18. Решения и ответы

Добавил:

mizuki Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Теория / теория по пределам.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.01.2024

Размер:

1.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

																								18. Решения и ответы
Пример 4. Решение:
а)	lim						x2													(*)
а)	lim																			(*)
	x	x3			4x 3
Разделим числитель и знаменатель на x3
									x2																								1 0
(*) lim									x	3							lim																x										0		0
										3

																																						3 0
			x x3 4x 3																		x								4			0						3 0					1
																									1
									x3
									x3																					x2								x3
б) Почленно делим числитель на знаменатель:
		5 3x 2x2									x3																					5				0			3							x2				3
lim																							lim																		x							0
lim																							lim																		x							0
x							2x																			x						2x							2							2				2

в)	lim						x3 (4 7x2 )																								(*)
в)	lim																														(*)
	x 4x5 7x3											13x 28
В числителе раскрываем скобки, делим числитель и знаменатель на x5
																																								4x3 7x5
									4x				3		7x						5
(*) lim													3								5								lim													x		5
																																												5


					4x5 7x3 13x																				28												4x5		7x3				13x 28
			x		4x5 7x3 13x																				28						x						4x5		7x3				13x 28
																																										x5
								4				0
															7																				7
lim									x	2					7
										2


					7			0					13			0					28					0									4
	x				7								13								28														4
				4
				4			x2						x4									x5
Пример 7. Решение:
а)	lim						x3 1										0				(*)
а)	lim																				(*)
		x 1 5x2 4x												1 0
Разложим числитель и знаменатель на множители:
x3 1 (x 1)(x2 x 1) (формула разности кубов)
5x2 4x 1 0
D 16 20 36

	D 6
x			4 6			2										1		,			x							4 6						1
x						2												,			x													1
1		10						10								5							2						10
		10						10								5													10
5x2 4x 1 5 x																1			(x 1) (5x 1)(x 1)
5x2 4x 1 5 x																			(x 1) (5x 1)(x 1)

																5
(*) lim					(x 1)(x2 x 1)																				lim							x2 x 1										1 1 1					3	1
(*) lim							(5x					1)(x 1)													lim								5x 1										5 1				6		2
			x 1				(5x					1)(x 1)															x 1						5x 1										5 1				6		2
			x 1																								x 1

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	54

б)	lim	x2	6x 9			0	(*)
		x		2	3x	0
	x 3

В числителе используем формулу квадрата суммы: x2 6x 9 (x 3)2 , в знаменателе выносим x за скобки:

(*) lim

(x 3)2

lim

x 3

3 3

x 3 x(x 3)

x 3

Пример 9. Решение:

lim

x2 x 2

(*)

6 2

x 2

Разложим числитель на множители: x2 x 2 0

D 1 8 9

D 3

x1 12 3 2 x2 12 3 1

x2 x 2 (x 2)(x 1)

А также умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:

(*) lim

(x 2)(x 1)(

x 6 2)

( x 6 2)(

x 6 2)

x 2

lim

(x 2)(x 1)(

2 2)

4 lim

x 6

(x 2)(x 1)

x 2

x 6 4

x 2

4 lim (x 1) 4 ( 3) 12

x 2

Пример 10. Решение:


lim		x 7 3	0	(*)
			0
	1 3 x
x 2	1 3 x

Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения:

1 )

(*) lim

(

x 7 3)(

x 7

3)(1

3 x

3 3)(1

x 2 (

x 7

3 x )(1

3 x )

lim

(x 7 32 ) 2

lim

x 7 9

lim

x 2

6 (12 (3 x))

6 x 2

1 3 x

3 x 2

x 2

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	55

Пример 15. Решение:

а) После преобразования тангенса искусственно домножаем числитель и знаменатель на 2x (можно на 3x ):

lim

sin 2x

lim

sin 2x

lim

sin 2x

lim

2x sin 2x

tg3x

sin 3x

2x sin 3x

x 0

cos3x 1

2lim

x 0 sin 3x

x 0

3sin 3x

б) Используем триг. формулу cos cos 2sin

sin

5x x

cos5x cos x

2sin

sin

lim

x 0

lim

sin 3x sin 2x

lim (sin 3x) 0

x 0

! Примечание: пределы с разностью/суммой косинусов или синусов также часто встречаются на практике.

