Учебные пособия / Эдельштейн лекции по ТММ учебник

Для осуществления заданного передаточного отношения свяжем с колесом 1 произвольно выбранный профиль П1 П1 проходящий в данный момент через полюс зацепления P1 2 . На колесе 2 найдем такой профиль П2П2, который удовлетворял бы следующему условию: где бы ни соприкасались профили П1 П1 и П2П2, нормаль к ним, проведенная в точке их касания, должна проходить через полюс зацепления Р1 2 . Это условие вытекает из известного закона Виллиса: «Линия действия (в нашем случае нормаль) делит линию центров на части, отношение которых обратно пропорционально отношению угловых скоростей».

Построение сопряженного профиля П2П2 проведем методом Рело. Задан произвольный профиль П1 П1 на колесе 1, который в данный момент проходит через полюс зацепления Р12. Очевидно, что одна точка искомого профиля П2П2 уже известна, она совпадает с точкой Р1 2 , так как нормаль к профилям проходит через полюс зацепления. Построим еще одну

точку искомого профиля П2П2. Отметим на профиле П1 П1 точку а1 . Проведем через точку а1 нормаль n1 n1 к профилю П1 П1 . Эта нормаль п1 п1 не проходит через полюс зацепления, поэтому сейчас (в этот момент) мы не можем допустить касания заданного профиля П1 П1 с искомым П2П2. Нормаль п1 п1 пересекает начальную окружность колеса 1 в точке а1 . Когда вследствие вращения колес точка a1 и соответствующая ей на колесе 2 точка а2 (лежащая на равном дуговом расстоянии от полюса Р12 P1 2 a1 = P1 2 a2 ) придут в полюс Р1 2 , тогда можно и должно допустить зацепление заданного профиля П1П1 с искомым П2П2. Точку зацепления А12 находят так: из точки О1 проводим окружность радиуса O1a1 и засекаем ее из точки Р12 дугой окружности радиуса P12A12 = а1а1. Точек типа А12 будет бесчисленное множество и они образуют линию зацепления (л. з.) — геометрическое место точек, принадлежащих неподвижной плоскости, где будет происходить зацепление сопряженных профилей П1 П1 и П2П2.

Теперь разыщем на искомом профиле П2П2 точку а2, которая встретится с точкой а 1 на л. з. в точке А12. Для этого из точки O2 проведем окружность радиуса O2A12 и из точки а2 засечем ее дугой окружности радиуса a2a2 = P 1 2 A 1 2 -

Аналогичным построением можно получить сколь угодно большое число точек искомого сопряженного профиля П2П2.

Рассмотренный метод построения сопряженных профилей можно применить для внутреннего зацепления зубчатых колес, для зацепления колеса с рейкой и для некоторых колес, у которых центроиды в относительном движении не будут окружностями и передаточное отношение — непостоянное число

Особенности зацепления сопряженных профилей следующие, а) Практическая или рабочая часть л. з. (рис. 119, а). Сопряженные профили П1 и П2

построены, известна их л. з. Сопряженные профили в зубчатых колесах ограничены по высоте окружностями головок Rn и R12, которые пересекаются с л. з. в точках А и В. Дуга А В называется рабочей частью линии зацепления. Очевидно, что вершина зубца П2—

точка а2 зацепится с профилем П1 в точке А и за этой точкой зацепления уже не будет. Аналогично, точка b1— вершина зубца П1 придет в зацепление с профилем П2 в точке В и за этой точкой ( b1) зацепления тоже не будет.

б) Рабочие части профилей (рис. 119,6). Вследствие ограниченности зубцов по высоте не все точки профилей П1 и П2 будут использованы для целей зацепления. В самом деле, вместе с конечной точкой a2 (вершимой головки) зубца П2 на л. з. придет точка а{ зубца П1. За этой точкой (считая по направлению к центру колеса 1) профиль П1 не будет зацепляться с профилем П2. Для профиля П1 вершина его головки — точка b1 придет в зацепление в точке В линии зацепления с точкой b2 профиля П2. За точкой b2 (считая по направлению к центру колеса 2 ) профиль П2 работать не будет.

Дуги а1b1и а2b2 называются рабочими частями профилей П1 и П2.

в) Непрерывность зацепления и степень плавности (степень перекрытия) (рис. 119, в).

