заменить его на НЭ 4, при этом параметр B остается таким же, а недостающие h и/или с нужно взять из ближайшего по номеру варианта задания с нелинейным элементом вида 4, при котором соблюдается h c .

Относительная величина ширины петли гистерезиса рассчитывается как λ h h c . Для нахождения λmin при заданных начальных услови-

ях необходимо зафиксировать значение параметра h , после чего увеличивать величину параметра c .

4. Для нахождения значения параметра c для случая увеличения значение λ в 2 раза относительно λmin следует воспользоваться форму-

лой c h 1 2 min . Начальные условия системы следует оставить таки-

ми же, как и в п. 3 расчета.

5. Если привести исходную структурную схему к виду модели Гаммерштейна (рис. 3.9), то легко выделяются линейная и нелинейная части системы.

Рис. 3.9. Структурная схема исходной системы, приведенная к виду модели Гаммерштейна

14

Можно обозначить передаточную функцию линейной части как

Wлч (p ) W12 (p )W30 (p ) , а эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента как Wнэ (A) a (A) jb(A) .

Тогда уравнение автоколебаний имеет вид:

Wлч (j )Wнэ (A) 1,

колебаний запишется в виде:

Wлч (jω) z (A) .

Решения этого уравнения можно получить графически как значения параметров ω АФХ линейной части и A характеристики z(A) в точках пересечения годографов (рис. 3.10):

-z(A) Wлч(jω)

Рис. 3.10. Решения уравнения автоколебаний

Критерий Гольдфарба определения устойчивости автоколебаний гласит, что если в точке пересечения годографов инверсная характеристика нелинейного элемента при увеличении амплитуды A выходит из области, ограниченной АФХ линейной части, то автоколебания, описываемые данным решением, являются устойчивыми, что соответствует точке (A2 ,ω1) .

Если в точке пересечения годографов инверсная характеристика нелинейного элемента при увеличении амплитуды входит и область, ограниченную АФХ линейной части, то автоколебания, описываемые данным решением, являются неустойчивыми, что соответствует точке (A1 ,ω2 ) .

15

Если годографы линейной части и нелинейного элемента не пересекаются, то в системе автоколебания отсутствуют.

Эквивалентный комплексный коэффициент усиления нелинейного элемента имеет вид: Wнэ (A) a (A) jb(A) , где

Для НЭ 1–4 (рис. 1.2 а–г) выражения для a (A) и b(A) будут иметь

следующий вид.

Нелинейный элемент НЭ 1: a (A) 4πBA ;

b(A) 0 .

Нелинейный элемент НЭ 2:

b(A) 0 .

Нелинейный элемент НЭ 3:

b(A) 4πBAc2 .

Нелинейный элемент НЭ 4:

плоскости рекомендуется использовать ППП PTC Mathcad. Для этого в рабочем поле Mathcad необходимо последовательно задать следующие

выражения (рассмотрен НЭ 4 и значения параметров указаны в качестве примера):

16

Ниже, после этих выражений, нужно задать диапазон и шаг расчета частоты ω и амплитуды A (числа указаны для примера):

ω :=0.02, 0.03..1000 А := 5.1, 5.2..60

Заданные выражения означают, что построение АФХ линейной ча-

сти производится для значений параметра ω, начиная от 0,02 и до 1000 с шагом (0,03 – 0,02 = 0,01). Для годографа z (A) аналогично: построение производится при изменении параметра A от 5,1 до 60 с шагом 0,1.

Ниже следует добавить объект «график X-Y», для которого по оси

ординат задать мнимые значения функций Wлч (jω) и z (A) , а по оси

абсцисс – действительные, после чего подобрать масштаб графика. Таким образом будут получены годографы Wлч (jω) и z (A) (рис. 3.11).

Как видно из рис. 3.11, мнимая составляющая выделяется с помощью стандартной функции Im({выражение с комплексными числами}), а

действительная – с помощью функции Re({выражение с комплексными

числами }).

Значения амплитуды A и частоты ω автоколебаний системы можно получить путем подбора конечной точки расчетов, задаваемых перед объектом «график X-Y».

6. Результат исследования следует представить в форме сравни-

тельной таблицы значений амплитуды и периода автоколебаний по каждому методу для всех случаев.

17

4. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ

Задана структурная схема нелинейной системы (рис. 1.1) и нелинейный элемент типа 4 (рис. 1.2 г). Параметры системы и нелинейного элемента:

K1 2; K2 16; T0 2 cек; B 5; h 5; c 2; a 8; b 16.

Выполнение задания.

1. Проведем структурные преобразования исходной схемы (рис. 1.1): а) объединим передаточные звенья W1(p) и W2(p) в звено W12(p). По-

скольку они соединены последовательно, то их передаточные функции перемножаются:

б) ветвь со звеном W3(p) и единичную обратную связь объединим в эквивалентное звено W30(p) в соответствии с правилом параллельного

соединения:

Врезультатеполучим структурнуюсхему,представленнуюнарис.4.1:

Рис. 4.1. Приведенная структурная схема нелинейной системы

В соответствии с (4.1), (4.2) запишем связь между переменными в операторной форме.

19

Перейдем от операторной формы записи дифференциальных уравнений (4.1) и (4.2) к естественной форме с независимым аргументом t .

Подставляя в (4.3) и (4.4) заданные значения параметров и переходя от изображений к оригиналам, получим дифференциальные уравнения следующего вида:

полностью описывают динамику системы.

Подставим выражение (4.7) для z(t ) и (4.6) для y(t ) в (4.5):

В результате получаются три типа дифференциальных уравнений с одинаковыми левыми частями и отличающихся значениями постоянных функций в правой части (160; 0; -160). Отсюда следует, что на фазовой плоскости будут иметь место траектории трех типов. Неравенства указывают, в какой области фазовой плоскости справедливы решения (интегральные кривые) того или иного уравнения.

В качестве координат фазовой плоскости примем переменные (x, v x ). Тогда система (4.8) представится через фазовые переменные следующим образом:

20