в) Используем тригонометрические формулы:

lim

ctgx (1 cos2 3x)

lim

cos x (1 cos2 3x)

x 0

(x 5x)

sin x (x

5x)

lim

cos x 1

(1 cos2 3x)

lim

1 cos2

sin x (x2 5x)

x 0 sin x (x2

5x)

lim

sin

2 3x

lim

sin 2 3x

lim

sin 2 3x

0 sin x x

(x 5)

x 0 sin x x (x 0 5)

5 x 0 sin x x

lim

sin 3x sin 3x

lim

x sin 3x sin 3x

5 x 0

sin x x

5 x 0

sin x 3x 3x

Пример 17. Решение:

lim

(*)

x 0

arcsin

Проведём замену: arcsin 2x t

Если x 0 , то t 0 .

arcsin	x	t
arcsin	2	t
	2
			x
sin arcsin				sin t
sin arcsin			2	sin t
			2

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	56

sin t

x 2sin t

(*) lim

5 2sin t

t 0

Пример 21. Решение:

x 1

5 10

x 1

lim 1

(*)

а) lim

lim

x x

Используем второй замечательный предел:

10( x 1)

x2 5

( x2 5)

x 1

1 0

10 lim

5 0

x 1

x x2 5

10 lim

(*) lim

x x

x 2 3x 4

0 2 0 4

б) lim

x 0 x

0 3

Пример 24. Решение:

а) lim (5x 4)10( x 1) 1 (*)

x 1

Используем формулу lim u(x)v( x)

lim (u( x) 1) v( x)

ex a

x a

x(5 x 5)

5 x( x 1)

lim (5 x 4

lim

lim( x)

10( x 1)

(*) ex 1

e10 x 1

( x 1)

e10 x 1

( x 1)

e10 x 1

б) lim (5x 4)10( x 1) 1 (*)

x 1

Проведём замену t x 1 Если x 1, то t 0

Из t x 1 выразим x t 1

Используем второй замечательный предел lim (1 t)t
				t 0
	t 1		t 1
(*) lim (5(t 1) 4)10(t 1 1)
(*) lim (5(t 1) 4)10(t 1 1)		lim (1 5t)10t		lim	(1	5t)
t 0		t 0		t 0

e :

		t 1		t 0 1
1			lim		1
1	2				1
	2
5t			et 0	2	e2	e

Пример 26. Решение:

3	2 x x6	(*)
lim
	x2 5x 3
x 2x3

Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3. Разделим числитель и знаменатель на x3 :

							3																		3				2 x x									6																		0											0							0
									2 x x									6							3													6													2										1									1



																															3 x9
																																																				x9												x8							x3					0
(*) lim													x3							lim																							lim									x9												x8							x3					0		0
(*) lim																				lim																							lim											1 0																		3 0						0
	x		2x3 x2 5x 3																	x	2x3								x2 5x 3															x										1 0							5							0				3 0				2
																																																	2
													x3																				x3
													x3																				x3																					x											x2							x3
Пример 28. Решение:
lim						x2 x 3																	(*)
lim	2x4 x3											7x2 1											(*)
x	2x4 x3											7x2 1
Разделим числитель и знаменатель на x 4 :
												x2 x 3																					1 0							1 0								3 0
																																																													0
(*) lim														x		4						lim										x			2					x	3						x		4												0							0
														x																		x								x							x
											4 x3 7x2																									1 0							7 0											0									2
	x		2x								4 x3 7x2									1				x												1 0							7 0								1			0									2
																													2
														x4
														x4																						x						x2								x4
Пример 30. Решение:
а) Разделим числитель и знаменатель на x 2 :
																																	x 2								4 x																1 0											2 0					4 x
					x 2								4 x																																																																0
					x 2								4 x																						x2																						x									x2											0
lim																					lim																							lim																																					0	0
lim																					lim																							lim																									5 0												0	0
x x2 3x											5												x x2 3x																5							x							1						3		0								5 0								1