Для непрерывного вращения зубчатых колес надо, чтобы после выхода из зацепления одной пары профилей ей на смену пришла в зацепление следующая пара. Для этого необходимо удовлетворить условию: дуга зацепления S должна быть больше шага зацепления t. Дугу зацепления находят так: располагают профиль на каком-нибудь колесе, например 2, проходящем через точку В линии зацепления— начало зацепления профиля П21 с профилем П1 (этот профиль на чертеже не показан), затем перемещают его в положение, когда он пересечет точку А линии, зацепления — конец зацепления профиля П'21 с профилем П1. Пересечение профиля П21 с начальной окружностью в точках и dφ1 и dφ2 определит дугу зацепления S.

Дугой зацепления называется дуга, которая стягивает центральный угол, на который повернется колесо, пока одна пара профилей будет находиться в зацеплении.

Шагом зацепления t будет дуговое расстояние, измеряемое по любой окружности, от одного профиля (П2 I ) до другого (П2 I I )- При сравнении дуги зацепления с шагом обе дуги следует измерять но одной и той же окружности.

Степенью плавности ε (перекрытия) называется отношение дуги зацепления S к шагу t, это отношение должно быть больше единицы:

3°. Эвольвентное зацепление. В Советском Союзе изготовляется в день несколько миллионов штук зубчатых колес, поэтому применять произвольно выбранные профили не допустимо, так как, помимо других соображении, придется для каждой пары профилей изготовлять своп режущий инструмент. В практике наибольшее применение получили профили, образованные эвольвентами окружностей.

Эвольвентой окружности называется траектория точки М0 прямой N0N0 (рис. 120), катящейся без скольжения по окружности радиуса R0. Эта окружность называется основной, а прямая N0N0— производящей прямой.

Построение эвольвенты (рис. 120, а). Прямая N0N0 касается основной окружности в точке М0. Построим эвольвенту, которая будет описана точкой М0 при перекатывании прямой N0N0 по направлению часовой стрелки. На прямой N0N0 отложим равные отрезки М0—1, 1—2, 2—3 и т. д., а на основной окружности — равные дуги: M0—1' = M0—1, 1'— 2'= 1—2, 2'—3' = 2—3 и т. д. При перекатывании прямой N0N0 по окружности радиуса Rо точки 1 и 1', 2 и 2', 3 и 3' п т. д. будут совпадать, а производящая прямая займет положения: 1'— N1, 2' — N2, 3'— N3 и т. д. От точек 1', 2', 3' и т. д. вдоль линий 1' — N1, 2' — N2, 3' — N3 и т. д. отложим соответственно отрезки:1' — М1 = 1 — М0, 2' —

М2 = 2 — М0,3' — M3 = 3 — М0 и т. д. Соединив точки М0, М1, М2 ,.., получим эвольвенту

Эм .

Рис. 120. Эвольвента окружности:

а — построение; б — полярные координаты.

Основные свойства и уравнения эвольвенты (рис. 120,б).

а) Эвольвента — односторонне ограниченная спираль, она начинается на основной окружности в точке М0.

б) Нормалью к эвольвенте в точке Мj ее будет касательная Мj Kj , проведенная к основной окружности.

в) Отрезок касательной MJ KJ является радиусом кривизны рj эвольвенты в точке Мj ее. г) Угол αj ,заключенный между текущим радиусом-вектором Rj и перпендикуляром OKj к нормали, опущенным из центра О основной окружности, называется углом давления, Из рисункавидно, что

основной окружности, а ось отсчета Оу проходит через начало эвольвенты М0 . Радиус-вектор

(114)

Полярный угол (эвольвентнаяфункция или инволюта угла давления — invaj )

(114 а)

Этот угол обычно находится по специальным таблицам. Из равенств (113), (114) и (114 а) видно, что эвольвента окружности вполне определяется единственным параметром: Радиусом основной окружности.

ЛЕКЦИЯ ПЯТНАДЦАТАЯ (Продолжение четырнадцатой лекции)

4°. Построение эвольвентных профилей. Свойства эвольвентного зацепления.

Рассмотрим построение эвольвентных профилей для внешнего, внутреннего зацеплений и зацепления колеса с рейкой. Для первых двух типов зацеплений будем считать, что задано: межцентровое расстояние Асб и передаточное отношение i12.

