Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MMATHAN05

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

3 (x3 −

1)2(5x6 − 2x3 − 3) + C.

√

= t

√

dx =

√

−

cos x dx =

1 + sin x

cos

sin

sin x = t2 − 1

1 + sin x

cos x dx = 2t dt

(t2

1)2

−

2t dt = 2 (2t2 − t4) dt = 2

t3 −

+ C =

=152 t3(10 − 3t2) + C = 152 √1 + sin x (1 + sin x)(7 − 3 sin x) + C =

=152 √1 + sin x(7 + 4 sin x − 3 sin2 x) + C.

√

= t

ex + 4

= x = ln(t

− 4)

2)(t + 4)

+ 4

√ e

dx =

2t dt

t(t

2t dt

2 dt

−

√

dt =

t − 2

+C =

+ 4 − 2

+C =

2 t

− t + 2

t + 2

−

(√

+ 2)2

+ C =

x − ln(√e

+ 4 + 2) + C.

ex + 4

x = 2 sin t

2 2

< t <

x2√

−

4 sin

2 cos t

−

= 2 cos t dt

√

1 − sin2 t

t + C =

+ C =

4 − x2

+ C

sin2 t

−4 ctg

−

4 sin t

x = a cos t,

0 < t < π,

dx =

10.

a sin t dt,

−

= tg

a + x

−

a − x dx =

cos t

−a

−a tg

−a

sin t dt =

2 sin

cos

2 sin2

dt =

= a (cos t − 1) dt = a(sin t − t) + C = a(

1 − cos2 t − t) + C =

= a2 − x2

− a arccos

+ C.

Задачи для самостоятельной работы

√

1.x2 3 1 − x dx.

3.	√	x5		dx.
3.	√	1	x2	dx.
		−

sin x cos3 x

5.1 + cos2 x dx.

7. √1dx+ ex .

9.1 − x2 dx.

√

dx.

2 − x

cos5 x · √

dx.

sin x

ln x dx

x√

1 + ln x

1 + x .

√x

arctg √x

10.

a + x

dx.

a − x

Ответы

						3				2				3																	√3										2
						3				2				3							4										√3										2
1.	−			140				(9+12x+14x )										(1		−	x) +C, замена													1	−	x = t. 2.				−	15			(32+
	−					2														−										1					−	2			4	−
						2																								1						2			4				2
8x+3x							)√2 − x+C, замена √2 − x = t. 3. −																								15	(8+4x					+3x )√1					− x +
																					2				4							2
+ C, замена √1 − x2 = t. 4.																								−					sin2 x +						sin4 x				√sin3 x + C,
+ C, замена √1 − x2 = t. 4.																						3		−			7		sin2 x +				11		sin4 x				√sin3 x + C,
							√							1						2	1									2											2
							√							1						2	1									2											2
замена									sin x = t. 5. −						2		cos x+						2	ln(1+cos x)+C, замена cos																			x = t.
	2											√																	√
6.				(ln x − 2) 1 + ln x + C,																	замена									1 + ln x = t.							7.		x − 2 ln(1 +
6.		3		(ln x − 2) 1 + ln x + C,																	замена									1 + ln x = t.							7.		x − 2 ln(1 +
+ √											) + C, замена									√						=				t. 8.				arctg 2√					+ C,				заме-
					1 + ex																1 + ex
					1 + ex																1 + ex																	x
								√						x			√								1			arcsin x,											=	sin t. 10.
																					2
																					2
на			arctg							x = t. 9.				2					1 − x +						2							замена					x
√										− a arccos			x			+ C, замена x = a cos t.
√				2			2						x
− a						− x
− a						− x							a

Занятие 5. Интегрирование по частям

Задание

Найти интегралы:

Решения


1.	ln x dx.
3.	x3 e−x2			dx.
5.	arcsin x dx.
		x ln(x + √				)
7.					1 + x2		dx.
		√
			1 + x2

ln x 2

2.dx.

4.x2 sin 3x dx.


	√
6.	arctg		x		dx.
8.	x sin √			dx.
		x

9.	sin(ln x) dx.		10.		eax cos bx dx.
11.		(x2 + a2)2 .	12.	x2 + a2 dx.
		dx

u = ln x,

du =

−

ln x dx =

= x ln x

v = x

dv = dx,

= x ln x − x + C.

2 ln x

ln x

dx =

u = ln2 x,

du =

ln2 x

−

dv =

, v =

−x

ln x

dx = u = ln x,

du =

ln2 x

−

dv =

, v =

−x

−

ln x

= −

(ln2 x + 2 ln x + 2) + C.

x3 e−x

u = x2,

du = 2x dx

dx =

= −

dv = x e−x2

e−x2

e−x

dx,

v =

−

x e−x

dx = −

e−x

−

e−x

+ C = −

e−x

(x2 + 1) + C.

x2 sin 3x dx =

u = x2,

du = 2x dx

cos 3x

= −

x2 cos 2x +

dv = sin 3x dx, v =

−

x cos 3x dx

u = x,

du = dx

sin 3x

v =

dv = cos 3x dx,

−

x2 cos 2x

x sin 3x −

sin 3x dx

−

x2 cos 2x +

+ 2x

cos 3x + C =

x sin 3x

−

cos 3x +

sin 3x

+ C.

arcsin x dx

u = arcsin x, du = √

x arcsin x

1 x2

−

dv = dx,

v = x

−

x dx

d(x2)

√

= x arcsin x−

2√

= x arcsin x+ 1 − x2 +C.

1 − x2

√

= t

arctg √

dx = x = t2

2t arctg t dt =

dx = 2t dt

= u = arctg t,

du =21 + t2 = t2 arctg t

−

dt =

1 + t2

dv = 2t dt,

v = t

= t2 arctg t − 1 −

dt = (t2 + 1) arctg t − t + C =

1 + t2

√

= (x + 1) arctg

−

+ C.

x ln(x + √

dx = u = ln(x +

)

1 + x2), du =

√

1 + x2

√1 + x

x dx

v = 1 + x2

dv = √1 + x2 ,

1 + x2 ln(x+

1 + x2)−

dx =

1 + x2 ln(x+

1 + x2)−x+C.

dx =

√

= t

= 2

x sin √

x = t2

t3 sin t dt =

dx = 2t dt

= !

u = t3,

du = 3t2 dt

−t3 cos t + 3

t2 cos t dt

dv = sin t dt,

v =

cos t

" = 2

−

= !

u = t2,

du = 2t dt

" = −2t3 cos t + 6

t2 sin t −

dv = cos t dt,

v = sin t

u = t,

du = dt

" = −2t3 cos t +

−2

t sin t dt = ! dv = sin t dt,

v = − cos t

+6t2 sin t − 12

−t cos t + cos t dt = −2t3 cos t + 6t2 sin t +

√

+ 12t cos t − 12 sin t + C = 2(6

− x)

cos

+ 6(x − 2) sin

+ C.

sin(ln x) dx = u = sin(ln x),

cos(ln x) dx

9. I =

du =

dv = dx,

v = x

= x sin(ln x) − cos(ln x) dx =

sin(ln x) dx

= u = cos(ln x),

du =

−

dv = dx,

v = x

= x sin(ln x) − x cos(ln x) −

sin(ln x) dx.

Получили уравнение относительно искомого интеграла:

I = x[sin(ln x) − cos(ln x)] − I.

Откуда следует

I =

sin(ln x) dx =

[sin(ln x) − cos(ln x)] + C.

eax cos bx dx =

u =

ax,

du = a

ax dx

10. I =

sinebx

dv = cos bx dx,

v =

u = e

sin bx

du = a e

dv = sin bx dx,

= eax

−

eax sin bx dx =

cos bx

v =

−

eax sin bx +

eax cos bx −

eax cos bx dx.

Получили уравнение:

I = eax

b sin bx + a cos bx

−

Откуда следует

bx + a cos bx

I =

eax cos bx dx = eax

b sin

+ C.

a2 + b2

11. Интегрируя по частям интеграл

, получаем

x2 + a2

dx =

arctg

= u =

du = −

x2 + a2

(x2 + a2)2

+ a2

dv = dx,

v = x

x2 + a2

+ 2

dx =

+ 2

−

dx =

x2 + a2

(x2 + a2)2

x2 + a2

(x2 + a2)2

= x2 + a2 + 2

+ a2 dx − 2a2

(x2 + a2)2 =

= x2 + a2

+ a arctg a − 2a2

(x2 + a2)2 ,

2a2

(x2 + a2)2 = x2

+ a2 + a arctg a

(x2 + a2)2

= 2a2(x2 + a2) + 2a3 arctg a + C.

12. Производная от функции ln(x + √

) равна

x2 + a2

1 +

(ln(x + x2 + a2)) =

x + √

√

x2 + a2

Следовательно,

√

= ln(x

+ x2 + a2) + C.

x2 + a2

Далее, интегрируя по частям, получаем

x2 + a2 dx = u = x2 + a2, du = √x2

+ a2

x dx

dv = dx,

v = x

−

√x2 + a2

= x

x2 + a2

dx = x x2 + a2

+ a

− a

dx =

√x2

+ a2 ,

= x x2 + a2 −

x2 + a2 dx − a2

x2 + a2 dx = x

+ a2 − a2 ln(x +

x2 + a2),

x2 + a2 dx =

x2 + a2 −

ln(x + x2 + a2) + C.

Задачи для самостоятельной работы

x e−x dx.

x2 e−2x dx.

x cos x dx.

(x + 2) sin 5x dx.

(x2 + x + 1) cos(2x + 1) dx.

arctg x dx.

7.ln(x + 1 + x2) dx.

9.x5 ex3 dx.

11.cos(ln x) dx.

8.sin x · ln( tg x) dx.

10.(arcsin x)2 dx.

12.eax sin bx dx.

Ответы

(2x2 + 2x + 1) e−2x + C. 3. x sin x + cos x + C.

