Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MMATHAN05

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Задачи для самостоятельной работы

Найти площади поверхностей, образованных при вращении следующих кривых:

1. y2 = 2px (0 ≤ x ≤ x0) вокруг оси Ox.

2. y = ch xa (|x| ≤ b) вокруг оси Ox.

	2	2	2
3.	x 3	+ y 3	= a 3 вокруг оси Ox.
4.	x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π): а) вокруг оси Ox;
	б) вокруг оси Oy.

5. r = a(1 + cos ϕ) вокруг полярной оси.

Ответы

	2π	3		2. πa 2b + a sh	2b	. 3.	12
1.		(p2 + 2px0) 2	− p3 .					πa2. 4. а)

	3p				a		5

643 πa2; б) 16πa2. 5. 325 πa2.

Занятие 4. Вычисление объемов

Если S = S(x) (a ≤ x ≤ b) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ox в точке x, то объем тела равен

b
V = a	S(x) dx.	(4.13)

Если S = S(y) (a ≤ y ≤ b) — площадь сечения тела плоскостью перпендикулярной к оси Oy в точке y, то объем тела равен

V = a	b
V = a	S(y) dy.	(4.14)
		181

Если S = S(z) (a ≤ z ≤ b) — площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Oz в точке z, то объем тела равен

b
V = a	S(z) dz.	(4.15)

Пусть D — плоская фигура, лежащая по одну сторону от оси Ox (или оси Oy), ограниченная замкнутой кусочно-гладкой кривой x = x(t), y = y(t), t0 ≤ t ≤ T , и при движении вдоль этой кривой в сторону возрастания параметра область D остается слева. Тогда объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox плоской фигуры D равен

T
Vx = −π	y2(t)x (t) dt,	(4.16)
t0

а объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси Oy равен

T
Vy = π	x2(t)y (t) dt.	(4.17)
t0

Объем тела, образованного вокруг полярной оси плоской фигуры 0 ≤ α ≤ ϕ ≤ β ≤ π, 0 ≤ r ≤ r(ϕ), (ϕ и r - полярные координаты), вычисляется по формуле

	2π	β
V =		α	r3(ϕ) sin ϕ dϕ.	(4.18)
	3

Задание

Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:

182

x2	+	y2	= 1, z =	c	x, z = 0.
a2		b2
				a
x2		y2	z2

a2 + b2 − c2 = 1, z = ±c.

3.Найти объемы тел, ограниченных поверхностями, полученными при вращении циклоиды x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π) y = 0, а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy; в) вокруг прямой y = 2a.

4.Установить формулу (4.16). С ее помощью вычислить объем тела, образованного вращением круга x2 + (y − b)2 ≤ a2 (0 < a < b) вокруг оси Ox.

5.Установить формулу (4.18). С ее помощью вычислить объем те-

ла, образованного вращением фигуры, ограниченной полувитком спирали Архимеда r = aϕ (a > 0; 0 ≤ ϕ ≤ π) вокруг полярной оси.

6.Найти объем шара.

Решения

1. Найти объем тела, ограниченного следующими поверхностями

x2	+	y2	= 1, z =	c	x, z = 0.
a2	+	b2	= 1, z =		x, z = 0.
a2		b2		a

Рис. 4.24

Проведем сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox (рис. 4.24). В сечении получается прямоугольник с основанием, рав-

183


ным 2b 1	−	x2	, и высотой, равной				c	x. Тогда площадь сечения равна
ным 2b 1	−	a2	, и высотой, равной				a	x. Тогда площадь сечения равна
			S(x) = 2 a x					(0 ≤ x ≤ a).
			S(x) = 2 a x		1 − a2			(0 ≤ x ≤ a).
				cb		x2

По формуле (4.13) имеем

		a
V = 2 a		0	x 1 − a2		dx = − a 3 a2
	cb			x2		cb 2

			3	a
		x2	2	a	2
1	−	x2		=	2	abc.
1	−	a2		=	3	abc.
				0

2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

x2 y2 z2

a2 + b2 − c2 = 1, z = ±c.

Рис. 4.25

В перпендикулярном оси Oz сечении получается эллипс

= 1

a2 1 +

1 +

с полуосями a1

= a 1 +

и b1 = b

1 +

(рис. 4.25).

184

Площадь эллипса равна πa1b1. Тогда S(z) = πab 1 +								z2	и по
Площадь эллипса равна πa1b1. Тогда S(z) = πab 1 +								c2	и по
формуле (4.15)
c		z2	c			8
V =	πab 1 +	z2	dz = 2πab 1 +	z2	dz =	8	πabc.
V =	πab 1 +	c2	dz = 2πab 1 +	c2	dz =	3	πabc.
−c			0

3. Найти объемы тел, ограниченных поверхностями, полученными при вращении первой арки циклоиды x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 ≤ t ≤ 2π) и отрезка прямой y = 0, соединяющего кон-

цы циклоиды а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy; в) вокруг прямой y = 2a.

π	π	π
	Рис. 4.26

а) Вычислим объем тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением циклоиды вокруг оси Ox. Площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, равна S(x) = πy2(x), 0 ≤ x ≤ 2πa (рис. 4.26 а)).

Имеем

2πa

Vx = π y2(x) dx.

185

Переходя к переменной t, получаем

2π			2π
Vx = π 0	a3(1 − cos t)3 dt = πa3		0	(1 − 3 cos t + 3 cos2 t − cos3 t) dt =
	2π			2π	5		3	cos 2t dt = 5π2a3.
= πa3	0	(1 + 3 cos2 t) dt = πa3		0		+

					2		2

б) В сечении тела, полученного при вращении циклоиды вокруг оси Oy, плоскостью перпендикулярной оси Oy, получается кольцо (рис. 26 б)). Площадь этого кольца равна

S(y) = π(x12(y) − x22(y)) = π (2aπ − x2(y))2 − x22(y) =
= 4π2a(πa	−	x2(y))#,	0	≤	y	≤	2a,	$
	−			≤		≤

где x = x2(y) — ветвь циклоиды, полученная при изменении параметра t от 0 до π, x = x1(y) - ветвь циклоиды, полученная при изменении параметра от π до 2π. Согласно формуле (4.14)

Vy = 4π2a (πa − x2(y)) dy =

= 4π2a πa dy − 4π2a3	(t − sin t) sin t dt =
0	0
π	π

	= 8π3a3 − 4π2a3 0			t sin t dt +				0	sin2 t dt .
	π t sin t dt = −t cos t π +					π cos t dt = π,
				0
	0				0

π		1	π		1					sin 2t	π
		1			1		t			sin 2t	0		π
	sin2 t dt =		(1 − cos 2t) dt =						−			=		,
	sin2 t dt =	2	(1 − cos 2t) dt =			2			−	2		=	2	,
0			0

186

Vx = 8π3a3 − 4π2a3 π −	π	= 6π3a3.

	2

в). В сечении тела, полученного при вращении сегмента OAB вокруг прямой y = 2a плоскостью перпендикулярной этой прямой, получается кольцо (рис. 4.27). Площадь этого кольца равна

Рис. 4.27

S(x) = π(4a2 − (2a − y(x))2) = π(4ay(x) − y2(x)).

По формуле (4.13) имеем

2πa		2πa		2πa
Vy=2a = 0	S(x) dx = 4πa	0	y(x) dx − π	0	y2(x) dx.

2πa

Интеграл y(x) dx подсчитан в задаче 3 занятия 1 и равен 3πa2, а

2π

интеграл π y2(x) dx вычислен в пункте а) данной задачи и равен

5π2a3. Следовательно,

Vy=2a = 12π2a3 − 5π2a3 = 7π2a3

4. Установим формулу (4.16).

187

	y=y2(x)
T	t	1
t0	D
t0
	y=y1(x)
a	b	x
	Рис. 4.28

Рис. 4.29

Для простоты рассмотрим случай выпуклой области D (рис. 4.28) (остальные случаи рассматриваются аналогично). Тогда в сечении тела, образованного вращением вокруг оси Ox, получается кольцо. Площадь кольца, перпендикулярного оси Ox равна

S(x) = π(y22(x) − y12(x)), a ≤ x ≤ b.

По формуле (4.13)

Vx =	S(x) dx = π (y22(x) − y12(x)) dx.
a	a

Перейдем к переменной t. Тогда кривая y = y1(x) (a ≤ x ≤ b) будет иметь параметрическое представление x = x(t), y = y(t), t0 ≤ t ≤ t1, x(t0) = a, x(t1) = b, кривая y = y2(x) (a ≤ x ≤ b) имеет параметрическое представление x = x(t), y = y(t), t1 ≤ t ≤ T , x(t1) = b, x(T ) = a. Тогда

b b

Vx = π y22(x) dx − π y12(x) dx =

	a	a
t1	t1	T
= π T	y2(t)x (t) dt − π t0	y2(t)x (t) dt = −π t0	y2(t)x (t) dt.

188

Найдем объем тела, образованного вращением круга (рис. 4.29) x2 + (y − b)2 ≤ a2 (0 < a < b) вокруг оси Ox (объем тора).

Используя параметрическое задание для окружности, x = a cos t, y = b + sin t, 0 ≤ t ≤ 2π, имеем по формуле (4.16)

2π

Vx = −π

y2(t)x (t) dt = −π

(b + a sin t)2(−a sin t) dt =

2π

= aπ 0

(b sin t + 2ab sin2 t + a2 sin3 t) dt =

= −aπb cos t 2π + a2πb

2π(1 − cos 2t) dt − a3π

2π(1 − cos2 t) d cos t =

sin 2t

2π

= a2πb

− a3π

cos t −

cos3 t

= 2π2a2b.

t −

r=r(ϕ)

ϕ=−

y(x)

ϕ=0

Рис. 4.30

Рис. 4.31

5. Установить формулу (4.18).

Рассмотрим случай, изображенный на рис. 4.30 (другие случаи рассматриваются аналогично). Объем тела, образованного вращением сектора OAB вокруг оси Ox (вокруг полярной оси ϕ = 0) равен сумме объема конуса, полученного при вращении треугольника

189

OAC, объема тела, полученного при вращении трапеции CABD, минус объем конуса, получаемого при вращении треугольника OBD

	1		a	b	1
Vx =		πr3(β) sin2 β cos2 β + π		y2(x) dx −		πr3(α) sin2 α cos α,

	3				3

где y = y(x) (a ≤ x ≤ b) — явное задание кривой AB. Переходя к полярным координатам

x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ,

преобразуем второе слагаемое

πy2(x) dx = π r2 sin2 ϕ(r cos ϕ − r sin ϕ) dϕ =

= π α

r3 sin3 ϕ dϕ − π α

sin2 ϕ cos ϕ r2r dϕ = π α

r3 sin3 ϕ dϕ−

− 3 r3 sin2

ϕ cos ϕ

ϕ)r3 dϕ =

(2 sin ϕ cos2 ϕ − sin3

2π

−

(sin ϕ cos2 ϕ + sin3 ϕ)r3 dϕ =

3 sin2 ϕ cos ϕ r3

2π

(r3(α) sin2 α cos α

− r3(β) sin2 β cos β) +

r3(ϕ) sin ϕ dϕ.

Подставляя это выражение в формулу для Vx, получаем

	2π	β
Vx =		α	r3(ϕ) sin ϕ dϕ.
	3

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.201570.9 Кб14Mirovaya_ekonomika_Mikheeva_bilety.docx
#
16.09.2019211.97 Кб3Mirovozzrenie_i_ego_tipy.doc
#
27.03.20151.12 Mб24MMATAN01.pdf
#
27.03.2015651.36 Кб28MMATAN02.pdf
#
27.03.20151.02 Mб93MMATAN04.pdf
#
27.03.20151.1 Mб27MMATHAN05.pdf
#
01.09.2019285.18 Кб6Module 3_Company.doc
#
24.08.201941.3 Кб3moi_laby.docx
#
22.09.2019482.82 Кб1moi_otvety_na_fto_sukhodoev.doc
#
11.07.2019141.39 Кб8moi_voprosy_po_yazykoznaniyu.docx
#
23.08.2019210.94 Кб1Monitoring_Smi_Abudulin_10-SO(2).doc