Ekz_progr_po_TViMS_dlya_IE (1)
.pdf
24. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий.
24.1 Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий
Пусть |
случайная |
|
величина |
|
имеет |
|
неизвестное |
математическое |
|||||||||||||||
ожидание и неизвестную дисперсию |
имеет |
|
неизвестное |
математическое |
|||||||||||||||||||
Пусть |
случайная |
|
величина |
|
|
||||||||||||||||||
|
( ( ) < ∞) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ожидание и неизвестную дисперсию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
– результаты |
|
независимых наблюдений |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( ( ) < ∞) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
, , … , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
,, -, … , "– результаты |
|
независимых наблюдений |
|
||||||||||||||||||||
, |
|
- |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
достаточно велики, хотя бы несколько десятков, тогда |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¦ |
|
|
∑12," 1 |
≈ ( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¦ |
|
|
∑32," 3 |
≈ ( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
( ) = ( ) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
| − | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если |
|
|
|
, то |
|
|
|
|
|
– относительно мало |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
¦ ¦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
| − | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Большие значения |
|
|
|
¦ |
|
говорят против гипотезы |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
¦ |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
† |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
~ … ( ); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¦ |
|
|
|
( |
) |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Используем свойство устойчивости~ … ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
нормального† |
закона распределения |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
¦ ¦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
− ~ • ( ) − ( ); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
||||||
Если гипотеза верна, то |
− ( ) = 0 |
|
поэтому |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
¦ − ¦~ •0; ( ) + ( )–
Запишем для нормального закона распределения стандартную формулу
¦ ¦ |
|
|
|
|
|
( ) |
|
||||
(| − − 0| < ) = 2Φ |
Ÿ |
+ |
( ) |
||
|
|
|
|
||
Перепишем в виде:
¦ |
¦ |
|
|
= 1 − 2Φ |
|
|
|
|
|
|
|||
(| − | > ) |
|
Ÿ ( ) + ( ) |
|
Φ4 R5 = ,&R- |
|||||||||
|
|
|
R |
|
|
1 − 2Φ4 R5 = |
или |
||||||
По таблице найдем такое |
|
|
, чтобы |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда, если |
S |
= R |
, то |
|
|
J(?) |
J(M) |
|
|
|
|||
O*(#,)>*(0)1 |
|
|
= RŸ |
" + |
! |
|
|
|
|||||
Подставим
| ¦ − ¦| > R» ( ) + ( )
Если дисперсия неизвестна, то ( ) = 7-, а ( ) = L-
- -
| ¦ − ¦| > R» 7 + L
25. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей.
25.1 Проверка гипотезы о равенстве вероятностей
Пусть некоторое событие в серии из , независимых опытов произошло , раз, а в серии из - независимых опытов это событие имело место - раза. Пусть каждая серия состоит из достаточно большого числа опытов (хотя бы несколько десятков). Требуется проверить, что вероятность появления события в каждой серии одинакова и равна
Если эта вероятность равна , а число опытов в каждой серии достаточно
велико, то по ЦПТ частоты 4! и 4" в этих сериях имеют примерно нормальный
"! ""
закон распределения: ‡ ; D(,&D)ˆ и ‡ ; D(,&D)ˆ соответственно. Поэтому, в
"! ""
силу устойчивости нормального закона распределения, разность частот 4! − 4"
"! ""
имеет закон распределения
•0; (1 − ) … |
1 |
+ |
1 |
|
, |
|
-†– |
||
Заметим, что большие различия в |
|
частотах появления события |
||
|
|
|
||
свидетельствуют против гипотезы. Поэтому к критическим следует отнести те
серии наблюдений, для которых |
4! |
4" |
|
, |
где |
|
|
– некоторая |
||||||||
положительная постоянная. Если уровеньÇ"! −значимости""Ç > |
выбрать |
равным , то |
||||||||||||||
постоянная |
|
определяется из равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
, |
- |
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
|
|||
…œ , |
− -œ > † = 1 − 2Φ |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Ÿ (1 − ) ‡ , |
+ |
|
-ˆ |
|
|
|
, |
|||
Если по таблице функции |
Лапласа найти |
|
такое, что |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то к критическим следует отнести те серии |
наблюдений,H |
в которых Hмодуль |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 − 2Φ( ) = |
|
|||||||||
разности частот больше величины |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
H» (1 − ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
… , |
+ -† |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В последнем равенстве в качестве оценки неизвестной вероятности
можно взять величину ² = 4!>4"
"!>""
26.Проверка гипотез о параметрах распределения. Лемма Неймана - Пирсона.