1. −(x + 1) e−x + C. 2. −

4. −

x + 2

cos 5x+

sin 5x+C. 5. −

(2x2 +2x+3) sin(2x+1)+

(2x+

√

+1) cos(2x+1)+C. 6. x arctg x−

ln(1+x )+C.

7. x ln(x+

1 + x )−

√

− cos x · ln tg x + C. 9.

− 1 + x

+ C. 8. ln tg

− 1) e

+ C.

√

[sin(ln x)+cos(ln x)]+

10. x(arcsin x) +2

1 − x

arcsin x−2x+C. 11.

+ C. 12.

a sin bx − b cos bx

eax + C.

a2 + b2

Занятие 6. Интегрирование приведением квадратного трехчлена к каноническому виду

Решение задач этого занятия основано на приведении квадратного трехчлена к каноническому виду и применении следующих формул (a > 0):

x2 + a2 = a arctg a + C.

II.

x + a

− a

+ C

−

III.

√

= arcsin

+ C.

a2 − x2

IV.

√x2

= ln |x +

x2 ± a2| + C.

− x2 dx =

− x2 +

arcsin

+ C.

VI.

x2 ± a2 dx =

± a2 ±

ln |x + x2 ± a2| + C.

Задание

Найти интегралы:

1.	3x2 − 2x − 1 .
	dx

xdx

3.x2 − 2x cos α + 1 .

5.	sin x + 2 cos x + 3 .
		dx
7.	√	dx	.
		2x2 x + 2
		−

9.2 + x − x2 dx.

2.	x4 −x2x2	− 1 .
	dx

x3 dx

4.x4 − x2 + 2 .

6. √1 − 2x − x2 .

8. √ x dx .

5 + x − x2

10.2 + x + x2 dx.

Решения

1. 3x2 − 2x − 1 = 3 x2 −										2			1					1													1			2				4
										2			1					1													1							4
											x +					−					− 1 = 3 x −													−							,
										3	x +				9	−			9		− 1 = 3 x −											3		−					3		,
																																		1							2
				dx					1					dx											1	1							x −					−
				dx				=	1					dx									=		1	1				ln			x −		3			−				3		+ C =
	3x	2			2x		1	=	3				2										=					2		ln					1						2			+ C =
	3x				2x		1		3				1									4	3 2					2			x				1		+				2
													1									4	3 2								x						+
			−			−					x																· 3							− 3							3
												− 3							− 9

																							+ C.
											4					3x + 1
										= 1 ln						x		− 1

									1			d(x2)											1							x2				1		√
2.	x4		x dx				1		1	(x2		d(x2)								2			1							x2	−			1		√				2					.
2.	x4			2x2			1		2	(x2			1)2							2				4√2					x2		−			1 +		√2									.
								=														=					ln							−									+ C
		−				−		=				−					−					=					ln				−												+ C

3.При решении этого примера выделим в числителе производную от знаменателя. Тогда,

x dx

2 cos α) + 2 cos α

(2x −

x2 − 2x cos α + 1

ln(x2 − 2x cos α + 1) +

cos α

(x − cos α)2 + sin2 α

ln(x2

−

2x cos α + 1) +

ctg

· arctg

x − cos α

sin α

dx =

+ C.

x3 dx

x2 d(x2)

t dt

x4 − x2 + 2

t2 − t + 2

(2t

1) + 1

−

dt =

ln(t2 − t + 2) +

t + 2

−

t −

ln(t

− t + 2) +

√

arctg

√

+ C =

ln(x

− x

+ 2) +

arctg

2x2 − 1 + C

2√

√

sin x + 2 cos x + 3 =

2 sin x cos x + 2

cos2 x

sin2 x

+ 3

cos2 x + sin2 x =

−

sin2 x + 2 sin x cos x

+ 5 cos2 x =

d tg

cos2 x

tg 2 x

+ 2 tg x + 5

= 2

2 + 4

tg x + 12

+ 1

= arctg

+ C.

√1

√2

x2 =

(x + 1)2

= arcsin

+ C.

+ 1

−

7. 2x2 − x + 2 = 2 x2 −

x + 2 = 2 x −

15 =

√2x2

x + 2 = √2

−

x − 4

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.201570.9 Кб14Mirovaya_ekonomika_Mikheeva_bilety.docx
#
16.09.2019211.97 Кб3Mirovozzrenie_i_ego_tipy.doc
#
27.03.20151.12 Mб24MMATAN01.pdf
#
27.03.2015651.36 Кб28MMATAN02.pdf
#
27.03.20151.02 Mб93MMATAN04.pdf
#
27.03.20151.1 Mб27MMATHAN05.pdf
#
01.09.2019285.18 Кб6Module 3_Company.doc
#
24.08.201941.3 Кб3moi_laby.docx
#
22.09.2019482.82 Кб1moi_otvety_na_fto_sukhodoev.doc
#
11.07.2019141.39 Кб8moi_voprosy_po_yazykoznaniyu.docx
#
23.08.2019210.94 Кб1Monitoring_Smi_Abudulin_10-SO(2).doc