Ekz_progr_po_TViMS_dlya_IE (1)

9.2Свойства:

-( ) ≥ 0, так как ( ) является производной от неубывающей функции ( )

-∫&:: ( ) = (−∞ < < ∞) = 1

10. Математическое ожидание и его свойства (без доказательства).

10.1 Математическое ожидание

Числа, назначение которых указывать основные особенности распределений случайных величин, называют числовыми характеристиками

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется число

( ) = J 1 1

1

Равное сумме произведений возможных значений 1 на соответствующие им вероятности 1.Если дискретная случайная величина имеет бесконечно много значений, то требуется абсолютная сходимость ряда. Если ряд не сходится абсолютно, то математическое ожидание такой случайной величины не существует

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины, имеющей функцию плотности вероятности ( ) называется число

>:

( ) = g ( )

&:

10.2Свойства:

-Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной

( ) =

-Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин, равно алгебраической сумме их математических ожиданий

( ± ) = ( ) ± ( )

-Математическое ожидание произведения любого конечного числа взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

( ,, -, … , ") = ( ,) ( -) … ( ")

Следствие: постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания

11. Дисперсия и ее свойства (без доказательства). Среднее квадратическое отклонение.

11.1 Дисперсия:

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

( ) = [ − ( )]-

Для вычисления дисперсии иногда удобно использовать другую формулу, которая получается из исходной:

( ) = ( -) − [ ( )]-

Вывод:

[ − ( )]- = n - − 2 ( ) + 4 ( )5-p. Величины ( ) и 2

11.2Свойства:

-Дисперсия постоянной величины равна нулю: ( ) = 0

-Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии с возведением в квадрат: ( ) = - ( ), где –

-Если случайные величины и независимы, то ( ± ) = ( ) +

( )

11.3Среднее квадратичное отклонение

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Это лишает наглядности дисперсию как числовую характеристику. Поэтому для характеристики разброса значений случайной величины используют среднее квадратичное отклонение, которое равно положительному значению корня квадратного из дисперсии: ( ) = s ( ). Среднее квадратичное отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина

12.Нормальный закон распределения, вероятностный и геометрический смысл его параметров. Вычисление вероятностей Р (a < Х < b) и Р (

Х- m < a ) для нормального закона распределения. Функция Лапласа

иее свойства.

12.1Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения имеет плотность вероятности

Где −∞ < < ∞ и > 0 – некоторые параметры График функции плотности вероятности имеет максимум в точке = ,

а точки перегиба отстоят от точки на расстояние . При → ±∞ функция асимптотически приближается к нулю

В зависимости от величины параметров и кривая распределения имеет различный вид, и поэтому правильнее говорить о семействе нормальных законов распределения.

При фиксированном изображен график, если , < -

В первом интеграле пределы интегрирования симметричны, а подынтегральная функция нечетна, поэтому интеграл равен нулю. Второй интеграл равен единице от функции плотности вероятности нормального закона распределения при = 0 и = 1. Поэтому ( ) =

Учитывая вероятностный смысл параметра с помощью замены переменной и интегрирования по частям можно показать, что ( ) = -, т.е. параметр равен среднему квадратическому отклонению нормально распределённой случайно величины. Справедлива следующая запись:

~ ( ; -)

√2 =

При помощи замены переменных приводим интеграл к виду:

Введём в рассмотрение функцию, которую называют функция Лапласа:

7

Φ( ) = 1 g &A-" √2 9

Свойства:

-Φ(0) = 0

-Φ(+∞) = 0,5

-Φ(− ) = −Φ( )

С ее помощью искомую вероятность можно записать в виде:

13. Функции случайных величин.

13.1 Функции случайных величин

Пусть ( ) – однозначная функция. Функцией случайной величины называется такая случайная величина = ( ), которая принимает значения1 = ( 1) каждый раз, когда величина принимает значение 1. Требуется найти закон распределения случайной величины , зная закон распределения случайной величины . В зависимости от типа случайной величины и особенностей функции ( ) можно выделить следующие варианты решения данной задачи:

-Пусть – дискретная случайная величина. Если функция ( ) в области возможных значений монотонна, то величина примет значение 1 = ( 1) тогда и только тогда, когда = 1.

Следовательно, возможными значениями будут значения 1 =( 1), и этим значениям соответствуют вероятности 1 = ( =1) = ( = 1)

[ ( ) = 1] = [ = ,, или = -, или … или = !] =

!

= J ( = 1)

12,

Следовательно, для нахождения закона распределения случайной величины = ( ) нужно вычислить все ее значения, расположить их в порядке возрастания, отбрасывая повторяющиеся, и каждому из полученных значений 1 приписать вероятность, равную сумме вероятностей тех значений, для которых ( ) = 1.

Дифференцируя этот интеграл по верхнему пределу, получим для случайной величины функцию плотности вероятности:

:

( ) = g ,( ) -( − )

&:

Правая часть данного выражения называется сверткой функций плотности вероятности ,( ) и -( )

Для разности − , плотность распределения равна:

:

( ) = g ,( ) -( + )

&:

Замечание:

Если случайные величины и неотрицательны, то свертка имеет вид:

B

( ) = g ,( ) -( − )

9

15. Понятие о предельных теоремах теории вероятностей. Формулировка центральной предельной теоремы для одинаково распределенных слагаемых. Следствия из нее.

15.1 Понятие о предельных теоремах теории вероятностей:

Предельные теоремы теории вероятностей можно разбить на две группы. Одна группа теорем составляет так называемый закон больших чисел. Закон больших чисел формулирует условия, при которых совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

Вторая группа теорем связана распределением сумм большого числа случайных величин. В этих теоремах выясняется, какие законы распределения может иметь сумма случайных величин, если число слагаемых неограниченно увеличивается. В частности, центральная предельная теорема посвящена установлению условий, при которых суммы большого числа слагаемых имеют распределение, близкое к нормальному.

15.2Формулировка центральной предельной теоремы для одинаково распределенных слагаемых:

Пусть ,, -, … , " – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Если они имеют конечные дисперсии, но не равные 0, то закон распределения = ∑"12, 1 при достаточно больших сколько угодно близок к нормальному закону распределения

Вусловиях теоремы случайные величины независимы, поэтому:

""

( ) = “J 1” = J ( 1) = ( 1)

12, 12,

""

( ) = “J 1” = J ( 1) = -

12, 12,

Более формально, в условиях центральной предельной теоремы имеет место предельной соотношение: