Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4634 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Тверской Государственный Университет
Предмет:
Теоретическая механика
Файл:

Пособие по решению задач (1)

.pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
23.03.2024
Размер:
2.26 Mб
Скачать
☆

v const. Ч.Т.Д

№ 5. Точка описывает окружность радиуса R

. Ускорение точки образует с

её скоростью постоянный угол

 

2

. За какое время скорость точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

увеличится в n раз, если в начальный момент v0

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из рис. 1 видно, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

ctan

.

 

 

 

 

tan

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

w

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

2

 

 

 

 

По определению:

wn

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

v

2

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

ctan .

 

Рис. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кр

 

 

 

 

Мы приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными, решаем его:

nv0

dv

 

 

 

ctan

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt,

v2

 

R

 

 

v0

 

 

 

 

 

 

кр

0

 

 

1

nv

0

 

ctan

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

R

 

 

t,

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

кр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

Ответ:

n 1

 

ctan

t t

n 1

Rкр

,

nv0

 

Rкр

n

 

v0ctan

 

 

 

t

n 1

R

.

 

кр

 

 

 

 

 

n

v

ctan

 

 

 

0

 

 

 

№ 6. Точка движется по дуге

x a

2

 

y

 

 

2

b

 

 

 

2 2

1

. Вектор ускорения точки во все

время движения направлен параллельно оси

тот момент, когда её ордината равна

b

 

x 0 0, y 0 b,v 0 v0 .

 

Oy

2

,

 

. Найти ускорение точки в если в начальный момент

Решение:

Сделаем схематичный рисунок

Рис. 2.

из условия задачи

x2

 

y2

1 x a

1

y2

, так как w || Oy, то x 0 x v0.

a2

b2

b2

 

 

 

 

 

Продифференцируем следующее соотношение: 12

d x

2

 

y

2

 

 

 

2xx

 

2 yy

 

xx

 

yy

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

0

 

 

2

b

2

 

a

2

b

2

a

2

b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

dt a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продифференцируем соотношение:

y

b

a

 

2 2

x

v

.

 

y

0

 

 

 

d xx

 

yy

 

 

x

2

 

y

2

 

yy

 

b

2

v

2

 

y

2

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0 y

 

0

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

a

2

 

b

2

 

 

a

2

 

b

2

 

b

2

 

y

a

2

 

b

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В точке

y

b

2

получается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

b

2

 

 

 

a

3

 

 

 

 

 

b

2

x

 

 

 

 

b

 

 

 

 

x a

1

 

 

a

1

 

 

 

 

y

 

 

v

 

 

3v

 

 

 

b

2

4b

2

 

 

2

a

2

y

0

a

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2

v2

 

y2

 

 

v2

 

3v2

 

 

 

 

8bv2

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

0

 

 

 

 

 

 

2b

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

b

2

 

 

2

a

2

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8bv

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

y

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 7. Точка движется в плоскости Oxy . Величина v скорости точки и угол

, составляемый скоростью с осью Ox , являются извесстными функциями

времени

t . Используя плоскость годографа вектора скорости, найти

нормальное w n

и тангенциальное w

ускорения точки.

13

Решение:

Обратимся к чертежу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответствующие проекции вектора скорости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

x

v cos ,v

y

vsin

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем проекции ускорения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

dv

 

 

v

d cos

 

dv

 

 

vsin

 

 

 

d

,

x

dt

cos

 

 

 

dt

 

 

 

 

dt

cos

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

dv

 

 

 

v

dsin

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

.

 

y

dt

sin

 

 

dt

 

 

 

dt

sin

 

 

v cos

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем тангенциальное ускорение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

w v w x vx w y vy

 

 

 

 

 

cos vsin

 

v cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin v cos

 

 

 

 

vsin

 

 

 

 

v=w v

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

dv

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь найдем нормальное ускорение

14

где

w

Ответ:

 

2

+w

w

 

x

 

w

 

 

dv

,

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

w

 

w

,

 

 

 

 

2

2

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

 

2

 

 

dv

 

 

 

 

2

2

 

cos

vsin

 

 

 

sin

 

vcos

,

y

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

n

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

n

v .

 

 

№ 8. Планета движется по эллиптической орбите, уравнение которой в

полярных координатах имеет вид:

 

p

. Найти зависимость

e cos

 

1

 

радиальной w и трансверсальной w компонент ускорения планеты от

,

используя закон площадей 2 c const .

 

Решение:

Компоненты ускорения в полярной системе координат представляются в виде:

 

 

2

,

1 d

2

 

,

w

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

здесь

w

– радиальная компонента ускорения:

w

 

2

,

 

 

w –

трансверсальная компонента ускорения: w 1 d 2 . По условию задачи:

dt

15

2 c const w 0.

2 const c , 2 4 2 4 2 , 2 2 4 3

здесь

– секторная скорость. Так же по условию задачи дано, что

 

 

p

 

 

 

.

Проведем некоторые тривиальные преобразования

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

d 2

 

 

 

d

 

 

d 1

 

 

2

 

 

d

2

 

1 4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

d

 

d

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

d

2

 

 

 

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

d

 

d

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1 4

2

4

2

 

4

2

d

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

d

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Легко показать,

 

 

2

 

 

2

 

.

Итого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

2

 

 

d

2

 

1 ecos

 

 

 

 

1 ecos

 

c

2

 

 

 

ecos

 

1 ecos

 

 

 

c

2

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

w

 

 

 

 

 

,

 

 

w

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 9. В некотором приближении орбиту Меркурия можно представить плоской розеткой, уравнение которой в полярных координатах имеет вид

 

p

,

e cos

1

 

где const

1

. Используя закон площадей

2 c const ,

найти зависимость ускорения планеты от .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем трансверсальную компоненту ускорения: w

 

 

1 d

 

2

 

. Из

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

закона сохранения площадей следует, что w 0, тогда

16

 

 

 

 

 

 

 

 

w w

 

 

 

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d d

 

d

c

 

 

d

 

d

1

c

 

 

 

 

d

 

 

1

c

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt d

 

d

2

 

 

d

 

 

 

2

 

 

2

 

d

2

 

 

 

2

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

2

d

2

 

 

1

 

 

c

3

 

c

2

d

2

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

2

d

2

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы получили, так называемую формулу Бине для ускорения. Преобразуем

данное нам по условию уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

e

cos

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

p

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

1

 

 

e

sin ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

e

 

 

 

 

 

 

cos

2

p

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

p

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

p

.

 

 

2

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итого задача решена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

 

2

 

1

2

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 10. Движение точки в плоскости задается в полярной системе координат

составляющими скорости vr r12

и

v

1 ar

, a const . Найти траекторию

точки, а также радиальную wr и трансверсальную w составляющие её ускорения.

Решение:

Запишем компоненты скорости в полярной системе координат:

17

из условия задачи

r

1

r

2

 

,

v

r

 

r

r

1 ar

,v

r ,

 

 

, откуда вытекает, что

r

a

.

Интегрируя, получаем:

r

 

 

dr a d ,

 

r

 

0

 

0

 

 

r r

a

,

0

 

0

 

r a 0 r0.

Запишем компоненты ускорения в полярной системе координат

т.к., r

Ответ:

1

r

2

 

r

,

r 2

w

a

 

 

 

 

w

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

r,

r

 

,

r

3

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

 

2

 

 

r

r

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2r

 

r

, w

r

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

rr 2 , w r 2r ,

r , получаем: a

r

 

r

r

2

 

2

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

 

 

 

 

 

r

5

 

 

2

r

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

r

r

 

 

2

 

r

 

2

 

r

2

 

r 0.

a

ar

2

ar

2

ar

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

, w

 

0.

 

 

 

 

 

r

5

 

2

r

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ 11. Точка движется в плоскости с постоянной радиальной составляющей

скорости vr c 0 и радиальной составляющей ускорения

w

 

 

a

r

r

 

 

 

 

 

2 3

,

a const . Найти траекторию точки, если в начальный момент t 0 заданы

r r0 и 0 .

18

Решение:

По условию, дано: vr

const

 

 

 

a

2

 

 

 

 

w

 

 

 

r r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

r a

 

.

Ответ:

 

0

 

 

 

 

 

 

a cr

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

, следовательно

r 0,

r

2

 

a

 

d dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

2

 

 

 

 

dr

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c d a r2

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c 0 a

 

 

1

 

 

1

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

a cr

 

 

 

 

 

1

,

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

r a

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a cr

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда

 

a

cd dr

a

,

r

2

r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

,

№ 12. Найти радиус кривизны скорость и ускорение.

Rкр

траектории точки, если известны её

Решение:

По определению: w

dv

τ

v2

 

n . Умножим это выражение векторно на

dt

Rкр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

вектор скорости

v vτ

w v

τ v

 

v

 

n v ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rкр

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

v

3

 

 

 

 

 

v

3

 

w v

τ vτ

 

v

 

 

n τ

 

 

n τ Rкр

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rкр

 

 

Rкр

 

 

w v

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

v

3

 

R

 

 

.

w v

кр

 

 

 

 

 

 

№ 13. При движении точки её радиус –

связаны соотношением

w a

 

v r

, a

 

 

траектории.

 

 

 

 

вектор

const

r , скорость v и ускорение w

0. Найти радиус кривизны

Решение:

Из векторного произведения

w a

 

v r

 

 

что w v . Это говорит нам о том,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

2

 

что тангенциальная составляющая ускорения отсутствует. Т.е. w

 

n, или

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кр

 

в скалярном виде

 

v

2

 

w

 

 

R

 

 

 

 

 

кр

 

 

 

v

2

R

 

 

 

 

кр

 

w

 

 

v

2

 

a v r

.

Ответ:

 

 

v

2

 

R

 

 

.

a v

r

кр

 

 

 

 

 

 

№ 14. Найти скорость точки и проекции её ускорения на касательные к координатным линиям для следующих криволинейных ортогональных координат: координаты эллиптического цилиндра и координаты вытянутого эллипсоида вращения.

а)

координаты эллиптического цилиндра u,v, z :

Решение:

x a ch u cos vy a sh u sin v .

z z

20

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности