LR_TsOS_1_LDS

Когда фильтр собран, необходимо настроить ГТИ. Для снятия ИХ необходимо подать на вход ЛДС цифровой единичный импульс. Внутренние настройки ГТИ для данной операции: период - размер пачки системы (см. свойства системы, по умолчанию 4096); ширина импульса - 1. Далее открыть все окошки вольтметров, нажать «Обработка очередного отсчёта» (кнопка в виде зелёной стрелки в левом верхнем углу с цифрой «1» см. рис 8 ) и постепенно нажимая на эту кнопку снять десять отсчётов ИХ ( пример снятия первых трёх отсчётов импульсной характеристики см. на рисунках 9, 10, 11) После снятия 10-ти отсчетов ИХ ЛДС, необходимо запустить схему на непрерывное моделирование, нажав кнопку «Запуск» (или клавишу F5 клавиатуры), и снять АЧХ ЛДС в спектроанализаторе (запустив спектроанализатор кнопкой «Спектрограммы в контрольных точках»; линейный масштаб оси ординат спектроанализатора устанавливается отжатием кнопки “log S(F)”).

Рисунок 8. Меню «Спектр-2»

Рисунок 9. Снятие первого отсчёта ИХ

21

Рисунок 10. Снятие второго отсчёта ИХ

Рисунок 11. Снятие третьего отсчёта ИХ

Для снятия отсчётов выходного сигнала и спектров реакции и воздействия необходимо проделать те же действия, что написаны выше при изменённых настройках ГТИ: период остаётся тем же, а ширина импульсов ставится равной четырём.

Пример собранной схемы и графиков АЧХ системы, спектров входного и выходного сигнала показаны ниже.

22

Схема для ЛДС второго порядка представлена на рисунке 12, на котором отмечены:

1 - одно биквадратное звено;

1.1 - сумматор; 1.2-усилитель;

1.3 - элемент линии задержки;

2 - генератор цифровых единичных импульсов;

3 - спектроанализатор и осциллограф.

4- вольтметр

Рисунок 12. Схема ЛДС второго порядка с указанием отдельных элементов

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) представленная в линейном масштабе показана на рисунке 13.

Рисунок 13. АЧХ ЛДС второго порядка

23

Амплитудный спектр входного сигнала (прямоугольного импульса) представлен на рисунке 14 в линейном масштабе.

Рисунок 14. Амплитудный спектр воздействия ЛДС

Амплитудный спектр выходного показан на рисунке 15.

Рисунок 15. Амплитудный спектр реакции ЛДС на прямоугольный импульс

24

4 Содержание отчёта

Отчёт должен содержать:

1.Оформленный титульный лист. На нём должно быть указано полное наименование образовательного учреждения, кафедры, дисциплины. А также название лабораторной работы, её номер, ФИО и группа студента, выполняющего лабораторную работу, ФИО и должность преподавателя, проверяющего её, год выполнения лабораторной работы.

2.В отчёте необходимо написать свой вариант и цель лабораторной работы.

3.Результаты выполнения домашнего задания.

4.Заготовки к выполнению лабораторной работы в виде таблиц (заполнение первых двух столбцов таблиц 2 и 3 и всех столбцов таблицы 4, см. приложение), пустых осей и т.д., если это необходимо.

5.Выполнение лабораторной работы (схемы, графики, заполнение таблиц 2-5, см. приложение, экспериментальными данными и анализ полученных результатов)

6.Выводы.

Отчёт может быть оформлен как в рукописном, так и в печатном виде.

5 Теоретический материал

Системой обработки сигналов (системой) называется объект,

выполняющий требуемое преобразование входного сигнала (воздействия) в выходной (реакцию).

В соответствии с определением, системой можно называть как физическое устройство, так и математическое преобразование. По умолчанию под системой будем понимать математическое

преобразование.

Математической моделью системы называют ее соотношение вход/выход, которое устанавливает связь между входным и выходным сигналами.

Систему называют линейной, если она удовлетворяет принцип суперпозиции (реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на данные воздействия) и однородности (воздействию, умноженному на

25

весовой коэффициент, соответствует реакция, умноженная на тот коэффициент).

Систему называют дискретной, если она преобразует дискретное воздействие x n в дискретную реакцию y n .

Систему называют стационарной, если ее реакция инвариантна по отношению к началу отсчета времени (свойство инвариантности во времени). Параметры стационарной системы неизменны во времени; задержке воздействия соответствия такая же задержка реакции.

По умолчанию будем рассматривать стационарные линейные дискретные системы (ЛДС).

Нулевые начальные условия (ННУ) означают, что все значения воздействия и реакции, которые может помнить ЛДС в моменты времени, предшествующие началу воздействия2 n 0 , равны нулю:

т.е. воздействие и реакция в области отрицательного времени n 0 равны нулю.

Под моделированием ЛДС понимают вычисление ее реакции в соответствии с соотношением вход/выход, а под анализом ЛДС – анализ ее характеристик во временной, z- и частотной областях.

1. Описание ЛДС во временной области

Основной характеристикой ЛДС во временной области является импульсная характеристика (ИХ).

Импульсной характеристикой h n ЛДС называют ее реакцию на цифровой единый импульс n при ННУ

Соотношение вход/выход ЛДС, однозначно связанное с его основной характеристикой во временной области – ИХ, имеет вид линейного математического преобразования в виде формулы свертки:

где m – задержка последовательности.

2 Здесь и далее используется дискретное нормированное время n nT T .

26

Соотношение вход/выход ЛДС, однозначно связанное с его основной характеристикой в z-области – передаточной функцией, имеет вид линейного математического преобразования в виде разностного уравнения (РУ):

определяющие максимальные задержки.

В отличие от линейных аналоговых систем, где соответствующие соотношения вод, выход имеют вид интеграла свертки или линейного дифференциального уравнения, вычисление реакции по формуле свертки (29) или РУ (30) выполняется методом прямой подстановки при ННУ, т. е. эти соотношения непосредственно описывают алгоритмы вычисления реакции.

По виду РУ различают два типа ЛДС:

рекурсивная ЛДС, реакция которой зависит от текущего и предшествующих отсчетов воздействия и предшествующих отсчетов

реакции, т. е.:

ak 0 хотя бы для одного значения k;

нерекурсивная ЛДС, реакция которой зависит только от текущего и предшествующих отсчетов воздействия, т. е.:

ak 0 для всех k.

Рекурсивные и нерекурсивные ЛДС имеют соответственно бесконечную и конечную ИХ, отсюда их тождественные названия3:

БИХ ЛДС (IIR – Infinite Impulse Response);

КИХ ЛДС (FIR – Finite Impulse Response).

Импульсная характеристика КИХ ЛДС совпадает с коэффициентами bi

РУ (30):

2. Описание ЛДС в z-области

Основной характеристикой ЛДС в z-области является передаточная функция H z – z-изображение ИХ h n :

3 Строго говоря, рекурсивные ЛДС могут иметь и конечную ИХ, т.е. быть не БИХ, а КИХ системами. Например, ЛДС, построенная путем последовательного соединения фильтра интегратора и гребенчатого фильтра. Такая ЛДС известна как CIC фильтр первого порядка.

27

H z h n z n .

n 0

Передаточной функцией ЛДС называют отношение z-изображения

реакции к z-изображению воздействия при ННУ:

H z Y z X z .

Данное отношение легко получить, выполнив Z-преобразование РУ (30). Передаточная функция рекурсивной ЛДС имеет вид дробнорациональной функции:

Порядок нерекурсивной ЛДС равен N 1 .

Нулями передаточной функции называют значения z, при которых она равна нулю, а полюсами (особыми точками) – значения z, при которых ее знаменатель равен нулю.

Картой нулей и полюсов называют z-плоскость с нанесенной единичной окружностью и символически изображенными нулями и полюсами.

По карте нулей и полюсов можно сделать вывод об устойчивости ЛДС: полюсы устойчивой ЛДС располагаются внутри единичного круга с центром в начале координат [1].

Комплексно сопряженные нули z k1,2 и полюсы z k 1,2 представляют в

показательной форме, где аргументы – углы (в радианах) на комплексной z- плоскости:

28

k 1 1 z k z 1

где z k , z k – соответственно k-е нуль и полюс передаточной функции (32).

В общем случае нули и полюсы – попарно комплексно сопряженные

числа;

произведение множителей второго порядка:

где b0k , b1k , b2k , a1k , a2k – вещественные коэффициенты рекурсивных звеньев 2-го порядка, называемых также биквадратными; L – количество звеньев равное

Lint M 1 ,

2

где int – функция округления до ближайшего целого в сторону увеличения.

сумма простых дробей:

где z k – простой (не кратный) k-й полюс передаточной функции (32); Ak

29

соответствуют амплитудно-частотной и фазочастотной характеристикам ЛДС.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) отображает частотную зависимость отношения амплитуды реакции к амплитуде гармонического воздействия в установившемся режиме.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) отображает частотную зависимость разности фаз реакции и гармонического воздействия в установившемся режиме.

АЧХ и ФЧХ – периодические функции с периодом 2π в шкале частотˆ или f Д в шкале частот f (Гц).

АЧХ – четная, а ФЧХ – нечетная функция частоты.

АЧХ и ФЧХ рассчитываются в основной полосе частот [0; π] в шкале частот ˆ или [0; f Д 2 ] в шкале частот f (Гц).

30