Задание № 3

Постройте остовное дерево минимального веса посредством двух методов: Kruskal's algorithm и Prim's algorithm. С использованием матрицы Кирхгофа определите количество неизоморфных остовных деревьев, примените программы компьютерной математики.

РЕШЕНИЕ. Построим остовное дерево минимального веса.

Prim's algorithm

Вводим в дерево ребро минимального веса (v, v, _{1, 6}) = 1. Берем вершины v₁ и v₆. Выбираем ребро, смежное с (v, v, _{1, 6}) (v, v, _{1, 4}) = 3. Добавляем конец – вершину v₄.

Далее выбираем ребро минимального веса, смежное с (v, v, v, _{1, 6}, ₄) (v, v, ₄, ₅) = 1. Добавляем конец – v₅.

Выбираем ребро минимального веса, смежное с (v, v, v, v, _{1, 6}, ₄, ₅) (v, v, ₄, ₂) = 3. Добавляем вершину v₂.

Выбираем ребро минимального веса, смежное с (v, v, v, v, v, _{1, 6}, ₄, ₅, ₂) (v, v, ₇, ₂) = 1. Добавляем конец – вершину v₇.

Выбираем ребро минимального веса, смежное с (v, v, v, v, v, v, _{1, 6}, ₄, ₅, ₂, ₇) (v, v, ₇, ₃) = 2. Как и ранее, аналогичным образом добавляем v₃.

Все вершины вошли в дерево. Вес следующий: 1 + 3 + 1 + 3 + 1 + 2 = 11. Kruskal's algorithm

Вводим в дерево ребра минимального веса: (v, v, _{1, 6}) = 1, (v, v, ₄, ₅) =1, (v, v, ₂, ₇) = 1. Также берем соответствующие вершины v₁ и v₆, v₄ и v₅, v₂ и v₇. Ребер единичного веса больше нет.

Вводим ребро веса 2. Но стремимся к тому, чтобы исключить цикличность. Берем (v, v, ₂, ₃) = 2, вводим v₃. Обозначенных ребер не осталось.

Теперь работаем с ребрами веса 3: (v, v, _{1, 4}) = 3; (v, v, ₂, ₄) = 3.

Все вершины включены в дерево. Вес следующий: 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3 = 11.

С помощью матрицы Кирхгофа найдем количество неизоморфных остовных деревьев. Построим матричную форму:

Используем теорему Кирхгофа: Число остовных деревьев связного графа порядка n ≥ 2 равно алгебраическому дополнению любого элемента соответствующей матрицы. Рассмотрим последнее для k₁₁, то есть определителя матричной формы:

Определитель равен 3612. Он обозначает количество искомых элементов.

Задание № 4

Обозначить вершины и ребра неориентированного графа с помощью разных символов, а также:

- определить локальные степени и окружения каждой вершины в виде структуры смежности;

- построить матрицу инцидентности;

- рассмотреть части графа. Предоставить примеры суграфов, накрывающих один другой. Показать подграф, включающий 3 вершины. Уточнить, сколько соответствующих абстракций можно найти в графе. Представить примеры пересечений и объединений.

РЕШЕНИЕ.

Считаем граф неориентированным.

Найдем локальные степени и окружения каждой вершины в виде структуры смежности.

Построим требуемую матрицу.

Элемент a_ij равен 1, если вершины x_i и x_j являются смежными. В противном случае значение – 0. Получаем:

Теперь рассмотрим части графа.

Суграф (граф с таким же множеством вершин):

Накрывающий суграф (без изолированных вершин):

Подграф, состоящий из трех вершин:

Подграфов из трех вершин в графе, состоящем из 7 вершин, будет C *.

Покажем примеры пересечения и объединения частей графа. Пусть даны две:

Тогда их объединение:

Их пересечение: