Графы Эйлера

Цикл Эйлера в графе проходит через каждое ребро лишь раз. Признание математической абстракции таковой возможно лишь при условии, что данная цикличность подтверждена. Граф Эйлера при этом должен быть связным и характеризоваться четностью вершин.

Теорема. Ориентированный граф признается математической абстракцией реальной системы Эйлера только при условии, что имеет место связность. При этом вершины должны подчиняться такому закону в виде равенства * = *.

Эйлер назвал графы в свою честь после исследования мостов в Кенигсберге, проведенного в 1736 году. Полученные ученым данные стали условным базисом в контексте развития соответствующей теории. Задача, касающаяся обозначенных мостов, включала в себя вводные в виде двух островов, соединенных семью конструкциями отмеченного типа. Вопрос сводился к определению возможности самого начала пути из точки на суше и пересечения каждого из мостов единожды для возврата в исходную область. Эйлером предложен следующий граф:

Деревья и леса

Если граф является связным и характеризуется отсутствием циклов, его называют деревом. Лес образуется при условии несвязности.

Теорема. T (V, E) – дерево, но только при условии связности, а также при выполнении равенства |E| = |V| - 1.

Теорема. В любом дереве имеется как минимум две висячие вершины.

Практическая часть

Задача № 1. Постройте граф с вершинами, представленными числами от одного до шести, а также с ребрами, соединяющими их, соответствующих условию вида «сумма значения вершин составляет до семи». Определите свойства соответствующей математической абстракции.

Задача № 2. Найдите кратчайшие пути от первой вершины до прочих в ориентированном графе с применением Dijkstra’s algorithm. Постройте соответствующее дерево.

Задача № 3. Постройте остовное дерево минимального веса посредством двух методов: Kruskal's algorithm и Prim's algorithm. С использованием матрицы Кирхгофа определите количество неизоморфных остовных деревьев, примените программы компьютерной математики.

Задача № 4. Рассмотрите неориентированный граф и обозначьте вершины, ребра посредством отличающихся символов. Также:

- определите локальные степени и окружения отдельных вершин в виде структур смежности;

- постройте матрицы инцидентности и смежности;

- изучите части графа. Предоставьте примеры суграфов, накрывающих один другой. Покажите подграф, включающий 3 вершины.

Уточните, сколько соответствующих абстракций можно найти в графе. Представьте примеры пересечений и объединений.

Задание № 1

Постройте граф отношения x + y <= 7 на множестве М = {1,..., 6}. Определите его свойства.

РЕШЕНИЕ. Построим граф G (X) c множеством вершин X = {X_i = i, i = 1,.., 6}. Предположим, что две вершины X_i и X_j соединяются ребром только тогда, когда X_i + X_j <= 7. Поскольку отношение x + y <= 7 симметрично, граф G (X) является неориентированным.

Здесь A_ij обозначает количество ребер, идущих из X_i в X_j. Поскольку наш граф является неориентированным, матрица смежности симметрична. Учитываем это.

Теперь построим матрицу инцидентности (ребер):

Здесь элемент R_ij равен 1, если вершина X_i образует инцидентность с ребром g_j (и 0, если иначе).

Построим матрицу расстояний:

Здесь элемент D_ij обозначает длину кратчайшего пути из X_i в X_j. Поскольку наш граф, что уже отмечено, является неориентированным, матрица расстояний симметрична.

Найдем вектор удаленности d, каждая составляющая которого определяется следующим образом: d_i = max_x j ∈ _X {d (x_i, x_j)} (максимальное расстояние от X_i до любой другой вершины). Так, d = (1, 2, 2, 2, 2, 2).

Центром является вершина X₁, ей соответствует наименьшая удаленность (1 = d₁ < d_j, j = 2,.., 6).

Периферийные вершины следующие: X₂, X₃, X₄, X₅, X₆. Им соответствует наибольшая удаленность (d_j = 2, j = 2,.., 6).

Радиус графа G (X) – это удаленность центра, r (G) = 1.

Диаметр G (X) – это удаленность периферийных вершин, Diam (G) = 2.

Найдем числа внутренней и внешней устойчивости графа. Наибольшее множество первой имеет вид S = {X₄, X₅, X₆} (при добавлении любых других вершин получаем соответствующие смежные компоненты). Так, число внутренней устойчивости графа G (X) равно Card (S) = 3.

Наименьшее множество внешней устойчивости имеет вид T = {X₁} (так как любая другая вершина соединена с X₁ из Т; она не принадлежит последнему). Число внешней устойчивости графа G (X) равно Card (T) = 1.