Пособие по решению задач (1)
.pdfРешение:
Обратимся к чертежу
Рис. 9. |
Рис. 10. |
По условию, соответсвенно: |
|
0 |
t, l,0 , r |
|
0 |
|
|
|
ω 0,0, , r v |
|
v |
,0,0 |
|
. |
Запишем выражения для абсолютной скорости и ускорения точки
B
:
v r |
|
|
ω r |
|
r , |
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w w |
o |
|
|
|
ω |
ω r |
2 ω r |
|
r . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Центр O |
|
неподвижен, |
а это значит |
r |
0 w |
o |
0 |
. Т.к. ω const , то ε 0 . |
||||||||
|
o |
|
|
|
||||||||||||
Скорость точки B постоянна, |
следовательно |
r 0 . |
С учетом условий, |
|||||||||||||
представленных выше, перепишем выражения для v и w |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v ω r r , |
|
|
|
|
|
wω ω r 2 ω r .
Найдем соответствующие определители
ex |
ey |
ez |
ω r 0 |
0 l ex v0t ey , |
|
v0t |
l |
0 |
31
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
e |
y |
e |
z |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ω r |
0 |
|
0 |
|
v e |
y |
, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
e |
y |
|
e |
z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v |
|
|
2le |
|
|
|||||
ω |
ω r |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
te |
x |
y |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
l |
|
|
v |
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражения для абсолютной скорости и ускорения
v l v |
e |
|
v |
t e |
|
v= |
l v |
2 |
2 |
2 |
2 |
, |
|
|
|
x |
y |
0 |
v |
t |
|
|
|
||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||||||
w 2v0tex l 2v0 ey w= 2v02t2 l 2v0 |
2 . |
Задача решена.
Ответ:
v= |
l v |
2 |
2 |
2 |
2 |
, |
0 |
v |
t |
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
2 |
2 |
t |
2 |
l 2v |
|
2 |
. |
w= |
v |
|
0 |
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
№ 20. Стержень вертикальной оси
OA
Oz
вращается в горизонтальной плоскости относительно с постоянной угловой скорость (см. рис. 11). Колечко
P колеблется вдоль стержня по закону OP a 1 sin 0t . Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение колечка, пренебрегая его размерами.
Решение:
Обратимся к чертежу:
32
Рис. 11.
запишем выражения для абсолютной скорости и ускорения колечка
P
:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v r |
|
ω r |
|||
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
o |
|
ε r |
|
|
|
ω r |
|
w w |
|
|
|
ω |
|
r ,
2 ω r r .
Центр |
O |
неподвижен, а это значит ro 0 |
wo 0 |
. Т.к. ω const , то |
|
||||
|
|
|
|
|
По условию задачи, также известно, что ω 0,0, , r a 1 sin 0t
Найдем первую и вторую производную по времени от вектора r
ε 0 . ,0,0 .
dr |
r a cos t ,0,0 |
, |
||
|
|
|||
dt |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
d 2r |
|
r a 02 sin 0t ,0,0 . |
||
2 |
|
|||
dt |
|
|
|
|
С учетом условий, представленных выше, перепишем выражения для v и w :
v ω r r ,
wω ω r 2 ω r r .
33
Найдем соответствующие определители
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
y |
|
e |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
ω r |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
a 1 |
sin |
t |
|
|
|
e |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 1 sin |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
y |
|
e |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ω r |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
a cos t |
e |
y |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a cos |
t |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ω |
ω r |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 1 |
sin |
|
t |
|
|
e |
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
a |
|
1 |
sin |
|
|
t |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражения для абсолютной скорости и ускорения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|||||||
v a cos t |
e |
|
|
a |
1 sin |
|
|
t |
|
|
|
|
e |
|
|
v=a |
2 cos2 t |
2 |
|
1 sin t |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
sin t |
|
|
|
|
e |
|
|
2a cos t e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
w a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
w=a |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
sin t |
|
2 |
|
|
2 2 |
cos |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
v=a |
|
2 cos2 |
|
t |
2 |
|
|
|
1 sin |
|
t |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w=a |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
sin t |
|
2 |
4 |
2 |
cos |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
.
№ 21. Стержень OA совершает колебания
0 sin t .По стержню скользит колечко
в плоскости Oxy P . Пренебрегая
по закону
размерами
34
колечка, найти его абсолютную скорость и абсолютное ускорение, если
OP 12 at 2 .
Решение:
Обратимся к чертежу
Рис. 12.
Запишем выражения для абсолютной скорости и ускорения колечка
P
Центр
O
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v r |
|
ω r |
|
|||
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
ε r |
|
|
|
ω r |
|
|
w w |
o |
|
|
ω |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неподвижен, а это значит ro 0 wo
r ,
|
|
|
|
|
2 |
|
ω r |
|
r . |
0 |
. По условию задачи, также |
известно, что
r |
|
1 |
at |
2 |
,0,0 |
|
r |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ω0,0, 0 cos t ,
at,0,0 r a,0,0
.