а) Внешнее зацепление (рис. 121, а). Определяем радиусы начальных окружностей по формулам (111) и (111а):

Строим эти окружности с центрами в точках О1 и О2 и через точку Р их касания проводим касательную ττ. Под углом зацепления (или сборки)— а3 (асб) к касательной ττ проводим линию производящую эвольвенту — линию N N . Из центров начальных окружностей О1 и О2опускаем на линию N N перпендикуляры О1К1 и О2К2, проводим основные окружности, касающиеся линии N N (радиусы этих окружностей R01 = О1К1и R02 = О2К2) . Перекатыванием прямой N N по соответствующим основным окружностям вычерчиваем эвольвенты Э 1 и Э 2 , которые будут сопряженными профилями П 1 и П 2 зубчатых колес 1 и 2 . Из чертежа видно, что радиусы основных и начальных окружностей связаны равенствами:

Если на колесах будет по z1и z2 зубцов, то шаг зацепления по начальной окружности

откуда

Рис. 121. Построение эвольвентных профилей зубчатых колес: а—внешнего зацепления; б — внутреннего зацепления;

в — зацепления колеса с рейкой

Отношение шага tк π называется модулем тнач:

(116)

поэтому

(117)

(117 а)

Для каждой окружности существует свой модуль и только для так называемой делительной окружности (о ней речь пойдет после) его значение стандартизировано (ГОСТ 9561—63); он будет нами обозначаться буквой т без всякого индекса.

б) Внутреннее зацепление (рис. 121,6). Радиусы начальных окружностей:

(118)

(118 а)

поэтому

Для выполненных в металле зубчатых колес радиусы основных окружностей являются величинами постоянными.

1)Направление усилия, передающегося от одного колеса к другому, постоянно, оно направлено вдоль линии NN(рис. 121). Следовательно, при постоянном моменте сопротивления на ведомом колесе давление между зубцами постоянно по модулю и направлению.

2)Явление заклинивания (рис. 122,а,б, в). Оно наступает тогда, когда окружность головок (обычно большего) колеса или

Рис. 122. Явление заклинивания при зацеплении: а — внешнем; б — внутреннем; в — колеса с рейкой.

прямая головок рейки пересекает линию зацепления NNв точке В, находящуюся за границей теоретически возможного зацепления. Явления заклинивания допускать нельзя, так как зацепление будет не работоспособно. Этого явления можно избежать, если изменить (уменьшить) высоту зубца, изменить угол зацепления (увеличить его) и увеличить число зубцов на колесе.

6) Эвольвентные профили можно нарезать Инструментом с прямолинейными режущими кромками (об этом будет сказано дальше).

5°. Зацепление колеса с рейкой. Одним из способов изготовления зубчатых колес является метод огибания (обкатки). В его основе лежит зацепление колеса с рейкой,

поэтому это зацепление будет рассмотрено подробно. Рейка при эвольвентном зацеплении представляет собой звено с рядом трапециевидных зубцов (рис. 123).

Параметры рейки: модуль т, он назначается в соответствии с ГОСТом 9561—63; профильный угол α0, он обычно равен 20°; высота головки hгр, hгр=fm(f=0,8—1,0— коэффициент высоты); модульная прямая ММ— линия, параллельная линии головок, на которой толщина зуба а равна ширине впадины b.

При зацеплении колеса с рейкой рейку по отношению к колесу можно устанавливать различно, не нарушая соотношения между угловой скоростью колеса и линейной скоростью рейки:

а) Модульная прямая ММ касается делительной окружности колеса (рис. 124, а). Это будет зацепление без сдвига рейки.

Рис. 124. Различные положения рейки относительно колеса: а — без сдвига; б— с положительным сдвигом; в — с отрицательным

сдвигом.

б) Модульная прямая ММ отодвинута от делительной окружности колеса на величину абсолютного сдвига + χ (рис. 124,6).

Зацепление с положительным сдвигом (в этом случае начальной прямой на рейке будет линия М ' М ' ) .

в) Модульная прямая М М пересекает делительную окружность колеса, она вдвинута внутрь ее на величину отрицательного абсолютного сдвига — χ (рис. 124,в). Зацепление с отрицательным сдвигом (начальной прямой будет линия

М" М " ) .

Вотносительном движении начальная прямая и делительная окружность катятся одна по другой без скольжения, поэтому шаг рейки равен шагу на колесе, измеряемому по делительной окруж ности:

Вравной мере толщина зубца па колесе равняется ширине впадины на рейке (толщина зубца измеряется по делительной окружности, а ширина впадппы па

рейке по той прямой, которая касается делительной окружности). Поэтому при

зацеплении без сдвига рейки толщина зубца по делительной окружности

равняется ширине впадины по этой же окружности (рис. 125). При зацепле нии со сдвигом рейки это равенство нарушается.