Пусть случайная величина имеет функцию распределения ( , ), тип
которой известен, а значение параметра неизвестно Для известно только множество допустимых значений Θ
Параметрической статистической гипотезой 9 называют утверждение, что 9 , против альтернативы ,, что 9 Θ\
Гипотезу называют простой, если она однозначно определяет закон распределения, в противном случае гипотезу называют сложной
T4 95 – вероятность попасть в критическую область 9 при значении параметра . Эта вероятность как функция параметра называется функцией мощности критерия 9
Для любого критерия 9 возможны ошибки двух типов:
-T24 95 = – вероятность ошибки 1-го рода (отвергнуть правдоподбную гипотезу
-1 − T!4 95 = – вероятность ошибки 2-го рода (принять ложную гипотезу 9)
|
|
Если |
, |
|
4 |
- |
5 ≤, то |
4 |
, |
5 |
, |
при |
|
и |
|
4 |
- |
5 > |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
||||||||||||||||
4 5 |
T2 |
|
9 |
|
T2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
T2 |
|
9 |
|
|||||||
, при |
Θ\ |
|
критерий |
|
называют более мощным, чем |
||||||||||||||||||||||
T2 |
|
|
9 |
9 |
|
|
|
9 |
|||||||||||||||||||
9, |
|
Гипотеза, |
однозначно |
определяющая |
|
вероятностное |
распределение, |
||||||||||||||||||||
называется простой, а противном случае ее называют сложной. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Пусть необходимо проверить гипотезу |
|
|
|
} |
против альтернативы |
||||||||||||||||||||
: = |
. Рассмотрим выборку |
{ , , … , |
функцией плотности |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9: = c9 |
|||||||||||||||||||
наблюдения |
( , , … , ) = ( , ) ∙ ( , ) ∙ … |
∙ ( , ) |
– |
|
если |
||||||||||||||||||||||
вероятности, , |
независимы, - |
" |
|
|
|
|
, |
- |
- |
" |
|
|
" |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Согласно сформулированным требованиям относительно ошибок первого и второго рода, критическую область следует выбрать так, чтобы при заданном вероятность
T24 95 = g … g ( ,, -, … ", ) ,, -, … " =
C2 C2
И при этом вероятность
1 − T! 4 95 = 1 − g … g ( ,, -, … ", ) ,, -, … " =
C2 C2
Была наибольшей Две функции называют взаимно абсолютно непрерывными, если при
каждом значении они, либо обе равны 0 либо обе не равны 0 одновременно
26.1 Лемма Неймана – Пирсона |
|
( , , … , |
) |
|
|
|
|
|
||||||||||
непрерывны, ( , , … , ) |
и |
взаимно |
|
абсолютно |
||||||||||||||
|
Если |
, |
- |
" |
|
9 |
|
, - |
" |
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
то для любого |
|
|
|
|
можно указать такое |
|
|
, что в |
||||||||
выборочном пространстве, |
для которого выполняется неравенство |
|
|
|||||||||||||||
|
(0 < < 1) |
|
≥ |
|
|
|
|
> 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
( ,, -, … ", ,) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Образуют |
наиболее |
( , , … , ) |
|
для |
проверки |
гипотезы |
|||||||||||
Ì |
|
мощный, - |
"критерий9 |
|
|
|||||||||||||
против |
при вероятности ошибки первого рода равного |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
9: = 9 |
|
|
|
|
|||||||||||||
,: = ,
Обоснование:
Согласно лемме в критическую область в первую очередь включаются выборки, для которых отношение правдоподобия наибольшее
Такие |
выборки |
в |
∫ |
… ∫ |
, , … , , , … |
" |
вносят |
|||||
C2 |
C2 |
( |
, - |
" ) |
, |
- |
|
|||||
наименьший |
вклад, |
а |
в |
1 − |
∫ |
… ∫ |
, , … , , , … |
|||||
|
C2 |
C2 |
( , - |
|
" ) |
, |
- |
" |
||||
наибольший, делая тем самым максимально возможным. Эти выборки вносят в критическую область, пока их суммарная вероятность не будут равна
27. Понятие о методе “Монте-Карло”. Случайные числа. Моделирование
случайных величин с помощью случайных чисел.
|
|
" |
1 |
|
1 |
1 |
||
|
= 2 J( + − ) = 0 |
|||||||
|
12, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
= 2 J( 1 + − 1) = 0 |
|||||||
|
|
12, |
" |
1 |
" |
1 1 |
||
|
|
" |
1- |
|
||||
|
J |
+ J = J |
||||||
|
12, |
" |
|
12, |
|
12, |
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
J 1 + = J 1 |
||
|
12, |
12, |
1 |
|
² = ∑12," |
1 1 − ∑12," |
|