тогда ε 0,0, 0 2 sin t ,
С учетом условий,
представленных выше, перепишем выражения для v и w .
35
v ω r r ,
wω ω r ε r 2 ω r r .
Найдем соответствующие определители
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
ey |
|
|
ez |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ω r |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 cos t |
at2 0 cos t ey , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at2 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
e |
y |
|
|
e |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ω r |
|
0 |
|
|
0 |
cos t |
at cos t e |
y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
e |
y |
|
|
|
|
e |
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
cos |
|
t e |
|
, |
|||||||||||||||
ω ω r 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
e |
y |
|
|
e |
z |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ε r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
|
sin t e . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
at |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражения для абсолютной скорости и ускорения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a2t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
v atex |
at2 0 cos t ey v= |
|
|
4 02 2t 2 cos2 |
t |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
1 |
|
at2 02 2 cos2 |
|
t а ex |
2at 0 cos t |
1 |
at2 0 2 sin t ey , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
w= |
|
2 02 2t 2 cos2 |
|
t 2 |
02 2t2 |
4cos t |
|
|
t sin |
t |
|
|
2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
Ответ:
w= |
а |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v= |
a |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
t |
2 |
cos |
2 |
t |
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
t |
2 |
cos |
2 |
t |
|
|
2 |
|
t |
2 |
|
4cos t |
t sin t |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
37
|
2 |
|
|
|
|
.
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
№ |
22. |
Частица |
массы |
m , |
движется |
по |
закону |
x asin |
|
t |
|
, y acos |
t |
|
, z t |
(винтовая |
линия). Показать, что силовое |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
поле, в котором происходит |
движение, |
можно задать соотношением |
||||||||
F m ω v , где |
ω k , v – |
скорость частицы, а k -орт оси Oz . |
Решение:
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
mr F,
в декартово прямоугольной системе координат приобрет вид:
Найдем производные
x
x
m(xe |
x |
ye |
z |
ze |
z |
) F. |
|
|
|
|
|||
x, x, y , y , |
z , z : |
|
|
|
|
a cos t , y a sin t , z ,
a 2 sin t , y a 2 cos t , z 0.
Отсюда следует
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m(a 2 sin |
t |
e |
x |
a 2 cos |
t |
e |
) F |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
Найдем векторное произведение: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
ex |
ey |
|
|
|
ez |
|
|
|
ω v |
0 |
0 |
|
|
|
a 2 sin t |
ex a 2 cos t ey |
||
|
a cos t |
a sin t |
|
|
|
|
|
m ω v F .
38
Ответ:
|
|
F m |
ω v . |
№ 23. Колечко A может скользить по шероховатому (коэффициент трения
равен |
f ) проволочному круговому кольцу радиуса |
R , расположенному в |
горизонтальной плоскости. В начальном положении колечку сообщили скорость v0 . Найти такое значение v0 , чтобы колечко вернулось в начальное положение с нулевой скоростью.
Решение:
Рис. 13.
Запишем второй закон Ньютона для данной механической системы:
mw F |
N |
R |
N |
F |
mg. |
ц.б. |
|
z |
тр |
|
Так как мы используем цилиндрическую систему координат, то запишем ускорение кольца в этой системе. – центробежная сила: сила инерции,
заложенная в левую часть уравнения.
39
r r r |
2 |
e |
|
|
1 d |
2 |
e |
, |
|
r |
|
r |
|||||
|
|
|
|
r dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r R const r 0, |
|
|
уравнение перепишется в виде:
r R |
2 |
e |
|
R |
d |
e . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Распишем основное уравнение динамики в проекциях на оси:
r : mR |
2 |
N |
, |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
: mR |
d |
fN , |
|||||
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
z : 0 N |
z |
mg, |
|||||
|
|
|
|
|
где N – равнодействующая реакции опоры будет равна:
сил реакции опоры. Равнодействующая силы
Теперь выразим
N
dt
N |
R |
|
|
|
через
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
v |
4 |
|
|
|
||||
N |
; |
N N |
2 |
N |
2 |
|
|
|
|
m |
g |
2 |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
z |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
z |
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dv |
|
|
|
|
2 |
v |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
f |
|
m |
|
|
m |
|
g |
2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d |
и перепишем наше уравнение: |
|||||||||||||||||||||||
v R |
d |
dt |
|
Rd |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dt |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2v |
dv |
2 f |
|
v |
4 |
|
2 |
|
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
||||||||
d |
|
|
g |
R |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv2 2 fd .
v4 g 2 R2
40