2. Линейность предела
Не пугаемся, под термином «линейность» скрывается два очень простых свойства.
Пусть x a (значение «а» может быть любым, в том числе бесконечным). Тогда:
1) lim kf (x) k lim f (x) – константу-множитель k можно вынести за знак |
|
x a |
x a |
предела, при этом значение предела не изменится (если, конечно, предел вообще существует в данной точке).
Проверим данный факт на конкретном примере: lim |
3 |
x |
2 |
|
|
3 |
4 |
6 , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и после выноса константы: lim |
|
x |
|
|
|
|
lim (x |
|
) |
|
|
|
4 |
6 . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 2 2 |
|
|
|
|
2 x 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
! Внимание! Никаких десятичных дробей!
Аксиома: в высшей математике все действия стремимся проводить
вправильных и неправильных обыкновенных дробях
Ибудет вам счастье!
2) lim ( f (x) g(x)) lim |
f (x) lim g(x) – предел суммы равен сумме пределов |
|
x a |
x a |
x a |
(если они, разумеется, существуют). То же самое касается и разности, ибо разность
можно представить в виде суммы: |
f (x) g(x) f (x) ( g(x)) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Например: lim |
|
2x 3 |
|
|
|
|
4 3 |
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 2 x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
и по правилу: lim |
|
1 |
2x |
3 |
|
lim |
1 |
|
lim (2x 3) |
1 |
4 |
3 |
|
3 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x 2 x |
|
|
|
|
x 2 |
x |
|
x 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
Данное свойство справедливо и для бОльшего количества слагаемых. За примером далеко ходить не будем:
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
lim |
|
|
2x 3 |
lim |
|
lim (2x) lim 3 |
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 2 x |
|
x 2 |
x |
x 2 |
x 2 |
2 |
|
|
|
2 |
||
Отдельно выделю, что предел константы равен этой же константе:
lim k k – вещь элементарная, но вызывает регулярные вопросы.
x a
Следует отметить, что у пределов есть и другие свойства, и все они строго доказываются в курсе математического анализа.
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
7 |
|
До сих пор мы рассматривали пределы, которые решаются прямой подстановкой, однако «решение в лоб» зачастую приводит к так называемым неопределенностям, которые, как вы догадываетесь, нужно устранять. Поехали:
3. Типовые пределы с неопределенностью вида и метод их решения
В данном параграфе мы рассмотрим группу пределов, когда x , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены.
Пример 1
Вычислить предел |
lim |
2x2 |
3x 5 |
|
|
x 3x2 |
|||
|
x 1 |
|||
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность.
Таким образом, у нас имеется неопределенность вида . Можно было бы подумать, что
, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить
специальный приём решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как же решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим x в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим x в старшей степени:
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность
нужно разделить числитель и знаменатель на x в старшей степени.
Сначала чистовое оформление примера, затем комментарии:
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
8 |
|
lim |
2x2 3x 5 |
|
|
|
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 x 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Разделим числитель и знаменатель на x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x2 3x 5 |
2x2 |
|
|
3x |
5 |
|
|
|
3 |
0 |
|
5 0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
(*) lim |
|
|
x2 |
|
|
|
|
lim |
|
x2 |
x2 |
x2 |
lim |
x |
x2 |
|
||||||||||||||||||
|
1 x 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
x |
1 |
|
|
x 3x2 |
x |
|
1 0 |
1 |
0 |
|
3 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
Вот оно как – ответ 23 , а вовсе не бесконечность.
Что принципиально важно в оформлении решения?
Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.
Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак (*) , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.
В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, это удобно сделать так:
Для пометок лучше использовать простой карандаш.
Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно вам надо?
Пример 2
Найти предел lim |
7x3 |
15x2 9x 1 |
|
6x2 3x 4 |
|
x 5x4 |
||
Снова в числителе и знаменателе находим x в старшей степени:
Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Итак, согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности
изнаменатель нужно разделить на x4 .
©Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!
числитель
9
Полное оформление задания должно выглядеть примерно так:
lim |
7x3 |
15x2 |
9x 1 |
|
|
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 5x4 |
3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Разделим числитель и знаменатель на x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7x3 15x2 9x 1 |
|
|
7 |
0 |
15 |
0 |
9 |
0 |
|
|
1 0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(*) lim |
|
|
x4 |
|
|
|
|
lim |
|
x |
|
x2 |
|
x3 |
|
x4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x 5x4 6x2 3x 4 |
|
|
|
x |
|
5 |
6 0 |
|
3 0 |
|
4 0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x3 |
x4 |
|
|||||||||||||||||
|
0 0 0 0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
5 0 0 0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
И третий случай: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислить предел функции |
f (x) |
2x2 3x 5 |
при x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Встречается и такая формулировка.
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( x можно записать как x1 )
Старшая степень равна двум, и поэтому для устранения неопределенности
числитель и знаменатель следует разделить на x2 . Чистовой вариант решения может выглядеть так:
lim |
2x2 |
3x 5 |
|
|
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделим числитель и знаменатель на x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x2 3x 5 |
2 |
|
|
3 |
0 |
5 0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
(*) lim |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
lim |
|
x |
|
|
x |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Под записью 2 подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а
0
деление на бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться либо конечное число, не равное нулю, либо ноль, либо бесконечность.
© Емелин А., http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно! |
10 |
|