15. Теорема Коши о голоморфном решении

Опр Функция назыв голоморфной в (*), если она разложима в некоторой И(*) в степенной ряд по степеням: f(x) = + (x-x0)^k , f является вещес-ой аналит-ой: f ∈

Теорема: Если (1) y’=f(x,y) голоморфна, в (*)=(0,0), то задача Коши имеет ! решение, которое является голоморфным в (*)

ДОК-ВО: (Нужно док-ть, что ряд сх-ся и построить формальное решение)

1) Построение формального решения

По условию теоремы: f(x,y)= xⁱy^j

Будем искать решение в форме: x = φ(x) = xⁱ

Из нулевых начальных данных получаем φ(0) = 0 =>

Подставляем формальный ряд в ур-ие и прировняем коэф-ты при одинак. степенях x: φ’(x) = f(x, φ(x)) => x^k-1 = xⁱ ( )^j

(1) => x0: =α00, x1: =α01+ α01 , x2: = α20+α01 + α11 + α02 ... и тд => ∞-ая сист ур-ий относит-но определяется однозначно => формальное решение построено. Из единственности опр-ия => если голоморфное решение задачи Коши , то оно единственно.

2) Сходимость

Построим мажорирующий ряд

Т.к. f ∈ , то =(x0, y0) обладает некоторой окрестность И(|x-x0|<a, |y=y0|<b). Пусть ∈ (0,a), ∈ (0,b).

Из абсолютной сх-ти => огранич-ть членов ряда:

|α_ij | M=> |α_ij| α^*_ij =

***По теор Абеля из сх-ти степ ряда в (*) ( ) следует его сх-ть в комплексном поликруге. ***

=> в поликруге |x|< , |y|< : |f| ∑ α^*_ij |x|ⁱ |y|^j = M . Просуммировав произведение двух геометр. прогрессий =

Рассмотрим (2) ур-ие y’=g(x, y) = = M

Это ДУ с раздел переменными:

(1- )dy= =>

Это решение y= (x) раскладывается в степенной ряд в И(x0=0) с коэф-ми

Подстановка y= (x) в мажорантное ур-ие (2) дает тождество по х.

и α^*_ij отличаются от коэф-ов в (1) лишь обозначениями => получаем ту же сист.реш-ий.

Покажем, что сх-ся ряд = (x) является мажорирующим для форм-го ряда: = 00 => | | = | 00| 00 =

2| | = | 01| + | 01|| | 01 + 01 = 2 => | | и тд

=> ряд сх-ся и явл-ся искомым решением задачи Коши

_________________________

Поликруг – область C-пр-ва, явл-ся топологическим произведением n-кругов.

Пусть f-вещест-ая, аналич-ая: f ∈ : обладает окрестностью И( |x-x0|<a, |y=y0|<b ), в которой f: f(x,y)=

13. Метод малого параметра.

Рассмотрим уравнения

Пусть т.е. малое отклонение от .

При фиксировании начальных данных ( ) решение задачи Коши определено в прямоугольнике

Будем считать, что задана и непрерывна на замыкании (наименьшее замкнутое множество, содержащее Р)

Пучок интегральных кривых , где находится в G. При получаем решение

Вычислим функцию φ₁(t) = ∂φ/∂μ|_μ=0 для оценки скорости изменения решения по параметру.

Продифференцируем тождество

(t ∈ I, |μ| < ε).

Поменяем в левой части порядок дифференцирования по и положим

Определим A(t) как:

Функции A(t) и b₁(t) непрерывны на I и решение дается формулой:

, a(t, τ) :=

Приближение φ(t,µ)≈φ₀(t)+φ₁(t)µ позволяет по коэффициенту φ₁ судить о чувствительности решения к малому возмущению параметра µ. В приложениях зачастую этого достаточно.