6 сем / Метод_указания_к_расч_заданию-2023 (1)

Из неравенств (4.9) могут быть найдены полупрямые, являющиеся границами областей с различными типами фазовых траекторий:

Определим первый тип фазовых траекторий. Для этого подставим значение z 5 в уравнение (4.5) и запишем последнее в следующем виде:

Для определения характера фазовых траекторий воспользуемся справочным материалом (рис. 3.1). Представив уравнение (4.13) в виде:

портрет уравнения (4.11) будет отличаться от портрета (4.13) смещением всей картины по оси x на величину (+10).

Второй тип фазовых траекторий соответствует дифференциальному уравнению (4.5) при z 0:

Сопоставляя (4.15) и (4.14), очевидно, что ω0 4 , d 1 и фазовые траектории имеют вид, представленный на рис. 3.1 б).

21

Третий тип фазовых траекторий при z 5 отображается по аналогии с первым. Отличие заключается в смещении начала координат фазового портрета вида рис. 3.1 б) по оси x на величину, равную (-10).

Результат качественного построения фазового портрета нелинейной системы представлен на рис. 4.2. Из него следует, что точка v x 0 соответствует устойчивому положению равновесия.

Рис. 4.2. Качественный фазовый портрет нелинейной системы

2. Зададим модель системы рис. 1.1 в ППП MATLAB/Simulink с реализацией моделей звеньев в пространстве состояний. Преобразуем исходную структурную схему к виду рис. 4.3, объединив при этом звенья

Рис. 4.3. Преобразованная структурная схема исходной системы

22

В результате звенья с передаточными функциями W 2 ( p ) и W~3 ( p )

можно задать моделями в пространстве состояний.

Полученная модель системы в MATLAB/Simulink отображена на рис. 4.4. Здесь в соответствии с примечанием в п. 2 методических указаний на фазовом портрете по оси ординат отображается x T0 x .

Рис. 4.4. Модель нелинейной системы

В модели рис. 4.4 использованы следующие блоки: «NE 4» – блок подсистемы, задающей НЭ 4 (рис. 4.5);

«W1» – блок усиления, реализующий звено с передаточной функцией W1 ( p ) ;

«W2» – блок, реализующий звено с передаточной функцией W 2 ( p ) в пространстве состояний (рис. 4.6);

«W3v» – блок, реализующий звено с передаточной функцией W~3 ( p ) в пространстве состояний (рис. 4.7);

«X X’ Graph1» – блок для построения фазового портрета;

«To workspace 1», «To workspace» – блоки, позволяющие переда-

вать и хранить в переменных значения точек v и x соответственно для построения фазового портрета в рабочем пространстве MATLAB, что дает удобства в просмотре графика;

«Scope x(t)» – блок для построения графика процесса x(t ) .

23

Рис. 4.8. Фазовые траектории системы

Здесь по оси абсцисс отложена координата x , а по оси ординат – координата v x . В качестве начальных условий были заданы 3 точки с координатами (x,v): (2,2), (-5,10), (-20,-40). Из рис. 4.8 видно, что при начальных условиях, близких к началу координат, процесс сходится к положению равновесия (0,0), а при остальных значениях – возникают автоколебания. Как и в п.1 исследования, точка с координатами (0,0) является устойчивым «в малом» положением равновесия.

Зададим еще три фазовые траектории с начальными условиями со-

сунке 4.9 отображены полученные фазовые траектории, а на рис. 4.10 – 4.12 – соответствующие им графики изменения процесса x(t ) .

26

Рис. 4.10. График процесса x(t ) при НУ ( x01 8, x01 0 )

27

Рис. 4.11. График процесса x(t ) при НУ ( x02 0, x02 9 )

Рис. 4.12. График процесса x(t ) при НУ ( x03 8, x03 4 )

28

Рис. 4.13. Фазовый портрет при λmin = 0,42 и НУ ( x0 4 ,v0 1)

Из графика рис. 4.14 можно определить, что период автоколебаний системы равен 2 сек, а амплитуда равна 8,2.

29