2.МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

§1. Интегрирование разложением и введением под знак дифференциала

I.Непосредственным интегрированием называется вычисление неопределённого интеграла с помощью его свойств, тождественных преобразований подынтегральной функции и таблицы основных интегралов. Использование при этом свойства линейности неопределённого интеграла называется методом разложения вычисления интеграла.

Примеры

1.Найти интеграл 5 x 9 dx.

Решение:

Замечание. Здесь и далее произвольные постоянные, входящие, по определению, в каждый из слагаемых неопределённых интегралов, объединяются в одну произвольную постоянную.

11

II. Интегрирование введением под знак дифференциала

Известно, что дифференциал функции равен произведению производной этой функции и дифференциала её аргумента: x dx d x . Переход в этом равенстве слева направо называют подведением множителяx под знак дифференциала.

Пусть требуется найти интеграл вида f x x dx. Подводя в этом интеграле множитель x под знак дифференциала, а затем используя свойство инвариантности формул интегрирования, получим

f x x dx f x d x F x C, если f x dx F x C.

Это и есть метод интегрирования введением под знак дифференциала. Он используется для интегрирования сложных функций и состоит в том, что аргумент сложной функции записывается под знак дифференциала. После введения аргумента под знак дифференциала нужно разделить подынтегральное выражение на производную этого аргумента.

Решение:

Перенесём степень из знаменателя в числитель и запишем аргумент2x 3 сложной степенной функции под знак дифференциала

Теперь используем свойство инвариантности и применим формулу I таблицы относительно переменной интегрирования

12

§ 2. Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки)

Пусть требуется найти интеграл f x dx , причём непосредственно подобрать первообразную для f x мы не можем, но известно, что она существует.

Произведём замену переменной в подынтегральном выражении, положив x t , где t – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. После этого получим новый интеграл, который проще приводится к табличному. Правильность такой замены переменной подтверждается теоремой.

Теорема. Пусть x t – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющаяобратнуюфункцию, тогдаимеетместоследующееравенство

(2.1)

Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через x на основании равенства x t .

Доказательство. Для того чтобы установить, что выражения, стоящие справа и слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по x равны между собой.

Находим производную от левой части:

f x dx x f x .

Правую часть равенства (1) будем дифференцировать по x как сложную функцию, где t – промежуточный аргумент. Зависимость t от x выража-

13

Таким образом, имеем

f t t dt x f t t dt t dxdt

Главное в методе замены переменной – выбор удачной подстановки. Этот метод является одним из основных методов интегрирования.

14