																																			x2
																																																												x									x2
																																																												x									x2
б) Разделим числитель и знаменатель на x 2 :
				2																							x2			1					5 x 1														1						1 0												5 x 1
				2				5 x			1																																						1
		x 1																								x2																													x2																		1
lim																			lim																			lim										0													0																		( )
lim	2x 3																		lim													3						lim																					3																0				( )
x	2x 3																			x	2x											3									x 2																		3																0


																												x		2
																														2																												x2
																																												x														x2
Пример 32. Решение:
8												1																							8									1																					8 (x 4)
8												1																							8									1																					8 (x 4)
lim			2	16													( ) lim																												x 4								lim
x 4 x				16						x 4														x	4				(x 4)(x 4)																x 4											x 4						(x 4)(x 4)
lim					8 x 4										lim					4 x											lim								(x 4)												lim										1														1					1
lim															lim																lim																				lim
x 4 (x 4)(x 4)																	x 4 (x 4)(x 4)																	x 4			(x		4)(x 4)																		x		4 (x 4)															(4 4)						8

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	58

Пример 34. Решение:

а) lim ( x2	1 x) (*)
x

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

(*) lim

( x2 1 x)( x2 1 x)

lim

x2 1 x2

lim

x2 1 x

1 x

б) lim (2x

x3 4x2 ) (*)

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

(*) lim

(2x

x3 4x2 )(2x

x3 4x2 )

lim

(2x)2 (x3 4x2 )

2x x3 4x2

lim

4x2

lim

(*)

Разделим числитель и знаменатель на x3 :

(*) lim

lim

Пример 36. Решение: запишем первые четыре члена:

3 12

1 3

3 22

1 3 5

3 32

1 3 5 7

3 42

Найдём предел последовательности:

lim

1 3 ... (2n 1)

(*)

Используем

формулу

суммы

первых

(a1 an ) n

. В данном случае a 1, a

2n 1

(1 2n 1) n

2n n

lim

(*) lim

lim

3n2

n 3n2

членов арифметической прогрессии

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	59

Пример 38. Решение:

lim

(n 4)! (n 2)!

(n 3)!

lim

1 2 3 ... n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4) 1 2 3 ... n(n 1)(n 2)

1 2 3 ... n(n 1)(n 2)(n 3)

lim

1 2 3 ... n(n 1)(n 2) (n 3)(n 4) 1

lim

(n 3)(n 4) 1

1 2 3 ... n(n 1)(n 2)(n 3)

n 3

n2 7n 11

7 0

11 0

7n 11

lim

n 3

Пример 40: Решение:

lim

8n3

(1 2n)3

lim

8n3 (1 12n2 6n 8n3 )

lim

8n3 1 12n2 6n 8n3

2n)2

4n2

4n 4n2 4n2

1 4n

8n2

12n2 6n 1

6 0

1 0

12n

6n 1

lim

1 4n 8n2

1 0

Пример 42. Решение:

lim

10 9n 1

lim

7n 10 9 9n

10n 1 7n

10 1 10n 49 7n

n 5

7n 90 9n

90 9n

7 n

lim

10n

lim

10n

lim

10 1 10n 49 7n

5 10n

10 10

cos

2 3n 5

Пример 44. Решение: последовательность

– ограничена:

0 cos

3n 5

, а последовательность

0 , значит, по соответствующей

теореме:

2 3n 5

3n 5

lim 2e

cos

2 lim

cos

2 0

1 n

n e

1 n

© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!	60

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Соседние файлы в папке Теория

#
28.01.20241.47 Mб13теория по интегралам часть 2.pdf
#
28.01.20241.64 Mб11теория по интегралам.pdf
#
28.01.20241.15 Mб7теория по пределам.pdf
#
28.01.20241.39 Mб11теория по производным.pdf