Ekz_progr_po_TViMS_dlya_IE (1)

Оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех оценок, построенных по данной серии наблюдений

Замечание:

Если ² несмещенная оценка, то для ее состоятельности достаточно, чтобы:

4 ²( ,, -, … , ")5 = 0

"→:

19.3 Оценки для математического ожидания и дисперсии

Пусть имеет неизвестные математическое ожидание и дисперсию, причем ( ) < ∞. Если ,, -, … , " – результаты независимых наблюдений случайной величины, то в качестве оценке для математического ожидания можно предложить среднее арифметическое наблюдаемых значений

При ( ) < ∞, состоятельность следует из:

Так как ( ) [ − ( )]-, то в качестве оценки можно взять:

"

´( ) = 1 J12,( 1 − ¦)-

"

´( ) = 1 J12,( 1 − 7 + 7 − ¦)- =

"

= 1 J12,( 1 − 7)- − ( ¦ − 7)-

Проверим несмещенность оценки:

Данная оценка является смещенной асимптотически, поэтому введем поправку "&," и обозначим полученную оценку -

-– несмещенная и состоятельная оценка дисперсии

20.Принцип наибольшего правдоподобия в оценке параметров распределений.

20.1Принцип наибольшего правдоподобия в оценке параметров распределений

Принцип: в качестве оценки для неизвестной характеристики случайной величины выбирают то ее значение, при котором полученный результат

величины Данный принцип предлагает в качестве оценки значения параметра

выбрать такое = ̅, при котором принимает наибольшее значение. Величина ̅, будучи функцией от результатов наблюдений ,, -, … , ", называется оценкой наибольшего правдоподобия.

В многих случаях, когда дифференцируема, оценка наибольшего правдоподобия находится как решение уравнения

= 0

Которое следует из необходимого условия экстремума. Поскольку

достигает максимума при том же значении , что и , то можно решать относительно эквивалентное уравнение

= 0

Это уравнение называют уравнением правдоподобия. Оценку, получаемую в результате поиска максимума функции правдоподобия, называют еще оценкой максимального правдоподобия.

Оценки максимального правдоподобия всегда состоятельны, но бывают смещены, но не асимптотически

21. Понятие о доверительном интервале. Доверительный интервал для математического ожидания (случай большой выборки).

21.1 Понятие о доверительном интервале

Пусть случайная величина имеет неизвестную характеристику . По результатам наблюдений ,, -, … , " определяют две величины =

( ,, -, … , ") и ̅= ̅( ,, -, … , "), такие, что 4 < < 5 = , где –

наперед заданная вероятность. Величины и ̅называют соответственно нижней и верхней доверительными границами, а интервал 4 , ̅5 –

доверительным интервалом для , соответствующим уровню надежности Замечание:

Доверительный интервал можно построить исходя из точечной оценки характеристики

Пусть для известна точечная оценка ¹. Подберем N такое, чтобы выполнялось равенство

считать вероятностью практически достоверного события, тогда соответствующий доверительный интервал можно считать практически возможным значением или интервалом значений , которые согласуются с опытными данными

21.2Доверительный интервал для математического ожидания (случай большой выборки)

Пусть случайная величина имеет неизвестные ( ) и ( ), причем

( ) < ∞. ,, -, … , " – результаты независимых наблюдений

Если число наблюдений достаточно велико, то по ЦПТ можно утверждать, что

Подставив в исходное неравенство, получим:

º ¦ − N» ( ) < ( ) < ¦ + N» ( )¼ =

Если дисперсия известна, то данное выражение решает задачу Если дисперсия неизвестно, то можно взять

"

( ) ≈ - = −1 1 J12,( 1 − ¦)-

Тогда получаем следующий доверительный интервал

… ¦ − N √ < ( ) < ¦ + N √ † =

22. Понятие о доверительном интервале. Доверительный интервал для математического ожидания (случай малой выборки).

22.1 Понятие о доверительном интервале

Пусть случайная величина имеет неизвестную характеристику . По результатам наблюдений ,, -, … , " определяют две величины =

( ,, -, … , ") и ̅= ̅( ,, -, … , "), такие, что 4 < < 5 = , где –

наперед заданная вероятность. Величины и ̅называют соответственно нижней и верхней доверительными границами, а интервал 4 , ̅5 –

доверительным интервалом для , соответствующим уровню надежности Замечание:

Доверительный интервал можно построить исходя из точечной оценки характеристики

Пусть для известна точечная оценка ¹. Подберем N такое, чтобы выполнялось равенство

считать вероятностью практически достоверного события, тогда соответствующий доверительный интервал можно считать практически возможным значением или интервалом значений , которые согласуются с опытными данными

22.2Доверительный интервал для математического ожидания (случай малой выборки).

Вэтом случае необходима информация о законе распределения. Рассмотрим ~ ( ; -) и - неизвестны

Можно воспользоваться свойством устойчивости нормального закона распределения, т.е. сумма независимых нормально распределенных случайных величин, также имеет нормальный закон распределения

Тогда ¦~ ‡ ( ), J(?)" ˆ и, если известна ( ) = -, то задачу решает формула:

º ¦ − N» ( ) < ( ) < ¦ + N» ( )¼ =

Если ( ) = - – неизвестно, то использовать ее оценку - очень ненадёжно

Английский статистик Стьюдент (У. Госсет) доказал, что если~ ( ; -), где и - неизвестны, то

= √ ( ¦ − )

Имеет закон распределения, который независим от и , а зависит только от числа − 1, которое принято называть числом степеней свободы.

Стьюдент нашел функцию плотности вероятности "&,( ). С ее помощью были вычислены вероятности и результаты сведены в таблицу.

A.

4| | < N5 = g "&,( ) =

&A.

Или

… ¦ − N √ < ( ) < ¦ + N √ † =

Вэтой формуле N находится по таблице распределения Стьюдента

23. Статистическая гипотеза. Статистический критерий. Критерий “хиквадрат”.

23.1 Статистическая гипотеза

Статистической гипотезой называют любое утверждение о законе распределения случайной, величины, его параметрах, о числовых характеристиках и т.д., которое может быть проверено на основе опытных данных

23.2 Статистический критерий

Статистическим критерием называется правило, которое указывает, когда гипотезу следует принять, а когда отвергнуть

Построение статистического критерия сводится к выбору в выборочном пространстве критической области 9, при попадании выборки в которую гипотеза отвергается. Обычно в критическую область включают самые маловероятные при данной гипотезе выборки

Пусть , – результат одного наблюдения( , 9) = – вероятность отвергнуть правильную гипотезу

Эту вероятность называют уровнем значимости критерия Критерии для проверки гипотезы о законе распределения случайной

величины обычно называют критерием согласия.

В общем случае выборочное пространство делят на две части:

9 – включает все самые маловероятные выборки при данной гипотезе. Если выборка = { ,, -, … , "} попадает в 9, то гипотезу отвергаем, при этом вероятность ошибиться, когда гипотеза на самом деле верна, равна

Если выборка не попадает в критическую область, то ее принимаем

23.3 Критерий “хи-квадрат”. (К. Пирсон)

Пусть результаты наблюдений случайной величины заданы статистическим рядом:

Пусть выдвигается гипотеза, что случайная величина имеет распределение ( ), то

?%/!

( 1, 1>,) = ( 1>,) − ( 1) = g ( ) = 1

?%

Предположим, что гипотеза верна и выпишем вероятности попадания в каждый из интервалов ( – достаточно велико)

Если гипотеза верна, то P"% ≈ 1

Величина

свободны:

= −

– число связей, наложенных на величины 1

Связью называется всякое равенство, в котором учувствует 1